彈性力學(xué)課件二六

12.1IntroductionandAssumptions

12BendingofThinPlates12.2DifferentialEquationforBendingofThinPlate12.3StressResultantsandStressCouples12.4BoundaryConditions12.5ASimpleSolutionforEllipticalPlates12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeries12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeries邊界條件下面以矩形板為例，說明各種邊界條件：求薄板的小撓度彎曲問題，就是在滿足板邊的邊界條件下，由方程求出撓度w如圖所示矩形板，OA邊固定，OC邊簡支AB、BC邊是自由邊一、邊界條件12.4BoundaryConditionsAOBCabxy邊界條件：a、OA邊b、OC邊OC邊的邊界條件為：如果OC邊作用有分布力矩M，則邊界條件為：或?qū)憺椋篶、AB、BC邊（自由邊）AOBCabxyAB邊：BC邊：AOBCabxy邊界條件中的扭矩可以變換為等效剪力，與原來的剪力合并

二、扭矩的等效剪力例如，上述AB邊上，其扭矩如何轉(zhuǎn)換為等效剪力？ABdxdxEFG將微移段EF上的攻扭矩槐等效眾變換臘成兩孔個(gè)力饑，一旱個(gè)在E點(diǎn)，神方向今向下菠，一判個(gè)在F點(diǎn)，晚方向窗向上稱？將微釀段FG上的緞扭矩隱等效柔變換當(dāng)成兩搶個(gè)力綁，一男個(gè)在F點(diǎn)，雄方向哲向下探，一喪個(gè)在G點(diǎn)，縮慧方向汪向上齡？ABEFG將每一點(diǎn)的等效剪力疊加，得：相應(yīng)的分布剪力為：AB邊上的總剪力為：A點(diǎn)：B點(diǎn)：AB邊的邊界條件：AOBCabxyAOBCabxyBC邊的滋邊界命條件漠：將My、Mx、Qy、Qx、Mxy=Myx的表劉達(dá)式毀代入玻，得販最后淘邊界笑條件箏：AB邊：BC邊：如果院邊界臨上的次力矩M和橫柔向荷老載V不為潔零，掏則邊葉界條例件中鍵，等韻式右匪邊不吹為零技，如AB邊：AOBCabxy在兩條邊的交點(diǎn)，如B點(diǎn)若B是自由點(diǎn)，則RB=0，即若B有支座，則B點(diǎn)的條件為：四邊默簡支梁的矩緩形薄調(diào)板的紗重三璃角級銹數(shù)解12約.6Na魔vi廁er設(shè)’sSo渠lu率ti尋on女b疊y壟Do蓋ub季le喊T地ri追go露no蘇me暖tr啦ic屑S料er鄉(xiāng)豐ie神sOBCabxyA圖示四邊簡支的矩形薄板，邊界條件為：Letusconsiderasimplysupportedrectangularplatesubjectedtoanytransverseloading.Theboundaryconditionsare:OBCabxyA納維器葉(Na去vi貢er)把撓賊度w的表搏達(dá)式擔(dān)取為圾如下糊的重厭三角耐級數(shù)變：其中，m、n是正整數(shù)將w代入梯邊界還條件康，全狐部都御能滿販足將w代入方程：Th淡es喪e撞co迅nd曲it誕io嘉ns難c僚an爺b迫e邁sa疏ti賠sf潑ie脆d逼by絮t匠ak殘in幟g將q=架q（壓x，節(jié)y）也展言開為鼓重三貿(mào)角級竄數(shù)：將q左右兩邊同乘（i為任意整數(shù)）并對x積分：由于：所以，上式變?yōu)椋和恚瑢⑸鲜絻蛇呁耍╦為任意整數(shù)），并對y積分后得：將i、蒸j替換豎為m、啄n，上式只變?yōu)闃專簩、n代入q式，得：將上式代入微分方程：最后求得Amn：代入w的表約達(dá)式紫，即奮可求改出w，然后驕用公群式可妙以求型應(yīng)力齊和內(nèi)而力例如脅，當(dāng)跟薄板蠅在任繳意點(diǎn)殊上受洽集中壩力P時(shí)，扶如何尊計(jì)算手？可以用微面積dxdy上的均布荷載來代替qAmn表達(dá)舍式中度，除歡了在祝（，咐）頁處等曠于q外，蘋其余仔各處因均為姿零積分后得：撓度的表達(dá)式：由此暗，根開據(jù)內(nèi)蹤蝶力表桂達(dá)式哪可以蛾求內(nèi)江力矩形堪薄板渠的單丹三角盈級數(shù)柱解圖示矩形薄板，兩邊簡支，承受任意橫向荷載q（x，y），可以用較簡單的單三角級數(shù)求解（李維解法）Oab/2xyb/2a可假設(shè)：12夏.7Le宮vy傻’s閥S蹲o(hù)l遠(yuǎn)ut場io龜n兄by諷S憤in貫gl勢e臉Tr散ig橫on言om頑et篇ri弦c慌Se啦ri究esYm是y的任手意函號數(shù)，m為正緒整數(shù)邊界品條件倆：將w草代入汁邊界漫條件而，均忍能滿置足將w代入方程：并要求滿足時(shí)的邊界條件將q快/D勝展開畝為傅鹿立葉行級數(shù)勝，得舟：將此罰式代獸入上電述微丑分方熟程，礙得：此常踩微分各方程笨的解尾答為劉：其中，fm（y）是任意一個(gè)特解，由的結(jié)果而定Am、Bm、Cm、Dm是任意積分常數(shù)，由的邊界條件來確定最后續(xù)求得匹w的祖表達(dá)其式：注意釣：應(yīng)用牙本節(jié)殖所述鎮(zhèn)的李回維(Le族vy喘)解法報(bào)，可舊以得濁出四燈邊簡臥支的拒矩形稈薄板皂受各粉種橫餅向荷綠載時(shí)披的解授答，蔬還可始以得漲出薄發(fā)板在盒某一疊邊界鍋上受縮慧分布在力矩單作用獄或發(fā)涂生沉吼陷時(shí)噸的解宅答，國利用罷這些凝解答述，再材根據(jù)倘結(jié)構(gòu)蠶力學(xué)鍵的方值法，勞可以逃得出呀任意真薄板莫受任砍意橫堤向荷志載作斧用時(shí)斗的解緣瑞答很多谷專著咽給出吃了矩悄形薄饑板在孤各種僅邊界館條件體下承騰受各捆種橫易向荷秧載作配用時(shí)禿的撓漠度和情彎矩嘉，供墻工程析設(shè)計(jì)拾使用很多申專著桑給出績了矩濕形薄泄板在齊各種畜邊界還條件狂下承堆受各拳種橫味向荷喪載作炕用時(shí)藥的撓疫度和勸彎矩?cái)?，供蒸工程眾設(shè)計(jì)耽使用