2019年江蘇常州市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)

常州市2019年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題(本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的)1.－3的相反數(shù)是()A.eq\f(1,3)B.－eq\f(1,3)C.3D.－32.若代數(shù)式eq\f(x＋1,x－3)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.x＝－1B.x＝3C.x≠－1D.x≠33.下圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是()A.圓柱B.正方體C.圓錐D.球第3題圖4.如圖，在線段PA、PB、PC、PD中，長(zhǎng)度最小的是()A.線段PAB.線段PBC.線段PCD.線段PD第4題圖5.若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1∶2，則△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)的比為()A.2∶1B.1∶2C.4∶1D.1∶46.下列各數(shù)中與2＋eq\r(3)的積是有理數(shù)的是()A.2＋eq\r(3)B.2C.eq\r(3)D.2－eq\r(3)7.判斷命題“如果n<1，那么n2－1<0”是假命題，只需舉出一個(gè)反例．反例中的n可以為()A.－2B.－eq\f(1,2)C.0D.eq\f(1,2)8.隨著時(shí)代的進(jìn)步，人們對(duì)PM2.5(空氣中直徑小于等于2.5微米的顆粒)的關(guān)注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)隨時(shí)間t(h)的變化如圖所示，設(shè)y2表示0時(shí)到t時(shí)PM2.5的值的極差(即0時(shí)到t時(shí)PM2.5的最大值與最小值的差)，則y2與t的函數(shù)關(guān)系大致是()第8題圖二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)9.計(jì)算：a3÷a＝________．10.4的算術(shù)平方根是________．11.分解因式：ax2－4a＝________．12.如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于________°.13.如果a－b－2＝0，那么代數(shù)式1＋2a－2b的值是________．14.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－3，4)到原點(diǎn)的距離是________．15.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))是關(guān)于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，則a＝________．16.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOC＝120°，則∠CDB＝________°.第16題圖17.如圖，半徑為eq\r(3)的⊙O與邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，連接OC，則tan∠OCB＝________．第17題圖18.如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3eq\r(10)，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE＝2BE，點(diǎn)M、N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝________．第18題圖三、解答題(本大題共10小題，共84分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無特殊說明，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)19.(本題滿分8分)計(jì)算：(1)π0＋(eq\f(1,2))－1－(eq\r(3))2;(2)(x－1)(x＋1)－x(x－1).20.(本題滿分6分)解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,3x－8≤－x))，并把解集在數(shù)軸上表示出來．21.(本題滿分8分)如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′與AD相交于點(diǎn)E.(1)連接AC′，則AC′與BD的位置關(guān)系是______；(2)EB與ED相等嗎？證明你的結(jié)論．第21題圖22.(本題滿分8分)在“慈善一日捐”活動(dòng)中，為了解某校學(xué)生的捐款情況，抽樣調(diào)查了該校部分學(xué)生的捐款數(shù)(單位：元)，并繪制成下面的統(tǒng)計(jì)圖．(1)本次調(diào)查的樣本容量是________，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為________元；(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(3)該校共有600名學(xué)生參與捐款，請(qǐng)你估計(jì)該校學(xué)生的捐款總數(shù)．第22題圖23.(本題滿分8分)將圖中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)紙片分別放在3個(gè)盒子中，盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同，再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中．第23題圖(1)攪勻后從中摸出1個(gè)盒子，盒中的紙片既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是____________；(2)攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子(不放回)，再?gòu)挠嘞碌?個(gè)盒子中摸出1個(gè)盒子，把摸出的2個(gè)盒中的紙片長(zhǎng)度相等的邊拼在一起，求拼成的圖形是軸對(duì)稱圖形的概率．(不重疊無縫隙拼接)24.(本題滿分8分)甲、乙兩人每小時(shí)共做30個(gè)零件，甲做180個(gè)零件所用的時(shí)間與乙做120個(gè)零件所用的時(shí)間相等．甲、乙兩人每小時(shí)各做多少個(gè)零件？25.(本題滿分8分)如圖，在?OABC中，OA＝2eq\r(2)，∠AOC＝45°，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D.(1)求k的值；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)．第25題圖26.(本題滿分10分)【閱讀】數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量(圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等)用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．圖①圖②第26題圖【理解】(1)如圖①，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個(gè)梯形．用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)如圖②，n行n列的棋子排成一個(gè)正方形，用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù)，可得等式：n2＝________；【運(yùn)用】(3)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部再畫m個(gè)點(diǎn)，以(m＋n)個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，把n邊形剪成若干個(gè)三角形，設(shè)最多可以剪得y個(gè)這樣的三角形．當(dāng)n＝3，m＝3時(shí)，如圖③，最多可以剪得7個(gè)這樣的三角形，所以y＝7.①當(dāng)n＝4，m＝2時(shí)，如圖④，y＝________；當(dāng)n＝5，m＝________時(shí)，y＝9；圖③圖④第26題圖②對(duì)于一般的情形，在n邊形內(nèi)畫m個(gè)點(diǎn)，通過歸納猜想，可得y＝________(用含m、n的代數(shù)式表示).請(qǐng)對(duì)同一個(gè)量用算兩次的方法說明你的猜想成立．27.(本題滿分10分)如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上．(1)b＝________；(2)若點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，PH與BC、BD分別交于點(diǎn)M、N.是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PM＝MN＝NH，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于3，過點(diǎn)P作PQ⊥BD，垂足為Q，直線PQ與x軸交于點(diǎn)R，且S△PQB＝2S△QRB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．第27題圖備用圖28.(本題滿分10分)已知平面圖形S，點(diǎn)P、Q是S上任意兩點(diǎn)，我們把線段PQ的長(zhǎng)度的最大值稱為平面圖形S的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對(duì)角線的長(zhǎng)度．(1)寫出下列圖形的寬距：①半徑為1的圓：________；②如圖①，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形”：________；(2)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)，C是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d.①若d＝2，用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)C所在區(qū)域并求它的面積(所在區(qū)域用陰影表示)；②若點(diǎn)C在⊙M上運(yùn)動(dòng)，⊙M的半徑為1，圓心M在過點(diǎn)(0，2)且與y軸垂直的直線上．對(duì)于⊙M上任意點(diǎn)C，都有5≤d≤8，直接寫出圓心M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．第28題圖

2019年江蘇省常州市初中學(xué)業(yè)水平考試卷數(shù)學(xué)解析選擇題1.C【解析】－3的相反數(shù)是3.2.D【解析】要使eq\f(x＋1,x－3)有意義，則x－3≠0，解得x≠3.3.A【解析】結(jié)合三視圖可得，這個(gè)幾何體為圓柱，故選A.4.B【解析】根據(jù)“垂線段最短”可得，長(zhǎng)度最小的是線段PB.5.B【解析】根據(jù)“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比”可得，△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)比為1∶2.6.D【解析】(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝22－(eq\r(3))2＝4－3＝1，1是有理數(shù)，滿足題意，故選D.7.A【解析】當(dāng)n＝－2時(shí)，n2－1＝(－2)2－1＝3>0，所以－2滿足題意，故選A.8.B【解析】結(jié)合圖象求的y1＝0.43(x－10)2＋42(0≤x≤24)，當(dāng)0≤t＜10時(shí)，y2＝85－0.43(x－10)2－42＝－0.43(x－10)2＋43；當(dāng)10≤t＜20時(shí)，y2＝85－42＝43；當(dāng)20≤t＜24時(shí)，y2＝0.43(x－10)2＋42－42＝0.43(x－10)2，故選B.二、填空題9.a2【解析】a3÷a＝a3－1＝a2.10.2【解析】4的算術(shù)平方根是2.11.a(x－2)(x＋2)【解析】ax2－4a＝a(x2－4)＝a(x－2)(x＋2).12.55【解析】根據(jù)余角的定義可得∠α的余角為90°－35°＝55°.13.5【解析】∵a－b－2＝0，∴a－b＝2，∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5.14.5【解析】點(diǎn)P(－3，4)到原點(diǎn)的距離為：eq\r(（－3）2＋42)＝5.15.1【解析】把x＝1，y＝2代入方程ax＋y＝3中可得，a＋2＝3，解得a＝1.16.30【解析】∵AB是⊙O的直徑，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠CDB＝30°.第17題解圖17.eq\f(\r(3),5)【解析】如解圖，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵AB、BC兩邊都與⊙O相切，∴∠OBD＝30°，在Rt△OBD中，tan30°＝eq\f(OD,BD)＝eq\f(\r(3),BD)，∴BD＝3，∵BC＝8，∴CD＝8－3＝5，∴tan∠OCB＝eq\f(OD,CD)＝eq\f(\r(3),5).18.6或eq\f(15,8)【解析】∵P是AD的中點(diǎn)，∴PD＝eq\f(3\r(10),2)，∵AD＝3AB，∴DC＝eq\r(10)，BD＝eq\r(CD2＋BC2)＝10，∵CE＝2BE，∴CE＝2eq\r(10).①當(dāng)PM＝PN，此時(shí)∠DEC＝∠PMN，如解圖①，作PF⊥BD于點(diǎn)F，∵∠PDF＝∠DBC，∠PFD＝∠DCB，∴△PDF∽△DBC，∴eq\f(PF,PD)＝eq\f(DC,DB)，∴PF＝eq\f(3,2)，∵∠DEC＝∠PMN，tan∠PMN＝tan∠DEC＝eq\f(DC,EC)＝eq\f(1,2)，∴FM＝3，∴MN＝6；②當(dāng)MN＝PN，此時(shí)∠DEC＝∠PMN，如解圖②，由①可得PM＝eq\f(3\r(5),2)，MQ＝6，∠PMN＝∠MPN＝∠PQM，∴△PMN∽△MQP，∴eq\f(MN,PM)＝eq\f(PQ,MQ)，∵PM＝PQ，∴MN＝eq\f(15,8).綜上所述，MN的長(zhǎng)度為6或eq\f(15,8).第18題解圖三、解答題19.(1)eq\a\vs4\al(解：原式＝1＋2－3,＝0；)(2)解：解法一：原式＝(x－1)(x＋1)－x(x－1)＝(x－1)(x＋1－x)＝x－1.解法二：原式＝x2－1－x2＋x＝x－1.20.解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋1>0①,3x－8≤－x②)))解①得x>－1，解②得x≤2，∴不等式組的解集為－1＜x≤2.解集在數(shù)軸上表示如解圖：第20題解圖21.解：(1)AC′∥BD；(2)EB＝ED，理由如下，∵把平行四邊形ABCD沿BD折疊，∴∠CBD＝∠DBE，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴EB＝ED.22.解：(1)30，11；【解法提示】根據(jù)條形圖可得，樣本容量為：6＋11＋8＋5＝30，數(shù)據(jù)11出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11元．(2)平均數(shù)為eq\f(5×6＋10×11＋15×8＋20×5,6＋11＋8＋5)＝12(元)；(3)根據(jù)(2)可得，該校學(xué)生的捐款總數(shù)為：600×12＝7200(元).23.解：(1)eq\f(2,3)；【解法提示】∵正方形和菱形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，而等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，該事件總共有3種可能，摸出的盒子中的圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的可能有2種，∴P(摸出的盒子中的圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形)＝eq\f(2,3).(2)列出所有的可能有：AB，AC，BA，BC，CA，CB共有6種等可能的情況，其中能拼成軸對(duì)稱圖形的有AC和CA共2種可能，∴P(拼成的圖形是軸對(duì)稱圖形)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).24.解：設(shè)甲每小時(shí)做零件x件，那么乙每小時(shí)做零件(30－x)件，根據(jù)題意可得，eq\f(180,x)＝eq\f(120,30－x)，解得x＝18，檢驗(yàn)：把x＝18代入x(30－x)≠0，∴x＝18是原分式方程的解，且符合實(shí)際意義．∴30－x＝12.答：甲每小時(shí)做零件18件，乙每小時(shí)做零件12件．25.解：(1)如解圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，在Rt△AOE中，∠AOC＝45°，OA＝2eq\r(2)，∴OE＝AE＝eq\f(\r(2),2)OA＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，∴k＝2×2＝4；第25題解圖(2)∵四邊形OCBA是平行四邊形．∴AB∥OC，∵OC⊥x軸∴AB⊥x軸．∴點(diǎn)B、A、E三點(diǎn)共線．∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，D為BC的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，把x＝1代入y＝eq\f(4,x)，解得y＝4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4).26.解：(1)根據(jù)梯形的面積公式可得，梯形面積為：eq\f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq\f(1,2)(a＋b)2；利用面積和可得，梯形面積為：eq\f(1,2)ab×2＋eq\f(1,2)c2，結(jié)論為eq\f(1,2)(a＋b)2＝eq\f(1,2)ab×2＋eq\f(1,2)c2，即(a＋b)2＝ab×2＋c2，a2＋b2＝c2，驗(yàn)證了勾股定理．(2)根據(jù)題圖可得，n2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)；(3)①6；3；②通過歸納猜想可得y＝n＋2m－2，理由如下：第一種算法：對(duì)于一般的情形，在n邊形內(nèi)畫m個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)點(diǎn)將多邊形分成了n個(gè)三角形，以后三角形內(nèi)部每增加一個(gè)點(diǎn)，分割部分增加2部分，故可得y＝n＋2(m－1).第二種算法：從n邊形的內(nèi)角和考慮，n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，等于剪得的三角形的內(nèi)角和減去m個(gè)周角，即(n－2)×180°＝y(tǒng)×180°－m×360°，整理可得y＝＝n＋2m－2；得證．27.解：(1)2；【解法提示】把點(diǎn)A(－1，0)代入y＝－x2＋bx＋3，解得b＝2.(2)存在；令y＝0，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，令x＝0，則y＝3，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，eq\f(3,2))，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝0,b＝3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3)))，∴直線BC的解析式為y＝－x＋3；設(shè)直線BD的解析式為y＝mx＋n，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3m＋n＝0,n＝\f(3,2))))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2),n＝\f(3,2))))，∴直線BD的解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)；∵D是OC的中點(diǎn)，∴MN＝NH恒成立，設(shè)P(a，－a2＋2a＋3)，則M(a，－a＋3)，N(a，－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2))，∵PM＝MN，即－a2＋2a＋3－(－a＋3)＝(－a＋3)－(－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2))，解得a1＝3(舍)，a2＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(1,2)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(15,4))，∴存在點(diǎn)P(eq\f(1,2)，eq\f(15,4))，使得PM＝MN＝NH；第27題解圖(3)如解圖，作PE⊥x軸，交BD于點(diǎn)E，∴△PQE∽△BOD，∵D是OC的中點(diǎn)，OB＝OC，∴eq\f(OD,OB)＝eq\f(QE,PQ)＝eq\f(1,2)，即PQ＝2EQ.∵S△PQB＝2S△QRB，∴PQ＝2RQ∴EQ＝RQ，∴△BRQ≌△PEQ，∴PE＝BR，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(m，－m2＋2m＋3)，∵PR⊥BD，∴設(shè)直線PR的解析式為y＝2x＋b，代入點(diǎn)P，則b＝－m2＋3，∴直線PR的解析式為y＝2x－m2＋3，令y＝0，則x＝eq\f(m2－3,2)，∴BR＝3－eq\f(m2－3,2)＝－eq\f(m2,2)＋eq\f(9,2)，PE＝－m2＋2m＋3－(－eq\f(1,2)m＋eq\f(3,2))，∴|－m2＋2m＋3－(－eq\f(1,2)m＋eq\f(3,2))|＝－eq\f(m2,2)＋eq\f(9,2).①當(dāng)－m2＋2m＋3－(－eq\f(1,2)m＋eq\f(3,2))＝－eq\f(m2,2)＋eq\f(9,2)，解得m1＝2，m2＝3(舍)，∴m＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)；②－m2＋2m＋3－(－eq\f(1,2)m＋eq\f(3,2))＝eq\f(m2,2)－eq\f(9,2