方程求根的數(shù)值方法

方程求根的數(shù)值方法第1頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：f(x)連續(xù)，f(a)與f(b)異號(hào)，a<b，則方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根，稱(a,b)是該方程的一個(gè)有根區(qū)間。若已知(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)根，則稱(a,b)是一個(gè)單根區(qū)間。確定了單根區(qū)間(a,b)后，就可用數(shù)值求根的方法進(jìn)行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、圖形放大法、數(shù)值迭代逼近法第2頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2）圖形放大法y=f(x)圖象與x軸交點(diǎn)（的橫坐標(biāo)）即為f(x)=0根。借助計(jì)算機(jī)，逐步畫圖，就可得近似根。1）逐步搜索法適當(dāng)取一個(gè)小正數(shù)h，逐步計(jì)算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、……的值，直到相鄰兩個(gè)值異號(hào)，則取這兩點(diǎn)的中點(diǎn)為近似根。第3頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

3）數(shù)值迭代逼近法（1）區(qū)間迭代法（縮小有根區(qū)間）對(duì)分法就是將已知有根區(qū)間[a,b]一分為二，比較三個(gè)數(shù)的正負(fù)，根據(jù)“介值定理”確定哪一半有根；重復(fù)多次。黃金分割法與對(duì)分法本質(zhì)上一致，只不過每次壓縮區(qū)間的比例不是一半，而是壓縮比例為0.618（黃金分割比例）區(qū)間迭代法1）對(duì)分法2）黃金分割法點(diǎn)迭代法1）簡(jiǎn)單迭代法2）牛頓切線法

3）單點(diǎn)割線法4）兩點(diǎn)割線法第4頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：用對(duì)分法求x4+x-3=0在(1,2)內(nèi)的一個(gè)根，誤差0.05。解：設(shè)f(x)=x4+x-3。則有根區(qū)間是(1,2)有根區(qū)間(1,1.5)有根區(qū)間(1,1.25)有根區(qū)間(1.125,1.25)有根區(qū)間(1.125,1.1875)第5頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）點(diǎn)迭代法若數(shù)列{xk}收斂，則極限值就是準(zhǔn)確根。滿足x=φ(x)的點(diǎn)稱為方程的不動(dòng)點(diǎn)，此法又稱為方程求解的不動(dòng)點(diǎn)法。注意到迭代函數(shù)形式不唯一，其迭代差異可能很大。迭代法需要討論的基本問題有：迭代法函數(shù)構(gòu)造、迭代序列的收斂性，收斂速度以及誤差估計(jì)。一般迭代法：將f(x)=0適當(dāng)變形為x=φ(x),在根的鄰近找一個(gè)點(diǎn)x0作為初始點(diǎn)，作迭代第6頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（壓縮映像原理）設(shè)迭代函數(shù)x＝φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足：（1）對(duì)任意x∈[a,b]，φ(x)∈[a,b]；（2）滿足Lipschitz條件

則x＝φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上存在唯一解x*，使得對(duì)任意x∈[a,b]，由xk+1=φ(xk)產(chǎn)生的序列{xk}收斂于x*。

第7頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月y=x迭代法的幾何意義交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為f(x)=0的根。y=φ(x)第8頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月簡(jiǎn)單迭代收斂情況的幾何解釋第9頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由建立迭代關(guān)系：例2：試用迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間(1，2)內(nèi)的實(shí)根。k=0,1,2,3…….第10頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月但如果由x=x3-1建立迭代公式xk+1=xk3-1，k=0,1···仍取x0=1.5，則有x1=2.375，x2=12.39，顯然結(jié)果越來越大，{xk}是發(fā)散序列。作業(yè)：證明函數(shù)在區(qū)間[1，2]上滿足迭代收斂條件。第11頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓迭代法：方程f(x)=0，求導(dǎo)f’(x)，在根的鄰近找一個(gè)點(diǎn)x0

作為初始點(diǎn)，作迭代以此產(chǎn)生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，稱為Newton法，又叫切線法。當(dāng)初值x0和方程的根x*接近時(shí)，f(x)近似等于f(x0)+f’(x0)(x-x0)，則f(x)=0與f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0看作近似同解方程。取x=x-f(x)/f’(x)作為迭代函數(shù)。第12頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月Newton迭代法幾何解釋

第13頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月Newton迭代法算法框圖第14頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月Newton迭代法算法第15頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例1`：用牛頓法求x4+x-3=0在(1,2)內(nèi)的一個(gè)根，初值為1.5。得到方程的一個(gè)近似根1.1640，誤差小于0.0001.

解：第16頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月弦截法Newton迭代法有一個(gè)較強(qiáng)的要求是存在導(dǎo)函數(shù)且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代f’(x)。第17頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月令y=0，解得弦與x軸的交點(diǎn)是坐標(biāo)x2。定端點(diǎn)弦截法又稱單點(diǎn)割線法。第18頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月變端點(diǎn)弦截法又稱兩點(diǎn)割線法第19頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月弦截法的幾何解釋第20頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月求解方程f(x)=0的快速弦截法第21頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月通常求方程的根時(shí)：先分析確定