2-3 夫瑯和費單縫衍射

§2-3夫瑯禾費衍射

Fraunhoferdiffraction單縫和圓孔光源和觀察點（或二者之一）到孔隙或障礙物的距離為有限遠的衍射稱為菲涅爾衍射或近場衍射.二者均為無限遠的衍射稱為夫瑯禾費衍射或遠場衍射。菲涅爾衍射夫瑯禾費衍射夫瑯禾費衍射一、單縫的夫瑯禾費衍射1.單縫夫瑯禾費衍射實驗裝置單縫處波面看作無窮多個相干波源P點是(無窮)多光束干涉的結(jié)果2.單縫夫瑯禾費衍射實驗光路圖中央亮紋負一級正一級5

特征二：縫b越小，條紋越寬（即衍射越厲害）單縫衍射花樣的主要特征：單縫衍射花樣照片特征一：中央有一特別明亮的亮紋，兩側(cè)有一些強度較小的亮紋，中央亮紋寬度是其他亮紋寬度的兩倍；其他亮紋的寬度相同；亮度逐級下降.特征三：波長

越大，條紋越寬。如何解釋這些實驗規(guī)律？屏幕屏幕方法一、菲涅耳半波帶法相鄰半波帶發(fā)出的光到達P點的光程差均是

/2，在P點會聚時將相互抵消。P點是明紋還是暗紋取決于半波帶數(shù)目（衍射角：向上為正，向下為負）衍射角b若可將縫分為偶數(shù)個“半波帶”bλ/2BAθθc暗紋若可將縫分為奇數(shù)個“半波帶”明紋若不能將單縫分成整數(shù)個“半波帶”P點光強介于最明與最暗之間。方法一、菲涅耳半波帶法結(jié)論：分成偶數(shù)半波帶為暗紋。分成奇數(shù)半波帶為明紋。正、負號表示衍射條紋對稱分布于中央明紋的兩側(cè)對于任意衍射角，單縫不能分成整數(shù)個半波帶，在屏幕上光強介于最明與最暗之間。方法一、菲涅耳半波帶法中央明條紋的角寬度為中央兩側(cè)第一暗條紋之間的區(qū)域:

/b-(

/b)2(

/b)-2(

/b)sin

0.0470.0171I/I00相對光強曲線0.0470.017λΔxI0x1x2衍射屏透鏡觀測屏Δx

f

半角寬明紋寬度令k=1方法一、菲涅耳半波帶法中央明紋角寬度：線寬度——衍射反比定律λΔxI0x1x2衍射屏透鏡觀測屏Δx

f

中央明紋寬度最寬，約為其它各級明紋寬度的兩倍方法一、菲涅耳半波帶法由上至下，縫寬由窄變寬。增大b方法一、菲涅耳半波帶法∴幾何光學是波動光學在

/b

0時的極限情形只顯出單一的明條紋

單縫的幾何光學像當時，陰影屏幕屏幕方法一、菲涅耳半波帶法13

（縫寬）

S：單色線光源

：衍射角p

·

δ

S

f

f

b透鏡L1

透鏡L2

B’

縫平面觀察屏P0

B

*

一、實驗裝置及結(jié)果

方法二：菲涅耳積分不同的衍射角θ對應屏上不同的觀察點P。

實驗結(jié)果：在接收屏上出現(xiàn)明暗相間的衍射花樣。14

方法二、強度的計算用惠－費原理計算光強分布：

平行光入射

1、B’B上次波的振動方程將B’B分成一組平行于縫長的窄帶，設(shè)整個狹縫在θ=0

方向上的總振幅

B’B處振動的初位相某一窄帶寬度dx振幅：dx振動：各窄帶發(fā)出次波的振動方程∴入射光波面//狹縫15

2、BD上次波的振動方程作任選M點，設(shè)則

BN面上各次波到

P點的光程相同B和M到P的光程差為

N

點振動：··方法二、強度的計算xP點振幅簡化：不考慮傾斜因子

不考慮振幅與光程的反比關(guān)系

16

3、狹縫上所有次波在P的疊加積分過程見（附錄2－1）當λ、b、A0確定時，Ap僅與θ有關(guān)。決定P點合振幅的位相，與光強分布無關(guān)令P點光強隨θ的分布17

三、強度公式的討論1、最大最小位置：令（1）

（2）分別解（1）和（2）式，可得出所有極值點▲

中央最大位置：

中央主最大位置，與P0點對應為方程（1）的一個解由

由極大18

▲最小位置：

為方程（1）的另一組解由

極小位置，與衍射方向θk對應。▲次最大位置：

用圖解法解超越方程(2)

，作直線和正切曲線的交點即為方程(2)的解，如下圖：19

y1

=tgu

u

0

2

-

-2

y0·

解得:相應:

y2=u

-2.46

·

-1.43

·

+1.43

·

·

+2.46

20

次最大位置與衍射方向θk0對應前幾個次最大的位置次最大序號1

234次最大位置相對強度21

2、強度分布曲線將I次最大

<<I主最大

依次帶入光強公式，得到從中央往外各次極大的光強依次為：

0.0472I0

、0.0165I0

、

0.0083I0

…

sin

0.047

0.017

1

I/I0

0相對光強曲線

0.047

0.017

特征：中央最大的光強最大，第一級次最大光強僅為中央最大光強的5%，其他次最大的光強隨k的增加而迅速減小。22

∵

L2十分靠近狹縫

∴

f

為狹縫到屏的距離

且θ很小（滿足近軸條件）由第一級極小滿足的條件角寬度半角寬▲中央明紋寬度線寬度衍射反比定律IP0

y1

y2

L2

f

1

四、單縫衍射花樣的特點23

▲兩側(cè)明紋寬度（相鄰兩暗紋之間的距離）由暗紋條件特征一：各級暗紋和明紋等間距，中央明紋寬度為其它明紋寬度的兩倍I0y1

y2

L2

f

1

各級暗紋位置相鄰兩暗紋角寬度兩側(cè)明紋寬度

24

3λ/b2λ/b-λ/b-2λ/b-3λ/bλ/b明紋暗紋的圖示中央亮紋的半角寬

1

f

y中

特征二：縫b越小，條紋越寬（即衍射越厲害）特征三：波長

越大，條紋越寬。25

▲白光入射時中央明紋為白色，其兩側(cè)各級都為彩色條紋。該衍射圖樣稱為衍射光譜。

▲縫寬變化對條紋的影響只存在中央明紋，屏幕是一片亮。I0sin

只顯出單一的明條紋

單縫的幾何光學像

∴幾何光學是波動光學在b>>

時的極限情形。

內(nèi)紫外紅26

前面的實驗規(guī)律得到了解釋：

屏幕屏幕sin

/b

0

-

/b

-2

/b

-3

/b

2

/b

3

/b

特征一：

中央有一特別明亮的亮紋，兩側(cè)有一些強度較小的亮紋，中央亮紋寬度是其他亮紋寬度的兩倍；

其他亮紋的寬度相同；亮度逐級下降特征三：波長

越大，條紋越寬。特征二：縫b越小，條紋越寬（即衍射越厲害）例1、波長

=632.8nm的平行光垂直照射在0.0209mm單縫上?？p后緊挨著的薄透鏡焦距f=50cm，求：(1)中央明條紋到第一暗紋的角距離；

(2)中央亮紋的線寬度；例2、一束波長為

=500nm的平行光垂直照射在一個單縫上。如果所用的單縫的寬度b=0.5mm，縫后緊挨著的薄透鏡焦距f=1m，求：(a)中央明條紋的角寬度；(b)中央亮紋的線寬度；(c)

第一級與第二級暗紋的距離；(a)(b)(c)第一級與第二級暗紋的距離即為第一級明紋的線寬度解：例3：單縫衍射，縫寬a=0.5mm，透鏡焦距f=50cm，以白光垂直入射，觀察到屏上x=1.5mm明紋中心求：該處光波的波長又因為解（1）由單縫衍射明紋條件得處波長為在可見光范圍內(nèi)，滿足上式的光波：可允許在屏上x=1.5mm處的明紋為波長600nm的第二級衍射和波長為420nm的第三級衍射

平行光通過圓孔經(jīng)透鏡會聚，照射在焦平面上的屏幕上，也會形成衍射圖樣。1.夫瑯禾費圓孔衍射

因為大多數(shù)光學儀器所用透鏡的邊緣都是圓形，圓孔的夫瑯和費衍射對成象質(zhì)量有直接影響。§2-4夫瑯和費園孔衍射夫瑯和費圓孔衍射花樣：

特征一：由中央亮斑和明暗相間的同心圓環(huán)組成特征二：中央亮斑特別明亮（衍射光能的）如何解釋這些實驗規(guī)律？一、實驗裝置二、衍射花樣明暗相間的同心園環(huán)且中心為很亮的亮斑。光強公式：接收屏障礙物光源半徑RθP花樣特點:35

I0=1時的光強分布曲線P點的相對光強分布D、光強分布曲線光強二維分布圖0.6101.116艾里斑

集中了約84%的衍射光能。36

夫瑯和費圓孔衍射圖樣中央是一很亮的圓斑,集中了衍射光能量的83.8%,

通常稱為艾里斑.因為夫瑯禾費圓孔衍射的光強分布，首先由英國天文學家艾里（S.G.Airy,1801-1892)導出的。它的中心是點光源的幾何光學像。約瑟夫·馮·夫瑯和費1787－1826S.G.艾里,1801-1892愛里斑中央明紋區(qū)域愛里斑直徑第一級暗紋極小值。第一暗環(huán)對應的衍射角(式中為圓孔的直徑，為透鏡的焦距。)愛里斑對透鏡中心的張角為：愛里斑的半徑為：愛里斑的半角寬例：在圓孔的夫瑯和費衍射中，設(shè)圓孔半徑R1=0.1mm透鏡L2的焦距f=50cm，所用單色光波長，試求：在接收屏上愛里斑的半徑；若圓孔半徑改用R2=1.0mm，其它條件不變，愛里斑半徑變?yōu)槎啻螅拷邮掌琳系K物光源愛里斑圓孔解：因為所以：39

眼睛的瞳孔，望遠鏡,顯微鏡,照相機等常用的光學儀器的物鏡，在成象過程中都是衍射孔。幾何光學:

物點

象點物(物點集合)

象(象點集合)(經(jīng)透鏡)

波動光學

:物點

象斑物(物點集合)

象(象斑集合)(經(jīng)透鏡

)

透鏡成象清楚不清楚，要考慮物鏡衍射的因素?？梢?，愛里斑是點光源通過衍射孔產(chǎn)生。點光源可看作一個物點，愛里斑是物點通過圓孔產(chǎn)生的像。一個物點通過衍射孔所成的像不是一個點，而是一個愛里斑。只有，才近似認為物點像點。光的衍射限制了光學儀器的分辨本領(lǐng)物像S1S2D**愛里斑2、光學儀器的分辨本領(lǐng)點光源經(jīng)過光學儀器的小圓孔后，由于衍射的影響，所成的象不是一個點而是一個明暗相間的圓形光斑。若兩物點距離很近，對應的兩個愛里斑可能部分重疊而不易分辨能分辨不能分辨瑞利判據(jù)：如果一個點光源的衍射圖象的中央最亮處剛好與另一個點光源的衍射圖象第一個最暗處相重合，認為這兩個點光源恰好能為這一光學儀器所分辨。恰能分辨43

兩個物點的象就是這兩個衍射班的非相干疊加。如果兩個衍射斑之間的距離過近，這兩個物點的兩個象斑就不能分辨，象也就不清晰了。愛里斑的大小由衍射的規(guī)律決定：由于衍射的存在，一個物點的象不再是一個點，而是一個衍射斑(主要是愛里班)。設(shè)愛里斑的半角寬為

1

44

衍射限制了透鏡的分辨能力的示意圖。45

=

1

ID

**S1

S2

0定義：儀器的分辨本領(lǐng)假設(shè)按瑞利判據(jù)的最小分辨角為

愛里斑的半角寬為

1

它就是兩個衍射斑的角距離，也就是等于愛里斑的半角寬：46

D小D大如人眼的瞳孔基本為圓孔，直徑d一般在1~8mm之間調(diào)節(jié)，取D~2.5mm，對λ=550nm的光，愛里斑角半徑這是人眼的最小分辨角。1

AB

y25cm在明視距離25cm處，能分辨兩點的最小距離即人眼可以分辨每毫米15條線。49

例1.（姚書P124。例2.2）如圖，經(jīng)準直的光束垂直投射到一光屏上，屏上開有兩個直徑均為d，中心間距為D的圓孔，且滿足D

>

d，試分析夫瑯禾費衍射圖樣。

解：

圓孔的衍射圖樣只取決于圓孔的直徑，而與圓孔的位置是否偏離透鏡主軸無關(guān)。

50

根據(jù)幾何光學的知識，凡是平行于主