從自然數(shù)到有理數(shù)（原卷版）

1.1從自然數(shù)到有理數(shù)了解自然數(shù)和分數(shù)是由于人們生活和生產(chǎn)實踐的需要而產(chǎn)生的經(jīng)歷用正、負數(shù)表示具有相反意義的量的過程,體會引進負數(shù)的必要性和意義.(抽象能力)理解有理數(shù)的概念，并能準確地對有理數(shù)進行分類知識點一自然數(shù)、分數(shù)自然數(shù)在計數(shù)、測量、標號和排序中有著廣泛的應用，如城市的公共汽車路線，門牌號碼，郵政編碼等數(shù)據(jù)，都是自然數(shù)的具體應用.注意：像0,1,2,3,4,5,…這樣的數(shù)都是自然數(shù).2.分數(shù)和小數(shù)是由于測量和分配等實際需要而產(chǎn)生分數(shù)和小數(shù)。(1)分數(shù)可以看成兩個整數(shù)相除,例如,,因此分數(shù)都可以化為小數(shù).分數(shù)在化成小數(shù)時,結(jié)果可能是有限小數(shù),也可能是無限循環(huán)小數(shù).(2)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),都可以化為分數(shù),例如,，.3.數(shù)的運算伴隨著數(shù)的概念而來的是數(shù)的運算，數(shù)的運算是人們分析、判斷和解決實際問題的重要手段.生活中的許多問題，都是用數(shù)的運算解決的.即學即練某商品的進價是110元，售價是132元，則此商品的利潤率是（）A． B． C． D．知識點二具有相反意義的量1.概念在日常生活和生產(chǎn)實踐中,我們經(jīng)常會遇到具有相反意義的量.如表示溫度有“零上”和“零下”，水位變化有“升高”和“降低”,經(jīng)營情況有“盈利’和“虧損”等等.由具有相反意義的詞表示的兩個數(shù)量，就是具有相反意義的量.2.常用詞匯收入盈利上升零上增加向東…支出虧損下降零下減少向西…注意：(1)具有相反意義的量必須是同類量.(2)具有相反意義的量，只是意義相反，數(shù)量可以不相等，即與一個量成相反意義的量不止一個.例如:盈利200元,與它成相反意義的量可以是虧損100元也可以是虧損80元等.即學即練（2023·浙江杭州·七年級校聯(lián)考期末）中國古代數(shù)學著作九章數(shù)術的“方程”一章，在世界數(shù)學史上首次正式引入負數(shù)，如果收入元記作元，那么元表示（

）A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元解答這類問題,注意以下兩點:(1)尋找具有相反意義的詞語(2)表示具有相反意義的量時，必須帶上單位，且相反意義的量一定是具體的數(shù)量.知識點三正數(shù)和負數(shù)1.正數(shù)為了表示具有相反意義的量,我們把一種意義的量規(guī)定為正，用大于零的數(shù),如123,36,,1.31等來表示,這樣的數(shù)就叫做正數(shù)(positivenumber).2.負數(shù)把另一種與之意義相反的量規(guī)定為負，用大于零的數(shù)前面放上負號“-”來表示,如-233.-60,,-0.5等，這樣的數(shù)就叫做負數(shù)(negativenumber).1.正數(shù)前面可以放上正號“+”來表示(常省略不寫);負數(shù)前面可的“-”不能省略，否則就變成了正數(shù).2.符號“+”“-”的雙重意義(1)作為運算符號是加減號(2)作為性質(zhì)符號是正負號即學即練（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）若向東走米記為，則表示（

）A．向西走2米 B．向東走2米 C．向西走米 D．向北走2米3.0的特征0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正數(shù)和負數(shù)的分界.注意：0作為某些量的基準量，具有初始位置的意義.如0℃不是表示沒有溫度，而表示標準大氣壓下，水開始結(jié)冰的溫度.即學即練把下列各數(shù)分別填在相應的集合內(nèi)：，，，，，，，，．(1)正數(shù)集合：{

…}；(2)負數(shù)集合：{

…}；(3)整數(shù)集合：{

…}．知識點四有理數(shù)的有關概念正整數(shù)、零和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)(integer),如1,2,0，-1，-2等.正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)(fraction),如,,，等.整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)(rationalnumber)因為有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、百分數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)，所以我們把有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、百分數(shù)都看做分數(shù).零既不是正數(shù),也不是負數(shù)，但零是整數(shù),也是有理數(shù).即學即練小強在筆記上整理了以下結(jié)論，其中錯誤的是（）A．有理數(shù)可分為正數(shù)、零、負數(shù)三類 B．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)C．正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分數(shù) D．負整數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為負有理數(shù)知識點五有理數(shù)的分類按有理數(shù)的正負分類提示1.有理數(shù)分類原則(1)統(tǒng)一標準,必須按同一標準分類;(2)不重復,即同一個有理數(shù)不能歸到兩個類別中;(3)不遺漏，所分各類總個數(shù)必須是原來的全部.2.正有理數(shù)都是正數(shù)，但正數(shù)不一定都是正有理數(shù),如:.類似地，負有理數(shù)都是負數(shù),但負數(shù)不一定都是負有理數(shù),如:.即學即練把下列各數(shù)填入相應集合的括號內(nèi)．，，，0，，13，，，，，(1)正分數(shù)集合：{____________…}；(2)整數(shù)集合：{____________…}；(3)非負數(shù)集合：{____________…）．題型一正負數(shù)的意義例1（2023秋·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）如果溫度上升，記作，那么溫度下降記作．舉一反三1（2023秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）如果向東走3km記作，那么向西走4km記作km．舉一反三2（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）中國人很早開始使用負數(shù)，中國古代數(shù)學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數(shù)學史上首次正式引入負數(shù).如果收入100元記作+100元.那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元題型二相反意義的量例2（2023秋·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）如果轉(zhuǎn)盤沿順時針轉(zhuǎn)3圈記為+3，則轉(zhuǎn)盤沿逆時針轉(zhuǎn)2圈記為（

）A． B． C．3 D．舉一反三1（2023秋·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）如果收入500元記作元，那么支出200元記作．舉一反三2（2022秋·浙江湖州·七年級校聯(lián)考期中）若氣溫零上記作，則氣溫零下記作（

）A． B． C． D．題型三正負數(shù)的實際應用例3（2023秋·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）若收入5元記為，則支出2元記為．舉一反三1（2023秋·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如果盈利100元記作+100元，那么虧損50元記作元．舉一反三2（2023·浙江杭州·杭州市公益中學?？既＃┤绻畮斓乃桓哂谡Ｋ?m時，記作+5m，那么低于正常水位3m時，應記作（）A．+3m B．﹣3m C．+m D．﹣5m題型四有理數(shù)的概念例4（2022秋·浙江杭州·七年級?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)的序號填在相應的橫線內(nèi)：①1

②

③

④0

⑤

⑥

⑦(1)整數(shù)：______________________________；(2)負分數(shù)：______________________________；(3)有理數(shù)：______________________________．舉一反三1在數(shù)0，，，0.13，0.1010010001…(相鄰兩個1之間依次增加1個0)，中，有理數(shù)有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個舉一反三2（2022秋·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）在，，，（每兩個1之間依次多一個0），0，，這6個數(shù)中，有理數(shù)有個．題型五0的意義例5（2023秋·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）A．0既是正數(shù)又是負數(shù) B．0是最小的正數(shù)C．0既不是正數(shù)也不是負數(shù) D．0是最大的負數(shù)舉一反三1（2023秋·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（

）A．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)B．零上4攝氏度可以寫成，也可以寫成C．若盈利100元記作元，則元表示虧損20元D．向正北走一定用正數(shù)表示，向正南走一定用負數(shù)表示舉一反三2（2023秋·安徽阜陽·七年級?？计谀┫铝姓f法正確的有（）A．整數(shù)包括正整數(shù)和負整數(shù)B．零是整數(shù)，既不是正數(shù)，也不是自然數(shù)C．分數(shù)包括正分數(shù)、負分數(shù)D．有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)題型六有理數(shù)的分類例6（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）數(shù)1，，0，，中正數(shù)有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5舉一反三1（2022秋·浙江寧波·七年級校考期中）對以下數(shù)進行分類，，，，0，，負整數(shù)（

）負分數(shù)（

）正分數(shù)（

）整數(shù)（

）分數(shù)（

）有理數(shù)（

）舉一反三2（2022秋·浙江金華·七年級?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)分別填入相應的集合里，，0，，23，，0.010010001……（每兩個1之間依次多一個“0”）(1)負數(shù)集合：{

……}；(2)分數(shù)集合：{

……}；(3)非負整數(shù)集合：{

……}題型七帶“非”字的有理數(shù)例7（2022秋·浙江杭州·七年級杭州市杭州中學?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．表示一個負數(shù) B．正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)C．是分數(shù) D．非負數(shù)包括零和正數(shù)舉一反三1（2022秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）把下列各數(shù)的序號分別填在相應的橫線上：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦426．(1)正有理數(shù)：_________．(2)負分數(shù)：_________．(3)非負整數(shù)：_________．舉一反三2（2022秋·廣東汕頭·七年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)分別填入相應的集合里．0，，5，3.14，，，(1)整數(shù)集合：{…}；(2)分數(shù)集合：{…}；(3)有理數(shù)集合：{…}；(4)非負數(shù)集合：{…}．單選題1.（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）規(guī)定：表示向右移動2記作，則表示向左移動3記作（

）A． B． C． D．2．（2023秋·天津河東·七年級?？计谀┫铝姓f法中正確的是（

）A．整數(shù)一定是正數(shù) B．有這樣的有理數(shù)，它既不是正數(shù)，也不是負數(shù)C．零是最小的整數(shù) D．有這樣的有理數(shù)，它既是正數(shù)，也是負數(shù)3．（2022秋·河北石家莊·七年級?？计谥校┫铝懈鲾?shù)中，是負數(shù)的是（

）A．－1 B．0 D．4．（2023秋·廣東廣州·七年級校聯(lián)考期末）下列語句正確的是(

)A．“+15米”表示向東走15米 B．0℃表示沒有溫度C．﹣a可以表示正數(shù) D．0既是正數(shù)也是負數(shù)5．（2023秋·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義的量，并進行負數(shù)運算的國家．若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（

）A．10℃ B．0℃ C．-10℃ D．-20℃6．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級統(tǒng)考期末）在東西向的馬路上，把出發(fā)點記為0，向東與向西意義相反．若把向東走2km記作“+2km”，那么向西走1km應記作（

）A．﹣2km B．﹣1km C．+1km D．+2km7．（2023秋·廣西南寧·七年級南寧市天桃實驗學校校考期末）中國人很早就開始使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學家劉徽在“正負術”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放著表示正數(shù)，斜放著表示負數(shù)，如圖（1）表示．按照這種表示法，如圖（2）表示的是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）一種餅干包裝袋上標著：凈重（150±5克），表示這種餅干標準的質(zhì)量是150克，實際每袋最少不少于（）克．A．155 B．150 C．145 D．1609．（2023秋·山東聊城·七年級?？计谀┫铝姓f法正確的個數(shù)是（

）①一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)；②一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；③一個整數(shù)不是正的就是負的；④一個分數(shù)不是正的，就是負的.A．1 B．2 C．3 D．410．（2023秋·黑龍江綏化·六年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．0乘以任何數(shù)都等于任何數(shù) B．0可以做分母 C．0沒有倒數(shù) D．0不是整數(shù)二、填空題1.（2023春·福建福州·九年級福建省福州第十九中學校考期中）如果水位升高2m時水位變化記作+2m，那么水位下降2m時水位變化記作．2．（2023秋·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）下列各數(shù)：，，，0，，，其中分數(shù)的個數(shù)是個．3．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級烏魯木齊市第70中校考期末）在，，，，0，，2，，中，非負數(shù)有個．4．（2023秋·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)，，，0，，，，，中，是負分數(shù)．5．（2023·江西贛州·贛州市第三中學?？寄M預測）桌子上放有6枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)其中的4枚，至少翻轉(zhuǎn)次能使所有硬幣都反面朝上．三、解答題1.（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）將下列各數(shù)填入所屬的集合中：0，，，，，3.5，0.6，，10，，正數(shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；分數(shù)集合：{

…}；負整數(shù)集合：{

…}；正分數(shù)集合：{

…}；2．（2022秋·安徽蕪湖·七年級校考期中）某超市2021年上半年的營業(yè)額與2020年同