數(shù)學人教A版高中必修一（2019新編）5-2-2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（分層作業(yè)）

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·浙江·杭州高級中學高一期末）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解【詳解】由題意得，則，故選：D2．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學高一期末）若為第三象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，.故選：D3．（2022·全國·高一課時練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用齊次化可求三角函數(shù)式的值.【詳解】，故選：C．4．（2022·全國·高一課時練習）數(shù)學家高斯在19歲時，解決了困擾數(shù)學界達千年之久的圓內(nèi)接正十七邊形的尺規(guī)作圖問題，并認為這是他最得意的作品之一.設(shè)是圓內(nèi)接正十七邊形的一個內(nèi)角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正17邊形，從而得到一個內(nèi)角，再由象限角的三角函數(shù)值的正負判斷即可.【詳解】正十七邊形內(nèi)角和為，故.因為，所以，故A錯誤.因為，所以，故，，，故C正確，B，D均錯誤.故選：C.5．（2022·全國·高一課時練習）如圖，已知點A是單位圓與x軸的交點，角的終邊與單位圓的交點為P，PM⊥x軸于M，過點A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線?余弦線?正切線分別是（

）A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，ATC．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT【答案】D【分析】根據(jù)題圖及三角函數(shù)線的定義判斷角的正弦線?余弦線?正切線.【詳解】由題圖知：圓O為單位圓，則，且，故角的正弦線?余弦線?正切線分別是有向線段MP，OM，AT.故選：D6．（2022·全國·高一課時練習）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角間的三角函數(shù)關(guān)系式求解．【詳解】因為，且，所以，．故選：C．7．（2022·遼寧大連·高一期末）若，且為第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.【詳解】由于，且為第四象限角，所以，.故選：D8．（2022·江西省萬載中學高一期中）設(shè)，如果且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限符號判斷．【詳解】，，則，所以，，則，所以．故選：D．9．（2022·安徽省舒城中學高一開學考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用算出，然后利用平方差公式對進行化簡即可得到答案【詳解】解：因為，且，所以，所以，故選：A10．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件和平方關(guān)系求出的值，從而可求的值.【詳解】因為，所以，因為，所以，整理得，解得或，由，得，，所以，所以，所以．故選：B.11．（2022·全國·高一課時練習）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡即可.【詳解】．故選：D二、多選題12．（2022·全國·高一課時練習）（多選）下列三角函數(shù)值中符號為負的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)各交所在象限判斷三角函數(shù)的正負情況.【詳解】因為，所以角是第二象限角，所以；因為，角是第二象限角，所以；因為，所以角是第二象限角，所以；；故選：BCD．三、填空題13．（2022·浙江大學附屬中學高一期末）已知A為三角形內(nèi)角且，則________.【答案】##0.6【分析】根據(jù)正切值的正負確定A為銳角，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出正弦.【詳解】根據(jù)，且A為三角形內(nèi)角，所以為銳角，由題意得：，解得：，故答案為：.14．（2022·全國·高一課時練習）已知，則______．【答案】【分析】根據(jù)平方可得，結(jié)合立方差公式即可代入求值.【詳解】因為，平方得，所以，所以．故答案為：15．（2022·陜西漢中·高一期末）若為第二象限角，且，則tan＝___．【答案】－【分析】由平方關(guān)系求出，再由商數(shù)關(guān)系求得．【詳解】因為為第二象限角，且，所以，所以．故答案為：．16．（2022·全國·高一專題練習）已知角的始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則_____.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進而弦化切即可求解.【詳解】角的始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則，故答案為：17．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）已知，則角位于第________象限．【答案】二或三【分析】根據(jù)三角函數(shù)在四個象限的符號即可判斷【詳解】當為第一象限角時，，，；當為第二象限角時，，，當為第三象限角時，，，當為第四象限角時，，，綜上，若，則位于第二或第三象限故答案為：二或三18．（2022·江西新余·高一期末）已知，則_____________【答案】【分析】分子，分母同除以，再把的值代入即可求解【詳解】故答案為：19．（2022·全國·高一課時練習）已知，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得；故答案為：20．（2022·上海市文建中學高一期中）已知，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.【詳解】解：因為，，所以，所以.故答案為：四、解答題21．（2022·安徽省舒城中學高一開學考試）化簡(1)(2)(3)【答案】(1)1；(2)1；(3)0.【分析】根據(jù)同角關(guān)系式化簡即得.（1）；（2）；（3）.22．（2022·全國·高一課時練習）求證：．【答案】證明見解析【分析】利用配方法和平方關(guān)系可證該恒等式.【詳解】左邊右邊，∴原等式成立．23．（2022·全國·高一課時練習）化簡：．【答案】【分析】利用“1”的代換及配方法可化簡三角函數(shù)關(guān)系式.【詳解】．24．（2022·全國·高一課時練習）已知關(guān)于的方程的兩個根為，，，求：(1)的值；(2)方程的兩根及此時的值．【答案】(1)(2)兩根分別為，，或【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡，再根據(jù)韋達定理求值即可；（2）利用解出，再解一元二次方程即可.（1）.（2）由（1）得，所以，解得，所以方程的兩根為，又因為，所以，此時；或，此時．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，則＝（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【分析】巧用1將所求化為齊次式，然后根據(jù)基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.【詳解】因為所以故選：A2．（2022·貴州·凱里一中高一期中）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，再利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解：由得，∴或，因為，，所以.由及得，∴，所以．故選：A二、多選題3．（2022·全國·高一課時練習）（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】已知式平方求得，從而可確定的范圍，然后求得，再與已知結(jié)合求得，由商數(shù)關(guān)系得，從而可判斷各選項．【詳解】因為①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正確．，所以②，故D正確．由①②，得，，故B正確．，故C錯誤．故選：ABD．4．（2022·江蘇·吳縣中學高一期中）已知為整數(shù)，若函數(shù)在上有零點，則滿足題意的可以是下列哪些數(shù)（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】ABC【分析】設(shè)，則函數(shù)在上有零點等價于方程在上有解，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍．【詳解】因為,設(shè)，，則，即，亦即．故選：ABC．5．（2022·遼寧·沈陽二中高一階段練習）（多選題）已知，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】對原式進行切化弦，整理可得：，結(jié)合因式分解代數(shù)式變形可得選項.【詳解】∵，，整理得，∴，即，即，∴C、D正確.故選：CD【點睛】此題考查三角函數(shù)的化簡變形，根據(jù)弦切關(guān)系因式分解，結(jié)合平方關(guān)系變形.三、填空題6．（2022·遼寧·東北育才學校高一期中）若，，且，則的最大值為______．【答案】【分析】由題意結(jié)合商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系可得，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：由，得，因為，所以，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最大值為.故答案為：.7．（2022·浙江·溫州中學高一期中）若實數(shù)，滿足，則的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)條件，采用三角換元法，令，代入要求的式子化簡整理成關(guān)于的二次函數(shù)即可求解.【詳解】因為實數(shù)，滿足，令，則當時，取最大值，故答案為：.8．（2022·湖南·湘陰縣教育科學研究室高一期末）在平面直角坐標系中，設(shè)角的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，規(guī)定：比值叫做的正余混弦，記作.若，則__.【答案】【分析】由可得出，根據(jù)題意得出，結(jié)合可得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個量，然后利用商數(shù)關(guān)系可求出的值.【詳解】，則，由正余混弦的定義可得.則有，解得，因此，.故答案為：9．（2022·全國·高一專題練習）已知，且，則____.【答案】##1.4【分析】利用完全平方公式，建立、與和的等量關(guān)系，并利用所求值確定，的符號，從而可求.【詳解】解：，兩邊平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案為：.10．（2022·湖北·安陸第一高中高一階段練習）已知角的終邊經(jīng)過點，的值是____________．【答案】【分析】先利用三角函數(shù)的定義求出，再進行弦化切，代入求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以.所以.故答案為：11．（2022·江蘇·高一專題練習）設(shè)、是非零實數(shù)，，若，則________【答案】【分析】由已知化簡可得，，代入已知式子可得，即可求解.【詳解】化簡得，即，∴，∴.故答案為:【點睛】本題考查三角指數(shù)冪的運算，合理利用已知條件，以及平方關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.四、解答題12．（2022·全國·高一課時練習）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“1”的代換及弦切互化可求.（2）利用“1”的代換及弦切互化可求三角函數(shù)式的值.（1）解法一：∵，，∴，分子分母同時除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．13．（2022·寧夏·銀川二中高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再進行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再進行誘導公式和弦化切變換，代入即可求解.【詳解】（1）由知

原式=（2）

又

原式===14．（2022·江西南昌·高一期末）人臉識別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè)，改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維空間兩個點，，曼哈頓距離.余弦相似度：.余弦距離：.(1)若，，求A，B之間的和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值.【答案】(1)，余弦距離等于(2)【分析】（1）根據(jù)曼哈頓距離的計算公式即可求得，利用余弦距離的公式可求得A，B之間的余弦距離；（2）根據(jù)已知結(jié)合定義中所給公式可得,以及，兩式整理即可求得答案.（1），，所以余弦距等于；（2）由得,同理：由得，故，即，則.15．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）已知，求以下各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）化簡原式為即得解；（2）化簡原式為即得解.【詳解】（1）解：.（2）解：.16．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知，.(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將已知平方結(jié)合平方關(guān)系即可得解；（2）由（1），可得，則，從而可得出答案；（3）根據(jù)結(jié)合正余弦得符號去掉根號，化簡，從而可求出答案.(1)解：因為，所以，所以；(2)解：因為，，所以，所以；(3)解：由（2）得，則.17．（2022·江西·九江一中高一期中）已知函數(shù).（1）若，恒成立，求的取值范圍；（2）若，是否存在實數(shù)，使得，都成立？請說明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性，將函數(shù)值的比較變?yōu)樽宰兞康谋容^，得到恒成立，利用參變分離，得到的取值范圍；（2）假設(shè)存在，整理和，設(shè)，，得到，按照和進行分類討論，從而證明不存在所需的.【詳解】（1），為上的奇函數(shù)，單調(diào)遞減，所以恒成立，可得所以恒成立即恒成立，當時，該不等式恒成立，當時，，設(shè)，則，當且僅當，即時，等號成立，所以.（2）所以，假設(shè)存在實數(shù)，使得和都成立，設(shè)，，則，，若，則，解得，或，，均不是有理數(shù)，若，則，其中，而，所以不成立，綜上所述，故不存在實數(shù)，使得，都成立.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)