湖北省咸寧市港路鄉(xiāng)中學2022年高三數(shù)學文期末試題含解析

湖北省咸寧市港路鄉(xiāng)中學2022年高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為

A．

B．

C．

D．參考答案：C2.直線被圓所截得的弦長為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.若命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：D4.當0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用．【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將已知不等式轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題加以解決即可【解答】解：∵0＜x≤時，1＜4x≤2要使4x＜logax，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0＜a＜1，數(shù)形結(jié)合可知只需2＜logax，∴即對0＜x≤時恒成立∴解得＜a＜1故選B5.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（﹣c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，O為坐標原點，若=（+），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題設知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由拋物線的定義和方程，解得P的坐標，進而得到c2﹣ac﹣a2=0，再由離心率公式，計算即可得到．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|==b，∵=（+），∴E為PF的中點，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，設F'（c，0）為雙曲線的右焦點，也為拋物線的焦點，則EO為三角形PFF'的中位線，則|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐標為（m，n），則有n2=4cm，由拋物線的定義可得|PF'|=m+c=2a，m=2a﹣c，n2=4c（2a﹣c），又|OP|=c，即有c2=（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化簡可得，c2﹣ac﹣a2=0，由于e=，則有e2﹣e﹣1=0，由于e＞1，解得，e=．故選：A．6.已知集合則=

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B7.（5分）（2015?嘉興一模）如圖，已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為雙曲線的右焦點，且滿足AF⊥BF，設∠ABF=α，且α∈[，]，則雙曲線離心率e的取值范圍為（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]參考答案：B【考點】：雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：利用S△ABF=2S△AOF，先求出e2=，再根據(jù)α∈[，]，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．解：設左焦點為F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，則|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵點A關(guān)于原點O的對稱點為B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF=2S△AOF，∴r1r2═2?c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故選：B．【點評】：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．8.已如定義在R上的函數(shù)的周期為6．且，則（

）A.11 B. C.7 D.參考答案：A【分析】利用函數(shù)是周期函數(shù)這一性質(zhì)求得和.【詳解】根據(jù)的周期是6，故，，所以,故選A.【點睛】此題考查周期函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：A項,在上是減函數(shù),故不符合題意.B項,在上為增函數(shù),故B符合題意.C項,在上是減函數(shù),故不符合題意.D項,在上是減函數(shù),故不符合題意.故本題正確選項為B.考點：函數(shù)的單調(diào)性.10.已知函數(shù)，滿足，且在上的導數(shù)滿足，

則不等式的解為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某工程由A、B、C、D四道工序組成，完成它們需用時間依次為2，5，x,4天．四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：A、B可以同時開工；A完成后，C可以開工；B、C完成后，D可以開工。若該工程總時數(shù)為9天，則完成工序C需要的天數(shù)x最大是

。參考答案：312.在中，內(nèi)角所對的邊分別是.已知，，則的值為_______.參考答案：因為，所以，解得，.所以.13.已知圓的圓心在拋物線上，且經(jīng)過該拋物線的焦點，當圓的半徑最小時，其方程為

參考答案：略14.圓心在原點上且與直線x＋y－2＝0相切的圓的方程為________________．參考答案：x2+y2=215.設α為銳角，若cos（α+）=，則sin（2α+）的值為__________．參考答案：考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦．專題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：先設β=α+，根據(jù)cosβ求出sinβ，進而求出sin2β和cos2β，最后用兩角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：設β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案為：．點評：本題要我們在已知銳角α+的余弦值的情況下，求2α+的正弦值，著重考查了兩角和與差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，屬于中檔題16.在邊長為的正方形內(nèi)任取一點，則點到點的距離小于的概率為

參考答案：略17.設函數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）=a有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)對于函數(shù)，如果存在實數(shù)使得，那么稱為的生成函數(shù)．（Ⅰ）下面給出兩組函數(shù)，是否分別為的生成函數(shù)？并說明理由；第一組：；第二組：；（Ⅱ）設，生成函數(shù)．若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設，取，生成函數(shù)使恒成立，求的取值范圍．參考答案：（1）詳見解析；（2）；（3）.試題分析：本題主要考查簡單的合理推理等基礎知識，考查了學生對新定義的接受與應用能力，同時考查了存在性問題及最值問題，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，第二組，設，從而得，從而判斷；第二問，化簡，從而為，再設，則，從而得，從而化為最值問題；第三問，將函數(shù)使恒成立，轉(zhuǎn)化成，再分情況討論函數(shù)的最小值，即可得到b的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）①設，即，取，所以是的生成函數(shù)．②設，即，則，該方程組無解．所以不是的生成函數(shù)．（Ⅱ）若不等式在上有解，，即設，則，，，故，．（Ⅲ）由題意，得若，則在上遞減，在上遞增，則，所以，得

若，則在上遞增，則，所以，得．若，則在上遞減，則，故，無解綜上可知，考點：簡單的合理推理.19.（本小題滿分16分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為Sn,已知，且對一切都成立．（1）若λ=1，求數(shù)列的通項公式；（2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．參考答案：（1）an=2n-1（2）λ=0.（2）令n=1，得．令n=2，得．

…10分要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ=0．

…11分當λ=0時，，且．當n≥2時，，整理，得，，

…13分從而，化簡，得，所以．

………………15分綜上所述，（），所以λ=0時，數(shù)列是等差數(shù)列．

…16分考點：已知求20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于點O，E是PB上任意一點．（1）求證：AC⊥DE；（2）若E為PB的中點，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值為，求EC與平面PAB所成角θ的正弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LX：直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（1）推導出DP⊥AC，從而BD⊥AC，進而AC⊥平面PBD，由此能證明AC⊥DE．（2）連接OE，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出EC與平面PAB所成角θ的正弦值．【解答】證明：（1）因為DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因為DE?平面PBD，∴AC⊥DE．解：（2）連接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設PD=t，則A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t）．設平面PAB的一個法向量為（x，y，z），則，令y=1，得=（），平面PBD的法向量=（1，0，0），因為二面角A﹣PB﹣D的余弦值為，所以|cos＜＞|==，所以t=2或t=﹣2（舍）），E（0，0，1），=（），，∴，∴EC與平面PAB所成角θ的正弦值為．21.某著名大學向大一貧困新生提供A，B，C三個類型的助學金，要求每位申請人只能申請其中一個類型，且申請任何一個類型是等可能的，在該校的任意4位申請人中．（1）求恰有3人申請A類獎助學金的概率；（2）被申請的助學金類型的個數(shù)ξ的分布列與數(shù)學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）所有可能的申請方式有34種，再求出恰有3人申請A類助學金的申請方式有多少種，由此能求出恰有3人申請A類獎助學金的概率．（Ⅱ）ξ的所有可能取值為1、2、3，分別求出相應的概率，由此能示出ξ的分布列和數(shù)學期望．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的申請方式有34種，恰有3人申請A類助學金的申請方式有種，所以，所求概率為；…（Ⅱ）ξ的所有可能取值為1、2、3…，，，…綜上知