數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）2-1 第1課時(shí) 不等關(guān)系與不等式（學(xué)案）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.能用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系.2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小.1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一．基本事實(shí)：兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.依據(jù)a>b?；a＝b?；a<b?.結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的與的大小.注意：符號(hào)“?”叫做等價(jià)號(hào)，讀作“等價(jià)于”，“p?q”的含義是：p可以推出q，q也可以推出p，即p與q可以互推．思考1：x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關(guān)系并不顯而易見.你能想個(gè)辦法，比較x2＋1與2x的大小嗎？思考2：若a>b，且ab>0，則eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的大小關(guān)系如何？二．重要不等式?a，b∈R，有a2＋b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.【小試牛刀】1.思辨解析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)a不大于－2，用不等式表示為a≥－2.()(2)不等式x≥2的含義是指x不小于2.()(3)若a<b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．()2.某購買甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，甲、乙兩種產(chǎn)品總量至少需要120個(gè)，則x，y應(yīng)滿足的不等關(guān)系是()A．x＋y>120B．x＋y<120C．x＋y≥120 D．x＋y≤120【經(jīng)典例題】題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系點(diǎn)撥：將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路①讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.②用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.③多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.例1商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤．已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)減少10件．若把提價(jià)后的商品售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？點(diǎn)睛：根據(jù)“利潤＝銷售量×單件利潤”，把利潤用x表示出來，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．【跟蹤訓(xùn)練】1如圖所示的兩種廣告牌，其中圖1是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖2是一個(gè)矩形，則這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示為________．題型二數(shù)(式)的大小比較點(diǎn)撥：作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法1.作差法比較的步驟：作差→變形→定號(hào)→結(jié)論．2.變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．例2例2比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?1)x2＋3與3x；(2)已知a，b均為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。靖櫽?xùn)練】2已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，n＝eq\f(4,x＋y)，比較m和n的大?。井?dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)，他現(xiàn)在已存60元．計(jì)劃從現(xiàn)在起以后每個(gè)月節(jié)省30元，直到他至少有400元．設(shè)x個(gè)月后他至少有400元，則可以用于計(jì)算所需要的月數(shù)x的不等式是()A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋40≤4002.(多選)下列說法正確的是()A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B.小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”C.某變量x至少為a可表示為“x≥a”D.某變量y不超過a可表示為“y≤a”3.設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A.M>NB.M＝NC.M<N D.與x有關(guān)4.武廣鐵路上，高速列車跑出了350km/h的高速度，但這個(gè)速度的2倍再加上100km/h，還超不過波音飛機(jī)的最低時(shí)速，可這個(gè)速度已經(jīng)超過了普通客車的3倍，設(shè)高速列車速度為v1，波音飛機(jī)速度為v2，普通客車速度為v3.則三種交通工具速度的不等關(guān)系分別為________________．5.若實(shí)數(shù)a>b，則a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”)6.設(shè)x＜y＜0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。菊n堂小結(jié)】1.知識(shí)點(diǎn)：(1)用不等式(組)表示不等關(guān)系.(2)作差法比較大小.(3)重要不等式.2.方法歸納：作差法.3.常見誤區(qū)：實(shí)際問題中變量的實(shí)際意義.【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．a(chǎn)－b>0a－b＝0a－b<0差0思考1：作差x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.思考2：因?yàn)閍b>0，所以a與b同號(hào)．而eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，又a>b，所以b－a<0.所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b).二．≥【小試牛刀】1.(1)×(2)√(3)√2.C【經(jīng)典例題】例1解：若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元，則銷售量減少eq\f(x－10,1)×10件，因此，每天的利潤為(x－8)[100－10(x－10)]元，則“每天的利潤不低于300元”可以表示為不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.【跟蹤訓(xùn)練】1eq\f(1,2)(a2＋b2)>ab例2解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴x2＋3>3x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.【跟蹤訓(xùn)練】2解：∵m－n＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y,xy)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq\f(x－y2,xyx＋y).又x，y均為正數(shù)，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立)．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.B解析：x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2.CD解析：對(duì)于A，x應(yīng)滿足x≤2000，故A錯(cuò)；對(duì)于B，x，y應(yīng)滿足x<y，故B不正確；CD正確.3.A解析：M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0.∴M>N.4.2v1＋100≤v2，v1>3v35.＞解析：因?yàn)?a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.