2023版高考數(shù)學一輪總復習第十二章概率第四講二項分布與正態(tài)分布課件理

第十二章

概率第四講二項分布與正態(tài)分布要點提煉

二項分布及其應用考點1

條件概率P(B|A)

二項分布及其應用考點1

P(B|A)+P(C|A)P(A)P(B)

二項分布及其應用考點13.獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗

定義:一般地,在相同條件下重復做n次試驗稱為n次獨立重復試驗.計算公式:若用Ai(i=1,2,3,…,n)表示第i次試驗的結果,則這n個事件同時發(fā)生的概率P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An).(2)二項分布定義:一般地,在n次獨立重復試驗中,設事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,此時稱隨機變量X服從二項分布,記作⑥X~B(n,p),并稱p為成功的概率.

二項分布及其應用考點1計算公式:在n次獨立重復試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.二項分布的期望與方差:若隨機變量X服從二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=

.名師提醒

1.獨立重復試驗的條件(1)每次試驗在相同條件下可重復進行;(2)每次試驗是相互獨立的;(3)每次試驗都只有兩種結果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.

np(1-p)

二項分布及其應用考點1

正態(tài)分布考點2

x=μx=μ

正態(tài)分布考點2d.曲線與x軸之間的面積為1.e.當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖(1)所示.f.當μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越

,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越

,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖(2)所示.小大

正態(tài)分布考點2

X~N(μ,σ2)

正態(tài)分布考點2(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)a.P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,b.P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,c.P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.名師提醒1.在實際應用中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱之為3σ原則.2.若X~N(μ,σ2),則隨機變量X在μ的附近取值的概率很大,在離μ很遠處取值的概率很小.3.若X~N(μ,σ2),則X的期望與方差分別為E(X)=μ，D(X)=σ2.理解自測1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)若兩個事件是互斥事件,則兩個事件相互獨立.(

)(2)對立事件一定是相互獨立事件.(

)(3)對于任意事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(4)在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生,相當于事件A,B同時發(fā)生.(

)(5)對任意兩個事件B,C,P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).(

)(6)X服從正態(tài)分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中參數(shù)μ和σ分別表示正態(tài)分布的均值和方差.(

)××××××

×BA考向掃描

條件概率考向11.典例[2021安徽師大附中5月模擬]設10件產(chǎn)品中有4件不合格,從中任意選取2件,則在所選取的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品時,另一件也是不合格品的概率是

.

解析

記事件A為“選取的兩件產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品”,事件B為“另一件是不合格品”,則AB為“兩件都是不合格品”.

條件概率考向1

條件概率考向1方法技巧

1.求條件概率的三種方法定義法基本事件法縮樣法即縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡.

條件概率考向1

2.條件概率的判斷依據(jù)對條件概率問題的判斷主要依據(jù)題目中出現(xiàn)的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼.若題目中沒有出現(xiàn)上述字眼,但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率,一般也認為是條件概率問題.

條件概率考向1

2.變式[2021廣東佛山三模]設某種動物由出生算起,活到20歲的概率是0.8,活到25歲的概率是0.4.現(xiàn)有一個20歲的這種動物,它能活到25歲的概率是

.

0.5

相互獨立事件考向2角度1

相互獨立事件的判斷3.典例

[2021新高考卷Ⅰ]有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則 (

)A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立B

相互獨立事件考向2

相互獨立事件考向2角度2

相互獨立事件的概率的求法4.典例

[2019全國卷Ⅱ][理]11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

相互獨立事件考向2解析

(1)“X=2”包含的事件為“甲連贏兩球”或“乙連贏兩球”.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)“X=4且甲獲勝”包含的事件為“前兩球甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分”.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.

相互獨立事件考向2方法技巧相互獨立事件的概率的求法(1)直接法:利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)間接法:正面計算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時,可從其對立事件入手計算.與相互獨立事件A,B有關的概率的計算公式如下表:

相互獨立事件考向2事件A,B相互獨立概率計算公式A,B同時發(fā)生P(AB)=P(A)P(B)A,B同時不發(fā)生A,B至少有一個不發(fā)生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一個發(fā)生A,B恰有一個發(fā)生

相互獨立事件考向25.變式[2019全國卷Ⅰ][理]甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是

.0.18

相互獨立事件考向2

獨立重復試驗與二項分布考向3角度1

獨立重復試驗

獨立重復試驗與二項分布考向3

獨立重復試驗與二項分布考向3

獨立重復試驗與二項分布考向3角度2

二項分布

獨立重復試驗與二項分布考向3

X0123P

獨立重復試驗與二項分布考向3

獨立重復試驗與二項分布考向3方法技巧1.利用二項分布解決實際問題的關鍵是建立二項分布模型,隨機變量X服從二項分布的依據(jù):①試驗為n次獨立重復試驗;②隨機變量X是在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù).若X~B(n,p),則利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求期望、方差,可減少計算量.2.有些隨機變量雖不服從二項分布,但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布,這時,可以應用均值與方差的性質求解,即利用E(ax+b)=aE(x)+b,D(ax+b)=a2D(x)求解.

獨立重復試驗與二項分布考向38.變式[2018全國卷Ⅰ][理]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品做檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件做檢驗,再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

獨立重復試驗與二項分布考向3(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品做檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X);(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗?

獨立重復試驗與二項分布考向3(2)由(1)知,p0=0.1,所以p=0.1.(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.(ii)如果對這箱余下的產(chǎn)品做檢驗,那么這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于E(X)>400,故應該對這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗.

正態(tài)分布及其應用考向49.典例[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則下列結論中不正確的是(

)A.σ越小,該物理量一次測量結果落在(9.9,10.1)內的概率越大B.該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等D.該物理量一次測量結果落在(9.9,10.2)內的概率與落在(10,10.3)內的概率相等D

正態(tài)分布及其應用考向4解析

設該物理量一次測量結果為X,對于A,σ越小,說明數(shù)據(jù)越集中在10附近,所以X落在(9.9,10.1)內的概率越大,所以選項A正確;對于B,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得,P(X>10)=0.5,所以選項B正確;對于C,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得,P(X>10.01)=P(X<9.99),所以選項C正確;對于D,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得,P(9.9<X<10.2)P(10<X<10.3)=P(9.9<X<10)-P(10.2<X<10.3),又P(9.9<X<10)>P(10.2<X<10.3),所以P(9.9<X<10.2)>P(10<X<10.3),所以選項D錯誤.故選D.

正態(tài)分布及其應用考向4方法技巧

有關正態(tài)分布的2類常見的概率計算1.利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱,曲線與x軸之間的面積為1.2.在求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進行對比聯(lián)系,確定它們屬于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一個.

正態(tài)分布及其應用考向4思維拓展對于正態(tài)分布N(μ,σ2),由直線x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸知:(1)P(x≥μ)=P(x<μ)=0.5;(2)對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).

正態(tài)分布及其應用考向410.變式[2017全國卷Ⅰ][理]為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學期望.(2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

正態(tài)分布及其應用考向4

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

正態(tài)分布及其應用考向4

正態(tài)分布及其應用考向4解析(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內的概率約為0.9973,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率約為0.0027,故X~B(16,0.0027).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997316≈0.0423.X的數(shù)學期望E(X)=16×0.0027=0.0432.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天內抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,發(fā)生的概率很小.

正態(tài)分布及其應用考向4

正態(tài)分布及其應用考向4

攻堅克難

概率與其他學科的綜合問題數(shù)學探索111.典例如圖,由M到N的電路中有4個元件,分別標為T1,T2,T3,T4,電流能通過T1,T2,T3的概率都是p,電流能通過T4的概率是0.9,電流能否通過各元件相互獨立.已知T1,T2,T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999.則:(1)p=

;(2)電流能在M與N之間通過的概率為

.0.98910.9解析記Ai表示事件“電流能通過Ti”,i=1,2,3,4,A表示事件“T1,T2,T3中至少有一個能通過電流”,B表示事件“電流能在M與N之間通過”.

概率與其他學科的綜合問題數(shù)學探索1

概率與其他學科的綜合問題數(shù)學探索1

C

概率與其他知識的綜合問題數(shù)學探索213.典例[2021新高考卷Ⅱ]一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,設一個這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)設p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,求證:當E(X)≤1時,p=1,當E(X)>1時,p<1;(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結論的實際含義.

概率與其他知識的綜合問題數(shù)學探索2解析

(1)由題意,P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.1,∴X的分布列為E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)記f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由題知,p為f(x)=0的實根,由p0=1-p1-p2-p3,得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].X0123P0.40.30.20.1

概率與其他知識的綜合問題數(shù)學探索2記g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1,則g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1,g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.當E(X)≤1時,g(1)≤0,易知g(x)在(0,1)上單調遞增,∴當x∈(0,1)時,g(x)=0無實根.∴f(x)=0在(0,1]上有且僅有一個實根,即p=1,∴當E(X)≤1時,p=1.

概率與其他知識的綜合問題數(shù)學探索2當E(X)>1時,g(1)>0,又g(0)<0,g(x)的圖象開口向上,∴g(x)=0在(0,1)上有唯一實根p',∴f(x)=0的最小正實根p=p'∈(0,1),∴當E(X)>1時,p<1.(3)E(X)≤1,表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)不超過自身個數(shù),種群數(shù)量無法維持穩(wěn)定或正向增長,多代繁殖后將面臨滅絕,所以p=1.E(X)>1,表示1個微生物個體可以繁殖下一代的個數(shù)超過自身個數(shù),種群數(shù)量可以正向增長,所以面臨滅絕的可能性小于1.

概率與其他知識的綜合問題數(shù)學探索214.變式[2019全國卷Ⅰ][理]為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗