中考數(shù)學真題：2020年吉林初中學業(yè)水平考試

吉林省2020年初中畢業(yè)生學業(yè)水平考試數(shù)學試題一、單項選擇題(每小題2分，共12分)1.－6的相反數(shù)為()A.6B.－6C.eq\f(1,6)D.－eq\f(1,6)2.國務(wù)院總理李克強2020年5月22日在作政府工作報告時說，去年我國農(nóng)村貧困人口減少11090000，脫貧攻堅取得決定性成就．數(shù)據(jù)11090000用科學記數(shù)法表示為()A.11.09×106B.1.109×107C.1.109×108D.0.1109×1083.如圖，由5個完全相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的左視圖為()第3題圖4.下列運算正確的是()A.a2·a3＝a6B.(a2)3＝a5C.(2a)2＝2a2D.a3÷a2＝a5.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為()A.85°B.75°C.65°D.60°第5題圖6.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O.若∠B＝108°，則∠D的大小為()A.54°B.62°C.72°D.82°第6題圖二、填空題(每小題3分，共24分)7.分解因式：a2－ab＝________．8.不等式3x＋1>7的解集為________．9.一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判別式的值為______．10.我國古代數(shù)學著作《算學啟蒙》中有這樣一個數(shù)學問題，其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)題意，可列方程為________________．11.如圖，某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處，他們的做法是：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D處，這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學道理是________________________．第11題圖12.如圖，AB∥CD∥EF.若eq\f(AC,CE)＝eq\f(1,2)，BD＝5,則DF＝________．第12題圖13.如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點，若△ADE的面積為eq\f(1,2)，則四邊形DBCE的面積為________．第13題圖14.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，箏形ABCD的對角線AC，BD相交于點O.以點B為圓心，BO長為半徑畫弧，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，則eq\o(EF,\s\up8(︵))的長為________(結(jié)果保留π)．第14題圖三、解答題(每小題5分，共20分)15.求化簡，再求值：(a＋1)2＋a(1－a)－1其中a＝eq\r(7).16.“中國結(jié)”是我國特有的手工編織工藝品，也是一種傳統(tǒng)吉祥裝飾物.如圖，現(xiàn)有三張正面印有“中國結(jié)”圖案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面圖案不同外，其余均相同，將三張卡片正面向下洗勻，小吉同學從中隨機抽取一張卡片，記下圖案后正面向下放回，洗勻后再從中隨機抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小吉同學抽出的兩張卡片中含有A卡片的概率．第16題圖17.甲、乙二人做某種機械零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等，求乙每小時做零件的個數(shù)．18.如圖，在△ABC中，AB>AC,點D在邊AB上，且BD＝CA.過點D作DE∥AC.并截取DE＝AB，且點C,E在AB同側(cè)，連接BE.求證：△DEB≌△ABC.第18題圖四、解答題(每小題7分，共28分)19.圖①、圖②、圖③都是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，A，B,C均為格點．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：(1)在圖①中，畫一條不與AB重合的線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對稱，且M,N為格點．(2)在圖②中，畫一條不與AC重合的線段PQ，使PQ與AC關(guān)于某條直線對稱，且P,Q為格點．(3)在圖③中，畫一個△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于某條直線對稱，且D，E，F(xiàn)為格點．第19題圖20.如圖，某班數(shù)學小組測量塔的高度，在與塔底部B相距35m的C處，用高1.5m的測角儀CD測得該塔頂端A的仰角∠EDA為36°.求塔AB的高度(結(jié)果精確到1m).(參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)第20題圖21.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，B在函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x﹥0)的圖象上(點B的橫坐標大于點A的橫坐標)，點A的坐標為(2，4)，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C，連接OA，AB.(1)求k的值．(2)若D為OC中點，求四邊形OABC的面積．第21題圖22.2020年3月線上授課期間，小瑩、小靜和小新為了解所在學校九年級600名學生居家減壓方式情況，對該校九年級部分學生居家減壓方式進行抽樣調(diào)查．將居家減壓方式分為A(享受美食)、B(交流談心)、C(室內(nèi)體育活動)、D(聽音樂)和E(其他方式)五類，要求每位被調(diào)查者選擇一種自己最常用的減壓方式．他們將收集的數(shù)據(jù)進行了整理，繪制的統(tǒng)計表分別為表1、表2和表3.表1：小瑩抽取60名男生居家減壓方式統(tǒng)計表(單位：人)減壓方式ABCDE人數(shù)463785表2：小靜隨機抽取10名學生居家減壓方式統(tǒng)計表(單位：人)減壓方式ABCDE人數(shù)21331表3：小新隨機抽取60名學生居家減壓方式統(tǒng)計表(單位：人)減壓方式ABCDE人數(shù)65261310根據(jù)以上材料，回答下列問題：(1)小瑩、小靜和小新三人中，哪一位同學抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級學生居家減壓方式情況，并簡要說明其他兩位同學抽樣調(diào)查的不足之處；(2)根據(jù)三人中能較好地反應(yīng)出該校九年級居家減壓方式的調(diào)查結(jié)果，估計該校九年級600名學生中利用室內(nèi)體育活動方式進行減壓的人數(shù)．五、解答題(每小題8分，共16分)23.某種機器工作前先將空油箱加滿，然后停止加油立即開始工作．當停止工作時，油箱中油量為5L，在整個過程中，油箱里的油量y(單位：L)與時間x(單位：min)之間的關(guān)系如圖所示．(1)機器每分鐘加油量為________L．機器工作的過程中每分鐘耗油量為________L；(2)求機器工作時y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)直接寫出油箱中油量為油箱容積的一半時x的值．第23題圖24.能夠完全重合的平行四邊形紙片ABCD和AEFG按圖①方式擺放，其中AD＝AG＝5.AB＝9，點D，G分別在邊AE，AB上，CD與FG相交于點H.【探究】求證：四邊形AGHD是菱形；【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片ABCD.將平行四邊形紙片AEFG繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點F與點C重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為________；【操作二】將圖②中的平行四邊形紙片AEFG繞著點A繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點E與點B重合，連接DG,CF，如圖③.若sin∠BAD＝eq\f(4,5)，則四邊形DCFG的面積為________．第24題圖六、解答題(每小題10分，共20分)25.如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4cm.動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勾速運動，過點P作PQ⊥AB，交折線AC－CB于點Q.以PQ為邊作等邊三角形PQD,使點A，D在PQ異側(cè)．設(shè)點P的運動時間為x(s)(0<x<2)，△PQD與△ABC重疊部分圖形的面積為y(cm2)．(1)AP的長為______cm(用含x的代數(shù)式表示)；(2)當點D落在邊BC上時，求x的值；(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．第25題圖備用圖26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋eq\f(3,2)與x軸正半軸交于點A.且點A的坐標為(3,0)，過點A作垂直于x軸的直線l.P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標為m，過點P作PQ⊥l于點Q；M是直線l上的一點，其縱坐標為－m＋eq\f(3,2)，以PQ,QM為邊作矩形PQMN.(1)求b的值；(2)當點Q與點M重合時，求m的值；(3)當矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求m的值．(4)當拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．第26題圖備用圖

2020吉林數(shù)學參考答案及解析1.A【解析】∵符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，∴－6的相反數(shù)是6.故選A.2.B【解析】將一個大于10的數(shù)用科學記數(shù)法表示，其形式為a×10n，其中1≤a＜10，n的值為原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，∴11090000＝1.109×107.故選B.3.A4.D【解析】逐項分析如下：選項逐項分析正誤Aa2·a3＝a2＋3＝a5≠a6B(a2)3＝a2×3＝a6≠a5C(2a)2＝4a2≠2a2Da3÷a2＝a3－2＝a√5.B【解析】如解圖，∵∠ACB＝60°，∠DCE＝45°，∠B＝90°，∴∠BCF＝∠ACB－∠DCE＝60°－45°＝15°，∴α＝180°－90°－15°＝75°.故選B.第5題解圖6.C【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B＋∠D＝180°，∵∠B＝108°，∴∠D＝180°－108°＝72°.故選C.7.a(a－b)【解析】a2－ab＝a(a－b)．8.x＞2【解析】移項，得3x＞7－1，合并同類項，得3x＞6，系數(shù)化為1，得x＞2.9.13【解析】∵a＝1，b＝3，c＝－1，∴b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝9＋4＝13.10.240x＝150(x＋12)【解析】設(shè)快馬x天可追上慢馬，則慢馬跑了(x＋12)天，依題意列方程得：240x＝150(x＋12)．11.垂線段最短【解析】連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．12.10【解析】∵AB∥CD∥EF，∴eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)，∵eq\f(AC,CE)＝eq\f(1,2)BD＝5，∴eq\f(1,2)＝eq\f(5,DF)，解得DF＝10.13.eq\f(3,2)【解析】∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝(eq\f(DE,BC))2＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，∵S△ADE＝eq\f(1,2)，∴S△ABC＝4S△ADE＝4×eq\f(1,2)＝2.∴S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).14.eq\f(1,2)π【解析】∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∵AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACD＝30°，∴∠BCD＝90°，∴∠BAD＝90°，∵AD＝1，∴BD＝2，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD＝30°，∵∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝60°，∴∠AOD＝90°，∴OD＝BD－OD＝2eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BO＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴Leq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\f(60×π×\f(3,2),180)＝eq\f(1,2)π.15.解：原式＝a2＋2a＋1＋a－a2－1＝3a，當a＝eq\r(7)時，原式＝3eq\r(7).16.解：根據(jù)題意列表如下：第一張結(jié)果第二張ABCA(A，A)(B，A)(C，A)B(A，B)(B，B)(C，B)C(A，C)(B，C)(C，C)或畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽出的兩張卡片中含有A卡片的有5種情況，∴P(抽出的兩張卡片中含有A卡片)＝eq\f(5,9).17.解：設(shè)乙每小時做x個零件，則甲每小時做(x＋6)個零件，根據(jù)題意得eq\f(90,x＋6)＝eq\f(60,x)，解得x＝12，經(jīng)檢驗：x＝12是原分式方程的根，且符合實際．答：乙每小時做12個零件．18.證明：∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∵BD＝CA，DE＝AB，∴△DEB≌△ABC(SAS)．19.解：(1)如解圖①，線段MN即為所求；(畫出一種即可)第19題解圖①(2)如解圖②，線段PQ即為所求；(畫出一種即可)第19題解圖②(3)如解圖③，△DEF即為所求．(畫出一種即可)第19題解圖③20.解：由題意知四邊形BCDE是矩形，則BE＝CD＝1.5，DE＝BC＝35，在Rt△ADE中，tan∠EDA＝eq\f(AE,DE)，∵∠EDA＝36°，∴AE＝DE·tan∠EDA＝35×tan36°≈25.55(米)，∴AB＝AE＋BE＝25.55＋1.5≈27(米)，答：塔AB的高度約為27米．21.解：(1)將點A(2，4)代入y＝eq\f(k,x)，得4＝eq\f(k,2)，解得k＝2×4＝8；(2)∵AD⊥x軸，A(2，4)，∴OD＝2，AD＝4，∵點D為OC的中點，∴OC＝2OD＝4，∵BC⊥x軸，∴點B的橫坐標為4，∵點B在函數(shù)y＝eq\f(k,x)上，∴y＝eq\f(8,4)＝2，∴點B的坐標為(4，2)，∴BC＝2，CD＝2，∴S四邊形OABC＝S△OAD＋S梯形ABCD＝eq\f(1,2)×2×4＋eq\f(1,2)×(4＋2)×2＝10.22.解：(1)小新同學的抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好的反映該校九年級學生居家減壓方式的情況；小瑩同學的抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)不足之處：只抽取了男生，樣本缺乏代表性；小靜同學的抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)不足之處：樣本容量太小，隨機性太大，樣本缺乏代表性．(2)600×eq\f(26,60)＝260(人)，答：該校九年級學生中利用室內(nèi)體育活動方式進行減壓的約有260人．23.解：(1)3，0.5；【解法提示】由圖象可知，機器每分鐘加油量為30÷10＝3L；機器工作的過程中每分鐘耗油量為(30－5)÷(60－10)＝25÷50＝0.5L.(2)設(shè)機器工作時y與x的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，把(10，30)，(60，5)代入得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝30,60k＋b＝5)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2),b＝35)))，∴機器工作時y與x的函數(shù)解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋35(10≤x≤60)；(3)5或40.【解法提示】由圖象可知，當0≤x≤10時，y與x的函數(shù)解析式為y＝3x，∵油箱容積為30L，∴油箱容積的一半為15L，令y＝15，根據(jù)題意得3x＝15或－eq\f(1,2)x＋35＝15，解得x＝5或x＝40，∴當油箱中油量為油箱容積的一半時x的值5或40.24.解：【探究】證明：∵四邊形ABCD和AEFG是平行四邊形，∴AB∥CD，AE∥FG，∴四邊形AGHD是平行四邊形，∵AD＝AG，∴四邊形AGHD是菱形；【操作一】56；【解法提示】如解圖①，由題意易證△ADM≌△CEM≌△AGN≌△CBN，∴GN＝BN，∵AB＝9，AG＝5，∴△AGN的周長＝AG＋AN＋GN＝AG＋AN＋BN＝AG＋AB＝9＋5＝14，∴未重疊部分圖形的周長和＝4×14＝56.第24題解圖①【操作二】72.【解法提示】如解圖②，∵四邊形ABCD和AEFG是能夠完全重合的平行四邊形，∴AB∥CD，AE∥FG，AB＝CD＝AE＝FG＝9，∠DAK＝∠GAK，∵點E與點B重合，∴AB∥CD∥FG，∴四邊形DCFG是平行四邊形，∵AD＝AG，∴AK⊥DG即∠AKD＝90°，DK＝GK，∴∠CDK＝∠AKD＝90°，∴四邊形DCFG是矩形；在Rt△ADK中，sin∠BAD＝eq\f(DK,AD)＝eq\f(4,5)，即eq\f(DK,5)＝eq\f(4,5)，∴DK＝4，∴DG＝2DK＝8，∴四邊形DCFG的面積＝8×9＝72.第24題解圖①25.解：(1)2x；【解法提示】∵AP的長為點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度運動xs的距離，∴AP＝2x；(2)由(1)知AP＝2x，則PB＝AB－AP＝4－2x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，在Rt△APQ中，∴PQ＝AP·tanA＝2x·tan60°＝2eq\r(3)x，當點D落在BC上時，如解圖①，PQ＝PD，∵∠BPQ＝90°，∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝30°，∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝90°，∴PD＝PB·sinB＝(4－2x)·sin60°＝2eq\r(3)－eq\r(3)x，∴2eq\r(3)x＝2eq\r(3)－eq\r(3)x，解得x＝eq\f(2,3)，∴當點D落在BC上時，x的值為eq\f(2,3)；第25題解圖①(3)分三種情況：①當0＜x≤eq\f(2,3)時，點Q在AC上，如解圖②，△PQD與△ABC重疊部分圖形是等邊△PQD，∵∠APQ＝90°，∠A＝60°，AP＝2x，∴PQ＝2eq\r(3)x，∴y＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3)x)2＝3eq\r(3)x2；第25題解圖②②當eq\f(2,3)＜x≤1時，點Q在AC上，如解圖③，△PQD與△ABC重疊部分圖形是四邊形PEFQ，∵∠APQ＝90°，∠A＝60°，AP＝2x，∴PQ＝2eq\r(3)x，即PD＝2eq\r(3)x，∵∠BPQ＝90°，∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝30°，∴∠BEP＝180°－∠B－∠BPD＝90°，∴PE＝PB·sinB＝(4－2x)·sin60°＝2eq\r(3)－eq\r(3)x，∴DE＝PD－PE＝2eq\r(3)x－(2eq\r(3)－eq\r(3)x)＝3eq\r(3)x－2eq\r(3)，∵∠D＝60°，∴EF＝DE·tan60°＝(3eq\r(3)x－2eq\r(3))×eq\r(3)＝9x－6，∴y＝S△PQD－S△DEF＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3)x)2－eq\f(1,2)(3eq\r(3)x－2eq\r(3))(9x－6)＝－eq\f(21\r(3),2)x2＋18eq\r(3)x－6eq\r(3)；第25題解圖③③當1＜x＜2時，點Q在BC上，如解圖④，△PQD與△ABC重疊部分圖形是△PEQ，∵AP＝2x，∴PB＝4－2x，由②知∠BEP＝90°，∵∠B＝60°，∴PE＝PB·sinB＝(4－2x)·sin60°＝2eq\r(3)－eq\r(3)x，∵∠DPQ＝60°，∴QE＝PE·tan∠DPQ＝(2eq\r(3)－eq\r(3)x)·tan60°＝(6－3x)，∴y＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－eq\r(3)x)(6－3x)＝eq\f(3\r(3),2)x2－6eq\r(3)x＋6eq\r(3)；第25題解圖④綜上所述，y與x的函數(shù)解析式為：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3\r(3)x2（0＜x≤\f(2,3)）,－\f(21\r(3),2)x2＋18\r(3)x－6\r(3)（\f(2,3)＜x≤1）,\f(3\r(3),2)x2－6\r(3)x＋6\r(3)（1≤x＜2）))).26.解：(1)把點A(3，0)代入y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋eq\f(3,2)，得0＝－eq\f(1,2)×32＋3b＋eq\f(3,2)，解得b＝1；(2)由(1)知拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,2)x2＋x＋eq\f(3,2)，∴點P的坐標為(m，－eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(3,2))，∵PQ⊥l，l⊥x軸，∴PQ∥x軸，∴點Q的縱