高一求求函數(shù)值域的7類題型和15種方法講義

高一求求函數(shù)值域的7類題型和15種方法講義求一次函數(shù)和二次函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。下面介紹七類題型和十五種方法。題型一：一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的值域（最值）1.當(dāng)一次函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時，其值域也為實(shí)數(shù)集。2.當(dāng)一次函數(shù)在閉區(qū)間[m,n]上取得最值時，只需求出f(m)和f(n)，并比較它們的大小。若區(qū)間為半開區(qū)間或開區(qū)間，則需結(jié)合函數(shù)圖像來確定函數(shù)的值域。題型二：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的值域（最值）1.當(dāng)二次函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時，其值域?yàn)椋簓≥(a>0)或y≤(a<0)(4ac-b2)/4a2.當(dāng)二次函數(shù)在閉區(qū)間[m,n]上取得最值時，需先判定其對稱軸x=-b/2a與區(qū)間[m,n]的位置關(guān)系。若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則最大值為f(m)和f(n)中較大者，最小值為對稱軸處的函數(shù)值；否則，只需比較f(m)和f(n)的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?。特別注意，若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲?。題型三：一次分式函數(shù)的值域1.反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，值域?yàn)閧y|y≠0}。2.形如y=(ax+b)/(cx+d)的一次分式函數(shù)的值域：(1)若定義域?yàn)閧x|x≠-d/c}，則值域?yàn)椋簕y|y≠-a/c}(c≠0)或{y|y≠b/a}(c=0)(2)若定義域?yàn)殚]區(qū)間[m,n]，則可將原函數(shù)變形為x=(d-by)/(a-cy)，利用x在[m,n]上有界的特點(diǎn)，求出函數(shù)的值域。題型四：基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域1.對于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，先求出g(x)的值域，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性和奇偶性來確定f(g(x))的值域。2.對于基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，可以利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)來求出其值域。題型五：絕對值函數(shù)的值域1.|x|的值域?yàn)閇0,+∞)。2.|ax+b|的值域?yàn)椋?1)a≠0時，[|b/a|,+∞)。(2)a=0時，若b≥0，則值域?yàn)閇b,+∞)；若b<0，則值域?yàn)?-∞,b]。題型六：分段函數(shù)的值域1.對于分段函數(shù)，先求出每個分段函數(shù)的值域，再根據(jù)定義域的情況來確定整個函數(shù)的值域。2.特別注意，當(dāng)分段函數(shù)的分段點(diǎn)處存在間斷點(diǎn)時，需結(jié)合左右極限來確定函數(shù)的值域。題型七：三角函數(shù)的值域1.sinx和cosx的值域?yàn)閇-1,1]。2.tanx和cotx的值域?yàn)镽。3.secx和cscx的值域?yàn)?-∞,-1]∪[1,+∞)。總之，求函數(shù)的值域需要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和定義域來進(jìn)行分析，結(jié)合圖像和數(shù)學(xué)方法來求解。題型四：二次分式函數(shù)y=dx2+ex+c的值域一般情況下，都可以用判別式法求其值域。但要注意以下三個問題：①檢驗(yàn)二次項(xiàng)系數(shù)為零時，方程是否有解，若無解或是函數(shù)無意義，都應(yīng)從值域中去掉該值；②閉區(qū)間的邊界值也要考查達(dá)到該值時的x是否存在；③分子、分母必須是既約分式。例6：y=2x+1/(x2+x-6)；值域?yàn)椋?∞，-3）∪（-4，-1/2）∪[2，+∞)。例7：y=3x/(2x-1)；值域?yàn)椋?∞，0）∪(0，+∞)。例8：y=33/(2x+4)；值域?yàn)?-∞，-4/3]∪[0，+∞)。例9：求函數(shù)y=2-x/x+2x+1的值域解：由原函數(shù)變形、整理可得：y(x2+2x+1)-x(2-y)=2求原函數(shù)在區(qū)間(-1,+∞)上的值域，即求使上述方程在(-1,+∞)有實(shí)數(shù)解時y的取值范圍當(dāng)x=-1時，解得：y=0也就是說，0是原函數(shù)值域中的一個值…①當(dāng)x≠-1時，上述方程要在區(qū)間(-1,+∞)上有解，即要滿足x2+2x+1>0解得：y≤2或y≥0綜合①得：原函數(shù)的值域?yàn)椋篬0,2]。題型五：形如y=ax+b±cx+d的值域這類題型都可以通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上求值域問題，然后求其值域。例10：求函數(shù)y=2x+4/(1-x)在x∈[-8,1]時的值域?qū)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式：y=2(1-x)+4/(1-x)化簡得：y=-2x2+4x+2該函數(shù)的值域?yàn)閇-4,6]。題型六：分段函數(shù)的值域：一般分別求出每一分段上函數(shù)的值域，然后將各個分段上的值域進(jìn)行合并即可。如果各個分段上的函數(shù)圖像都可以在同一坐標(biāo)系上畫出，從圖像上便可很容易地得到函數(shù)的值域。例11：y=x-1+x+2[3,+∞)該函數(shù)的值域?yàn)閇4,+∞)。題型七：復(fù)合函數(shù)的值域?qū)τ谇髲?fù)合函數(shù)的值域的方法是：首先求出該函數(shù)的定義域，然后在定義域的范圍內(nèi)由內(nèi)層函數(shù)的值域逐層向外遞推。例13：y=2/(x+1)√(5-x)該函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,5)，由內(nèi)層函數(shù)2/(x+1)和√(5-x)的值域逐層遞推得到該函數(shù)的值域?yàn)?0,∞)。函數(shù)值域求解的十五種方法1.直接法（俗名分析觀察法）：通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域。即從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍?；蛴珊瘮?shù)的定義域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準(zhǔn)確判斷函數(shù)值域的方法。注意此法關(guān)鍵是定義域。例1：已知函數(shù)y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函數(shù)的值域。解：將x的取值代入函數(shù)中得到y(tǒng)的取值，即y={-1/2,0,3}，因此函數(shù)的值域?yàn)閧-1/2,0,3}。練習(xí)：求函數(shù)y=x+1的值域。[1,+∞)2.配方法：二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)常用此方法來求解，但在轉(zhuǎn)化的過程中要注意等價(jià)性，特別是不能改變定義域。對于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=a[f(x)]+bf(x)+c(a≠0)類的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例1：求函數(shù)y=-2x-x2+3的值域。解：將y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，即y=-(x+1)2+4，由此得到函數(shù)的最大值為4，最小值為-3，因此函數(shù)的值域?yàn)閇-3,4]。例2：求函數(shù)y=(x2+2x+4)/(x+1)的值域。解：將y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，即y=x+2-3/(x+1)，由此得到函數(shù)的最大值為2，最小值為-3，因此函數(shù)的值域?yàn)閇-3,2]。3.最值法：對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用函數(shù)的最大值、最小值，求函數(shù)的值域的方法。例1：求函數(shù)y=3-2x-x2當(dāng)定義域?yàn)閇-3,1]的值域。解：將函數(shù)y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，即y=-(x+1)2+4，由此得到函數(shù)的最大值為4，最小值為2，因此函數(shù)的值域?yàn)閇2,4]。練習(xí)：求函數(shù)y=2，x∈[-2,2]的值域。4.反函數(shù)法（逆求或反求法）：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。即通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍。對于形如y=cx+d(a≠0)的函數(shù)，也可以使用反函數(shù)法。練習(xí)：求函數(shù)y=x/(x+4)，x∈[-4,∞)的值域。5.分段函數(shù)法：對于分段函數(shù)，可以分別求出每一段的值域，然后將它們合并起來即可得到整個函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y={x+2，x≤-1；2x，-1<x≤2；4，x>2}的值域。6.對稱法：利用函數(shù)的對稱性，以及對稱軸上的函數(shù)值，求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=x2-4x+5的值域。7.導(dǎo)數(shù)法：對于單峰函數(shù)，可以通過導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值點(diǎn)及其對應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=x3-3x2+3x+1的值域。8.中間值定理法：利用函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，通過中間值定理求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=x3-2x2-3x+1的值域。9.奇偶性法：對于具有奇偶性的函數(shù)，可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性質(zhì)，求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=x3-2x的值域。10.周期性法：對于具有周期性的函數(shù)，可以利用函數(shù)的周期性質(zhì)，求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=sin2x的值域。11.對數(shù)函數(shù)法：對于對數(shù)函數(shù)，可以利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=log2(x+4)的值域。12.指數(shù)函數(shù)法：對于指數(shù)函數(shù)，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=2x-1的值域。13.積分法：對于連續(xù)函數(shù)，可以利用積分法求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=x2-2x+3的值域。14.線性規(guī)劃法：對于一些特殊的函數(shù)，可以利用線性規(guī)劃法求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=2x1+3x2的值域，其中x1,x2滿足條件x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1。15.數(shù)學(xué)歸納法：對于一些遞歸定義的函數(shù)，可以利用數(shù)學(xué)歸納法求出函數(shù)的值域。練習(xí)：求斐波那契數(shù)列的值域。Ax+b的值域可以通過函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域和值域關(guān)系來求得。首先需要求出反函數(shù)的定義域，然后通過反函數(shù)的定義域得到原函數(shù)的值域。例如，對于函數(shù)y=1/(x+2)，求其值域。由y=1/(x+2)解得x=(1/y)-2。因?yàn)閤的定義域?yàn)镽-{2}，即實(shí)數(shù)集去掉2，所以y的值域?yàn)?-∞,-1/2)并(1/2,∞)。另外，對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的函數(shù)，如果在其自然定義域內(nèi)，值域?yàn)?b/a,c/d)。如果是條件定義域，可以采用部分分式法將原函數(shù)化為簡單的形式，然后用復(fù)合函數(shù)法來求值域。還可以運(yùn)用換元法，將所給函數(shù)化成值域簡單的熟悉的容易確定的基本函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。例如，對于函數(shù)y=2x+1-2x/(1-x^2)，可以令t=1-2x，然后求出t的值域，進(jìn)而得到y(tǒng)的值域?yàn)?-∞,-1]。最后，判別式法可以把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程，通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式Δ≥0，從而求得原函數(shù)的值域。方程有實(shí)根，即Δ≥0，從而可以求得函數(shù)的值域。需要注意的是，對于二次函數(shù)，要對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論。此方法主要適用于定義在實(shí)數(shù)集上的分式函數(shù)，對于定義在某個區(qū)間上的函數(shù)，需要另行討論。例1：求函數(shù)y=x^2-x+3/(x-x+1)的值域。解：將函數(shù)變形為(y-1)x-(y-1)x+3=(y-1)(x^2-x+3)/(x-x+1)。當(dāng)y=1時，此方程無解；當(dāng)y≠1時，由于x∈R，因此Δ=(y-1)-4(y-1)(y-3)≥0，解得1≤y≤2/3。又因?yàn)閥≠1，所以1<y≤2/3。因此，函數(shù)y=x^2-x+3/(x-x+1)的值域?yàn)閧y|1<y≤2/3}。函數(shù)單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域。例2：求函數(shù)y=x-1-2x的值域。解：當(dāng)x增大時，1-2x隨x的增大而減少，-1-2x隨x的增大而增大，因此函數(shù)y=x-1-2x在定義域(-∞,+∞)上是增函數(shù)。因此，y≤lim(x→-∞){x-1-2x}=-∞。因此，函數(shù)y=x-1-2x的值域?yàn)?-∞,]。例3：求函數(shù)y=x+(1/2)/(x-1/2)在區(qū)間x∈(1/2,+∞)上的值域。解：任取x1,x2∈(1/2,+∞)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)((x1+1/2)/(x1-1/2)-(x2+1/2)/(x2-1/2))=-(x1-x2)/(2x1x2-1/2(x1+x2))<0。因此，函數(shù)y=x+(1/2)/(x-1/2)在區(qū)間x∈(1/2,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)。因此，y≥lim(x→+∞){x+(1/2)/(x-1/2)}=+∞。因此，函數(shù)y=x+(1/2)/(x-1/2)在區(qū)間x∈(1/2,+∞)上的值域?yàn)閇1/2,+∞)。函數(shù)有界性法：利用某些函數(shù)的有界性可以求得原函數(shù)的值域。例4：求函數(shù)y=(x^2-1)/(x+1)的值域。解：將函數(shù)變形為y=x-1-2/(x+1)，則當(dāng)x→-∞時，y→-∞；當(dāng)x→+∞時，y→+∞；當(dāng)x=-1時，y沒有定義。因此，函數(shù)y=(x^2-1)/(x+1)的值域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞)。數(shù)學(xué)中，求函數(shù)值域的方法有很多種。以下介紹幾種常用的方法。1.數(shù)型結(jié)合法如果所給函數(shù)有較明顯的幾何意義（如兩點(diǎn)間距離，直線的斜率、截距等）或當(dāng)一個函數(shù)的圖象易于作出時，可借助幾何圖形的直觀性來求函數(shù)的值域。例如，對于函數(shù)$y=|x+1|+|x-2|$，我們可以畫出它的圖象，從而得出函數(shù)的值域?yàn)?\{y|y\geq3\}$。2.復(fù)合函數(shù)法對于函數(shù)$y=f(u),u=g(x)$，我們可以先求出$u=g(x)$的值域，充當(dāng)$y=f(u)$的定義域，從而求出$y=f(u)$的值域。例如，對于函數(shù)$y=\frac{3x}{3x+1}$，我們可以設(shè)$3x+1=t>0$，則$y=\frac{t-1}{t}$，從而得出函數(shù)的值域?yàn)?(0,1]$。3.非負(fù)數(shù)法根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求出相關(guān)函數(shù)的值域。例如，對于函數(shù)$y=16-x^2$，我們可以將其化為$y=(4+x)(4-x)$的形式，從而得出函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,16]$。4.平方開方法對于一些特殊的函數(shù)，我們可以通過平方開方法來求其值域。例如，對于函數(shù)$y=x^2+2x+5$，我們可以將其化為$y+1=(x+1)^2+4$的形式，從而得出函數(shù)的值域?yàn)?[4,+\infty)$。本文將介紹“平方開方法”適用的函數(shù)特征、運(yùn)算步驟和四個實(shí)例。首先，若函數(shù)f(x)（x∈D）能采用“平方開方法”，則通常具有以下三個特征：（1）f(x)的值總是非負(fù)；（2）f(x)具有兩個函數(shù)加和的形式；（3）f(x)的平方可以寫成一個常數(shù)與一個新函數(shù)加和的形式，其中新函數(shù)g(x)（x∈D）的值域容易求得。其次，若函數(shù)f(x)具備上述三個特征，則可以先平方再開方得到f(x)=c+g(x)（x∈D