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文檔簡(jiǎn)介

考向2.3一元二次方程

例1.(2019?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題)用配方法求一元二次方程(2x+34x-6)=16的實(shí)數(shù)

根.

解:原方程化為?般形式為2X2-9X-34=0,

X2--X=17,

2

x2.2x+坦=17+巴

21616

/9353

(x——v)———

416

9_.>/353

x-------±---------,

44

所以'尸中x9+V353

24

例2.(2021?內(nèi)蒙古通遼?中考真題)先化簡(jiǎn),再求值:

元+

餐2x4-1+1H2其中X滿足X-。.

解:?*x2-x-2=0

,x=2或x=?l

2x4-1x+2

(■+D+

X4-1%2+2x4-1

2

z2x4-1x-1.x+2

=(--------+--------)+---------7

x+1x+1(X+1)2

2x+x2.工+2

=X+l"(X+1)2

=傘+2)>。+1)2

x+lx+2

=x(x+1)

<x=-l分式無意義,,x=2

當(dāng)x=2時(shí),x(x+l)=2x(2+1)=6.

1、解?元二次方程常用的方法有直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈

活選用合適的方法;

2、中考題中一元二次方程常常和分式的運(yùn)算、分式方程結(jié)合在一起進(jìn)行綜合考察,提升學(xué)生綜合解方

組能力是解題的關(guān)鍵。

例3.(2021?湖北荊門?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程/一64+2加-1=0有用,工兩

實(shí)數(shù)根.

(1)若為=1,求士及機(jī)的值;

(2)是否存在實(shí)數(shù)滿足(3_1)(工2-1)=二?若存在,求出求實(shí)數(shù)〃?的值;若不存

在,請(qǐng)說明理由.

解:(1)由題意:J=(-6)2-4X1X(2/M-1)>0,

m<5,

將M=1代入原方程得:3,

又丁xi9X2=2m-1=5,

AX2=5,/n=3;

(2)設(shè)存在實(shí)數(shù)”滿足(司_。(々-1)=白,那么

有3?X2-(X|+X,)+1=—,

rn-5

BP(2/n-l)-6+l=—,

m-5

整理得:8m+12=0,

解得力=2或機(jī)=6.

由(1)可知帆<5,

,m=6舍去,從而機(jī)=2,

綜上所述:存在m=2符合題意.

知識(shí)點(diǎn)一、(1)△>0=方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)△=00方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)△<0Q

方程沒有實(shí)數(shù)根.

hC

知識(shí)點(diǎn)二、根與系數(shù)的關(guān)系:Xl,X2是一元:次方程af+bx+CM。(4聲0)的兩根時(shí),X+工2=----,X\X2=—.

aa

例4.(2021?山東濱州?中考真題)某商品原來每件的售價(jià)為60元,經(jīng)過兩次降價(jià)后每件的

售價(jià)為48.6元,并且每次降價(jià)的百分率相同.

(1)求該商品每次降價(jià)的百分率;

(2)若該商品每件的進(jìn)價(jià)為40元,計(jì)劃通過以上兩次降價(jià)的方式,將庫(kù)存的該商品20件

全部售出,并且確保兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于200元,那么第一次降價(jià)至少售出多少

件后,方可進(jìn)行第二次降價(jià)?

解:(1)設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為X,

60(1-x)2=48.6,

解得xl=0.1,x2=1.9(舍去),

答:該商品每次降價(jià)的百分率是10%;

(2)設(shè)第一次降價(jià)售出a件,則第二次降價(jià)售出(20-a)件,

由題意可得,[60(1-10%)-40]a+(48.6-40)x(20-a)>200,

解得aN5盤,

???a為整數(shù),

?,-a的最小值是6,

答:第一次降價(jià)至少售出6件后,方可進(jìn)行第二次降價(jià).

解答應(yīng)用題的關(guān)鍵是:找出等量關(guān)系和不等關(guān)系,列出相應(yīng)的方程和不等式,第一問是典型的的下降率

問題,是中考常考題型.建議學(xué)生加強(qiáng)此類題型的鞏固練習(xí)。

經(jīng)典變式練

一、單選題

1.(2021?山東臨沂?中考真題)方程/-x=56的根是()

A.%=7,9=8B.x,=7,Xj=-8C.%=-7,x2=8D.內(nèi)=-7,x2=-8

2.(2021.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題)一元二次方程*2一8》-2=0,配方后可形為()

A.(X-4)2=18B.(x-4)2=14

C.(x-8f=64D.(X-4)2=1

3.(2021?廣西河池?中考真題)關(guān)于x的一元二次方程V+皿一加一2=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根

D.實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由,〃的值確定

4.(2021?貴州遵義?中考真題)在解一元二次方程N(yùn)+px+q=O時(shí),小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q,得

到方程的兩個(gè)根是-3,1.小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)P,得到方程的兩個(gè)根是5,-4,則原

來的方程是()

A.x2+2x-3=0B.x2+2x-20=0C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0

5.(2021.山東濰坊?中考真題)若菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度是方程%2-6x+8=0的兩根,則該

菱形的邊長(zhǎng)為()

A.后B.4C.25D.5

6.(2021?廣西貴港?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程*2—依+&一3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

分別為不當(dāng),且x:+x;=5,則k的值是()

A.-2B.2C.-1D.1

7.(2021.四川雅安?中考真題)若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程*2—7x+12=O的兩根,則

該直角三角形的面積是()

A.6B.12C.12或域D.6或應(yīng)-

22

8.(2021?山東荷澤中考真題)關(guān)于x的方程(2-l),2+(2Z+l)x+l=0有實(shí)數(shù)根,則上的取

值范圍是()

A.k>—且B.—且人父1C.k>—D.kN—

4444

二、填空題

9.(2021?四川巴中?中考真題)關(guān)于x的方程2x2+〃a-4=0的一根為x=l,則另一根為

10.(2021?江蘇南通?中考真題)若相,〃是一元二次方程/+3》_1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則

32

皿+""的值為.

一1

11.(2021?四川雅安?中考真題)已知一元二次方程/+》-2021=0的兩根分別為機(jī),n,則

—+—的值為.

mn

12.(2021?湖北十堰?中考真題)對(duì)于任意實(shí)數(shù)〃、h,定義一種運(yùn)算:a?b=a2+b2-ab,

若1)=3,則x的值為.

13.(2021?湖南岳陽?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+%=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根,則實(shí)數(shù)%的值為.

三、解答題

14.(2021?湖北黃石?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程f+2皿+*+機(jī)=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求機(jī)的取值范圍;

(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為為、與,且才+考=12,求m的值.

15.(2021?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)解方程:x(x-7)=8(7-x).

16.(2021?浙江嘉興?中考真題)小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3(x-3)=(x-3)2的過程如下框:

小霞:

小敏:

移項(xiàng),得3(X-3)-(X-3)2=0,

兩邊同除以(x-3),得

提取公因式,得(x—3)(3—X—3)=0.

3=x—3,

則x-3=0或3-x-3=0,

則x=6.

解得占=3,w=0.

你認(rèn)為他們的解法是否正確?若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x”,并寫出你的解

答過程.

17.(2021?山東荷澤?中考真題)列方程(組)解應(yīng)用題

端午節(jié)期間,某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況,下面是調(diào)查員的對(duì)話:

小王:該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元;

小李:當(dāng)銷售價(jià)為每千克38元時(shí),每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的銷售

量將增加120千克.

根據(jù)他們的對(duì)話,解決下面所給問題:超市每天要獲得銷售利潤(rùn)3640元,又要盡可能讓顧

客得到實(shí)惠,求這種水果的銷售價(jià)為每千克多少元?

一、單選題

1.(2021?山東?日照港中學(xué)二模)已知關(guān)于x的一元二次方程"2-2尢-1=0有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根,則二次項(xiàng)系數(shù)〃的取值范圍是()

A.B.a>-2C.a>1且#0D.a>-1且〃邦

2.(2021?河南洛陽?二模)對(duì)于一元二次方程x2—5x+c=0來說,當(dāng)6=工時(shí),方程有兩個(gè)

4

相等的實(shí)數(shù)根,若將。的值在弓25的基礎(chǔ)上減小,則此時(shí)方程根的情況是()

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

2021

3.(2021.江蘇建鄴.一模)己知雙曲線y=丁與直線,=h+。交于磯々,%),

若%+芻>0,%+%>0,則()

A.k>0,b>0B.k>。,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,b<0

4.(2021?四川巴中?中考真題)已知二次函數(shù)y=?%2+6x+c的自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)

值見表格,則下列結(jié)論:①c=2;②〃-4“c>0;③方程a%2+/?=。的兩根為制=-2,X2

=0;?7a+c<0.其中正確的有()

X-3-2-112

y1.8753m1.8750

A.①④B.②③C.③④D.②④

5.(2021?四川綿陽?中考真題)關(guān)于%的方程速+反+CMO有兩個(gè)不相等的實(shí)根占、%,若

七=2須,則46-9ac的最大值是()

A.1B.72C.6D.2

6.(2021?福建?廈門一中三模)對(duì)于一元二次方程?2+bx+c=0(4/0),下列說法:

①若a+b+c=0,則從-4ocN0;

②若方程or?+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則方程ox?+bx+c=0(4w。)必有兩個(gè)不相等的實(shí)

根;

③若c是方程ar?+fec+c=0的一個(gè)根,則一定有ac+b+1=0成立;

2

④若飛是一元二次方程ax?+/?x+c=0的根,則b-4ac=(2av0+b\.

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

x-l0>2.

7.(2021?云南?昆明市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于x的不等式組方一―”的解集為爛

2無一1<2。+1

-2,關(guān)于x的一元二次方程以2-3》+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則符合條件的整數(shù)

有()個(gè).

A.3B.4C.5D.6

二、填空題

8.(2021?內(nèi)蒙古?呼和浩特市回民區(qū)教育局教科研室二模)方程N(yùn)=x的解為—.

9.(2021?江蘇?蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)三模)關(guān)于x的一元二次方程(〃+1)x2+bx+\=0

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式8〃-2分+6的值是

[x—m>0

10.(2021?云南?一模)已知關(guān)于X的不等式組'c,無解,且關(guān)于y的一元二次方程

[7-2x>1

陽,+分+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則整數(shù)機(jī)的值可以是

11.(2021?江蘇?蘇州市立達(dá)中學(xué)校二模)若關(guān)于x的一元二次方程,+(〃?+2?+2=0的根

都是整數(shù),則整數(shù)〃,的最大值是.

12.(2021?浙江蕭山?一模)如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形A8CD中,NA=60。,點(diǎn)E在AO上

(不與A、。重合),連接BE,CE,CE交BD于點(diǎn)、F.當(dāng)AE=QF時(shí),則AE=.

13.(2021?福建?廈門市第九中學(xué)二模)若關(guān)于x的一元二次方程62+法+。=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)

根,且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”,以下關(guān)于倍根方程的

說法,正確的是

①方程*一3工+2=0是倍根方程;

②若(1-2)(的-〃)=0是倍根方程,則〃=4機(jī)或"=團(tuán);

③若點(diǎn)(P,4)在雙曲線y=4的圖像上,則關(guān)于X的方程+3x+q=0是倍根方程

x

14.(2021.浙江.紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)二模)小麗在解一個(gè)三次方程爐一2x+l=0時(shí),

發(fā)現(xiàn)有如下提示:觀察方程可以發(fā)現(xiàn)有一個(gè)根為1,所以原方程可以轉(zhuǎn)化為。-1)(/+版+

c)=0.根據(jù)這個(gè)提示,請(qǐng)你寫出這個(gè)方程的所有的解.

三、解答題

15.(2021?重慶八中二模)某文具店去年8月底購(gòu)進(jìn)了一批文具1160件,預(yù)計(jì)在9月份進(jìn)

行試銷.購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每件10元.若售價(jià)為12元/件,則可全部售出.若每漲價(jià)1元.銷售

量就減少20件.

(1)求該文具店在9月份銷售量不低于1100件,則售價(jià)應(yīng)不高于多少元?

(2)由于銷量好,10月份該文具進(jìn)價(jià)比8月底的進(jìn)價(jià)每件增加20%,該店主增加了進(jìn)貨量,

并加強(qiáng)了宣傳力度,結(jié)果10月份的銷售量比9月份在(1)的條件下的最低銷售量增加了

2

加%,但售價(jià)比9月份在(1)的條件下的最高售價(jià)減少百機(jī)%.結(jié)果10月份利潤(rùn)達(dá)到3168

元,求,"的值.

16.(2021?遼寧?建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校二模)某兒童玩具店銷售一種玩具,每個(gè)進(jìn)價(jià)為60元,

現(xiàn)以每個(gè)100元銷售,每天可售出20個(gè),為了迎接六一兒童節(jié),店長(zhǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)

措施,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):若每個(gè)玩具每降價(jià)1元,則每天多售出2個(gè).設(shè)該玩具的銷售單價(jià)

為x(元),日銷售量為V(個(gè)).

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)為了增加盈利,減少庫(kù)存,且日銷售利潤(rùn)要達(dá)到1200元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?

(3)若銷售單價(jià)不低于成本價(jià),每個(gè)獲利不高于成本價(jià)的30%,將該玩具的銷售單價(jià)定為

多少元時(shí),玩具店每天銷售該玩具獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?

一、單選題

1.(2021,四川巴中?中考真題)兩千多年前,古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割,即:

RPAp

如圖,點(diǎn)尸是線段AB上一點(diǎn)(”>8P),若滿足M=三,則稱點(diǎn)尸是A8的黃金分割點(diǎn).黃

APAB

金分割在日常生活中處處可見,例如:主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí),站在黃金分割點(diǎn)上,觀

眾看上去感覺最好.若舞臺(tái)長(zhǎng)20米,主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入,設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在

舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上,則x滿足的方程是()

APB

A.(20-x)2=20XB.N=20(20-X)

C.x(20-x)=202D.以上都不對(duì)

2.(2021.西藏?中考真題)已知一元二次方程10x+24=0的兩個(gè)根是菱形的兩條對(duì)角線

長(zhǎng),則這個(gè)菱形的面積為()

A.6B.10C.12D.24

3.(2021?遼寧阜新?中考真題)在育紅學(xué)校開展的課外閱讀活動(dòng)中,學(xué)生人均閱讀量從七年

級(jí)的每年100萬字增加到九年級(jí)的每年121萬字.設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率

為x,根據(jù)題意,所列方程正確的是()

A.100(1+x)2=121B.100x2(1+x)=121

C.100(1+2x)=121D.100(l+x)+100(l+x)2=121

4.(2021?山東泰安?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)版(2k-l)x+k-2=0有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.k>—B.k<一

44

C.k>—且%w0D.k<—

44

5.(2021?山東棗莊?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線A3垂直于*軸于點(diǎn)C(點(diǎn)C

2

在原點(diǎn)的右側(cè)),并分別與直線y=x和雙曲線),=一相交于點(diǎn)A,B,且AC+BC=4,則

x

,043的面積為()

A.2+夜或2-夜B.2夜+2或2萬-2

C.2->/2D.272+2

6.(2021?河南?中考真題)如圖1,矩形ABCD中,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P沿BC從點(diǎn)B運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)8,尸兩點(diǎn)間的距離為x,PA-PE=y,圖2是點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)V隨x變化的關(guān)系

圖象,則8c的長(zhǎng)為()

D.7

2

7.(2021?四川宜賓?中考真題)若m.n是一元二次方程N(yùn)+3x-9=0的兩個(gè)根,則m+4m+n

的值是()

A.4B.5C.6D.12

二、填空題

8.(2021.廣東廣州.中考真題)一元二次方程/-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,點(diǎn)

A&,兇)、3(孫必)是反比例函數(shù)y=三上的兩個(gè)點(diǎn),若占<當(dāng)<0,則必%(填”

或,〉,或

9.(2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題)下列說法不正確的是(只填序號(hào)?)

①7-如的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為J萬-4.

②外角為60。且邊長(zhǎng)為2的正多邊形的內(nèi)切圓的半徑為百.

③把直線y=2x-3向左平移I個(gè)單位后得到的直線解析式為y=2x-2.

④新定義運(yùn)算:m*n=m)v-2n-1>則方程—1*x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

10.(2021?山東棗莊?中考真題)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)是4,另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程

/-6*+〃=0的兩個(gè)根,則〃的值為.

11.(2021.湖南婁底?中考真題)己知產(chǎn)-3f+l=0,則f+l=.

t

12.(2021?湖北鄂州?中考真題)已知實(shí)數(shù)。、人滿足>/^二1+憐+3|=0,若關(guān)于x的一元二次

方程/-依+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為演、x2,則:+(=.

13.(2021?江蘇南京?中考真題)設(shè)西,三是關(guān)于x的方程f一3x+Z=0的兩個(gè)根,且占=2w,

貝".

14.(2021?浙江麗水?中考真題)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式

求值問題:

已知實(shí)數(shù)4為同時(shí)滿足/+2a=H2,b2+2h=a+2,求代數(shù)式2+f的值.

ab

結(jié)合他們的對(duì)話,請(qǐng)解答下列問題:

(1)當(dāng)。=/?時(shí),。的值是.

(2)當(dāng)標(biāo)時(shí),代數(shù)式2+晟的值是__________.

ab

15.(2021?四川阿壩?中考真題)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和7,第三邊的長(zhǎng)是方程

/_8%+12=0的解,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是.

16.(2021?江蘇連云港?中考真題)已知方程d-3x+Z=()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則左=

三、解答題

17.(2021?甘肅蘭州?中考真題)解方程:x2+4x-1=0.

18.(2021.北京?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程V-4,nx+3加2=0.

(1)求證:該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

(2)若加>0,且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2,求,"的值.

19.(2021?湖北十堰?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程/-4》-2機(jī)+5=0有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

(2)若該方程的兩個(gè)根都是符號(hào)相同的整數(shù),求整數(shù),"的值.

20.(2021.遼寧盤錦?中考真題)某工廠生產(chǎn)并銷售A,B兩種型號(hào)車床共14臺(tái),生產(chǎn)并銷

售1臺(tái)A型車床可以獲利10萬元;如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺(tái)8型車床,則每臺(tái)B型車床

可以獲利17萬元,如果超出4臺(tái)B型車床,則每超出1臺(tái),每臺(tái)B型車床獲利將均減少1

萬元.設(shè)生產(chǎn)并銷售8型車床x臺(tái).

(1)當(dāng)x>4時(shí),完成以下兩個(gè)問題:

①請(qǐng)補(bǔ)全下面的表格:

A型B型

車床數(shù)量/臺(tái)—X

每臺(tái)車床獲利/萬元10—

②若生產(chǎn)并銷售8型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤(rùn)多70萬元,問:生產(chǎn)并銷售B

型車床多少臺(tái)?

(2)當(dāng)0<xW4時(shí);設(shè)生產(chǎn)并銷售4,8兩種型號(hào)車床獲得的總利潤(rùn)為W萬元,如何分配

生產(chǎn)并銷售A,B兩種車床的數(shù)量,使獲得的總利潤(rùn)W最大?并求出最大利潤(rùn).

參考答案

1.C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】

解:x2—x=56,

x2—X-56=0,

:.(x+7)(x-8)=0,

.'.x+7=0,x-8=0,

,X2=8.

故選:C.

【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是先把方程的右邊化為0,

再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的枳的形式,那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為

0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解,這樣也就把原方程進(jìn)行了降次,把解一元二次方程

轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題r.

2.A

【分析】

把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊,再把方程兩邊加上16,然后把方程作邊寫成完全平方形式即可

【詳解】

解:X2-8X-2=0

/-8k2,

/-81+16=18,

(x-4)2=18.

故選:A.

【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程-配方法:將一元二次方程配成(X+膽)2=〃的形式,再

利用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫配方法.

3.A

【分析】

先確定。、尻c的值,計(jì)算尸-4雙的值進(jìn)行判斷即可求解.

【詳解】

解:由題意可知:a=\,b=m,c=-m-2,

A=b2-4ac=m2-4x1x(-,"-2)=nr+4m+8=(/M+2)'+4>4,

???方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根的判別式,是常見考點(diǎn),當(dāng)△>()時(shí),方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=()時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:當(dāng)△<()時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根,熟記判別

式并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

4.B

【分析】

分別按照看錯(cuò)的情況構(gòu)建出一元二次方程,再舍去錯(cuò)誤信息,從而可得正確答案.

【詳解】

解:,?小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)4,得到方程的兩個(gè)根是-3,1,

所以此時(shí)方程為:(x+3)(x—l)=0,即:X2+2X-3=0,

,小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)P,得到方程的兩個(gè)根是5,-4,

所以此時(shí)方程為:(x—5)(x+4)=0,即:X2-X-20=0,

從而正確的方程是:x2+2x-20=0,

故選:B.

【點(diǎn)撥】本題考查的是根據(jù)一元二次方程的根構(gòu)建一元二次方程,掌握利用一元二次方程的

根構(gòu)建方程的方法是解題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】

先求出方程的解,即可得到AC=4,BD=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AO和DO,根據(jù)勾股

定理求出即可.

【詳解】

解:解方程X?—6x+8=0,得XI=2,x2=4,

即AC=4,BD=2,

???四邊形ABC。是菱形,

AZAOD=9Q°,AO=CO=2,BO=DO=l,

由勾股定理得A£)=JAO+DO)=」22+F=石-

即菱形的邊長(zhǎng)為石,

故選:A.

【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質(zhì),正確求出方程的根是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】

利用根與系數(shù)的關(guān)系得出±+Z=k,占蒞=欠-3,進(jìn)而得出關(guān)于女的一元二次方程求出即可.

【詳解】

解::關(guān)于x的一元二次方程丫2-6+左-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為斗,馬,

x{+X-,=k,%三=&-3,

.X:+x;=5,

2

(X[+x2)-2xtx2=5,

.?.爐-2(Z-3)=5,

整理得出:k2-2k+l=0,

解得:k、=%=1,

故選:D.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程如、桁+c=O(a?0,?,b,。為常數(shù))根與系數(shù)的關(guān)系:

bc

X+X=——,.

t2aa

7.D

【分析】

根據(jù)題意,先將方程x2-7x+12=0的兩根求出,然后對(duì)兩根分別作為直角三角形的直角邊

和斜邊進(jìn)行分情況討論,最終求得該直角三角形的面積即可.

【詳解】

解方程,7》+12=0得玉=3,々=4

當(dāng)3和4分別為直角三角形的直角邊時(shí),面枳為:x3x4=6;

2

當(dāng)4為斜邊,3為直角邊時(shí)根據(jù)勾股定理得另一直角邊為廬手=近,面積為

1x77x3=^;

22

則該直角三角形的面積是6或士且,

2

故選:D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面

積求解,熟練掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】

根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根,利用根的判別式來求上的取值范圍即可.

【詳解】

解:當(dāng)方程為一元二次方程時(shí),

?.?關(guān)于X的方程伏-1)2/+國(guó)+以+1=0有實(shí)數(shù)根,

A=(2*+l)2-4x(*-l)2xl>0,且k*l,

解得,左二且七1,

4

當(dāng)方程為一元一次方程時(shí),上1,方程有實(shí)根

綜上,

4

故選:D.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程方程的根的判別式,注意一元二次方程方程中a工0,熟

悉一元二次方程方程的根的判別式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.xi=-2

【分析】

設(shè)方程的另一根為X2,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得及=-2,解答出即可.

【詳解】

解:設(shè)方程的另一根為X2,

關(guān)于X的方程2_F+,nr-4=0的一根為,

-4

則1XX2=3=-2,

解得X2=-2.

故答案為:X2=-2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:處,X2是一元二次方程以2+瓜+片0

bc

(存0)的兩根時(shí),X\+X2=--,X\*X2=—.

aa

10.3

【分析】

先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到^+3/?7-1=0,則3,”-1=-"落根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出

m+n=-3,再將其代入整理后的代數(shù)式計(jì)算即可.

【詳解】

解:是一元二次方程x2+3x-l=O的根,

.".m2+3m-\=O,

3m-]--m2,

???,"、”是一元二次方程N(yùn)+3x-1=0的兩個(gè)根,

m+n--3,

.m3+m2nm2(m+n),..

..-------=-----r——=~(m+〃)=3,

3/n-l-m2

故答案為:3.

【點(diǎn)撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若曾,X2是一元二次方程以2+瓜+c=o(awo)的兩

hc

根時(shí),%+x,=-2,x,x2=-.也考查了一元二次方程的解.

aa

ii.-1-

2021

【分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的性質(zhì)計(jì)算,即可得到答案.

【詳解】

??,一元二次方程f+x—2021=0的兩根分別為m,n

m+n=—\,mn=—2021

.11_m+n_-1_1

mnmn-20212021

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的

性質(zhì),從而完成求解.

12.-1或2

【分析】

根據(jù)新定義的運(yùn)算得到x?(x-l)=x2+(x-l)2-x(x-l)=3,整理并求解一元二次方程即

可.

【詳解】

解:根據(jù)新定義內(nèi)容可得:x?(x-l)=x2+(x-l)?-x(x-l)=3,

整理可得d*2=0,

解得%=-1,X2=2,

故答案為:-1或2.

【點(diǎn)撥】本題考查新定義運(yùn)算、解一元二次方程,根據(jù)題意理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

13.9

【分析】

直接利用根的判別式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解:由題可知:"△=0”,BP62-4*=0;

%=9;

故答案為:9.

【點(diǎn)撥】本題考查了用根的判別式判斷一元二次方程根的情況,解決本題的關(guān)鍵是牢記:

△>0時(shí),該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;△=()時(shí),該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;△<()時(shí),

該方程無實(shí)數(shù)根.

14.(1);n<0;(2)m=-2

【分析】

(1)根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根的條件,即A20求解即可;

(2)由韋達(dá)定理把為+々和分別用含,”的式子表示出來,然后根據(jù)完全平方公式將

X:=12變形為(3-2X,X2=12,再代入計(jì)算即可解出答案.

【詳解】

(1)由題意可得:A=(2/n)2-4(/n2+m)>0

解得:m<0

即實(shí)數(shù)川的取值范圍是機(jī)工0.

2

(2)由工:+考=12可得:(%1+^)-2XJX2=12

*.*%+工2=-2m;x[x2=M+m

(-2/n)2-2^m2+〃?)=12

解得:m=3或帆=-2

V/n<0

m=—2

即加的值為-2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查的是根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系,要牢記:(1)當(dāng)△》()時(shí),方程

有實(shí)數(shù)根;(2)掌握根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達(dá)定理;(3)熟記完全平方公式等是解題的關(guān)鍵.

15.玉=7,x2=-8

【分析】

先移項(xiàng)再利用因式分解法解方程即可.

【詳解】

解:7)=8(7-幻,

x(x—7)+8(x—7)—0,

A(x-7)(x+8)=0,

??%=7,w=—8.

【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程一因式分解法,解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式.

16.兩位同學(xué)的解法都錯(cuò)誤,正確過程見解析

【分析】

根據(jù)因式分解法解一元二次方程

【詳解】

解:

小敏:小霞:

移項(xiàng),得

兩邊同除以(X-3),得3(x—3)—(x—3)2=0,

3=x—3,提取公因式,得(x-3)(3—x—3)=0.

則x=6.則工一3二0或3-工一3=0,

解得=3,毛=。.

(x)(X)

正確解答:3(x-3)=(x-3)2

移項(xiàng),得3(x-3)—(x—3>=0,

提取公因式,得(x—3)[3—(x—3)]=0,

去括號(hào),得(—+3)=0,

貝iJx-3=0或6-x=0,

解得玉=3,X2=6.

【點(diǎn)撥】本題考查因式分解法解一元二次方程,掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

17.29元.

【分析】

設(shè)這種水果每千克降價(jià)x(x>0)元,根據(jù)超市每天要獲得銷售利潤(rùn)3640元列一元二次方程,

解一元二次方程,再由題意要盡可能讓顧客得到實(shí)惠,篩選符合條件的工的值,即可解題售

價(jià).

【詳解】

解:設(shè)這種水果每千克降價(jià)x(x>0)元,

則每千克的利潤(rùn)為:(38-22-x)元,銷售量為:(160+40X)千克,

(16-x)(160+40x)=3640

整理得,

f-12x-27=0

(x-3)(x-9)=0

,x=3或x=9,

,要盡可能讓顧客得到實(shí)惠,

:.x-9

即售價(jià)為38—9=29(元)

答:這種水果的銷售價(jià)為每千克29元.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,是重要考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題

關(guān)犍.

I.D

【分析】

由關(guān)于X的一元二次方程狽2-2%-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即可得判別式△>0且二

次項(xiàng)系數(shù)a翔,繼而可求得“的范圍.

【詳解】

解:?.?一元二次方程ar2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

.*.△=(-2)2-4xax(-1)>0,且在0,

解得:a>-1且a#0,

故選:D.

【點(diǎn)撥】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識(shí).此題比較簡(jiǎn)單,注意掌握一元二次方

程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即可得△>().

2.C

【分析】

根據(jù)根的判別式即可求出答案.

【詳解】

解:由題意可知:4=25-4c,

25

當(dāng)時(shí),

4

,25-4c>0,

.??該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

故選:C.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式,本題屬于基礎(chǔ)題型.

3.C

【分析】

根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義,把問題轉(zhuǎn)化方程,不等式問題判定即可.

【詳解】

由題意得方程區(qū)2+公-2021=0的兩根分別為占,%,

b-2021

xi+%2=_X,x^——

KK

X1+工2>0

-”0,

k

r0)

k、b異號(hào),

20212021

x=—,必二—

202120212021(%+占)

y+y之=——十——=——^

x}x2中2

VyI+y2>0,

2021(x,+x2)

>0,

中2

*.*Xj+x2>0,

/.X]X2>0,

--2021八

..----->0,

k

k<0b>0.

故選C

【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題,?元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理,

不等式思想,熟練運(yùn)用交點(diǎn)坐標(biāo)的意義,把問題轉(zhuǎn)化為方程問題,不等式問題求解是解題的

關(guān)鍵.

4.B

【分析】

由表格可以得到二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)(-3,1.875)和點(diǎn)(1,1.875),這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸

對(duì)稱,由此得到對(duì)稱軸直線,設(shè)出二次函數(shù)頂點(diǎn)式,代入兩點(diǎn),求解出二次函數(shù)解析式,得

到4,b,C的值,依次代入到①②③④中進(jìn)行判斷即可解決.

【詳解】

解:由表格可以得到,二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-3,1.875)和點(diǎn)(1,1.875),

?.?點(diǎn)(-3,1.875)與點(diǎn)(1J875)是關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱的,

???二次函數(shù)的對(duì)稱軸為宜線X=-一3y+21=-1

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+l)2+/?,

代入點(diǎn)(-2,3),(2,0)得,

a+h='i

9a+h=0

3

a=—

8

解得

,27

8

二二次函數(shù)的解析式為:丫=-白a*+1)2?+7=

oo

y-3,

84

..c=3,

??.①是錯(cuò)誤的,

o3

b2-4ac=—+4x—x3>0,

168

.??②是正確的,

33

方程小+灰=0為-/-產(chǎn)0,

即為f+2x=0,

X]=-2,%,=0,

二③是正確的,

33

7〃+c=7x(-二)+3=->0,

88

???④是錯(cuò)誤的,

,②③是正確的,

故選:B.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)系數(shù)特征和二次函數(shù)解析式求法,利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解

析式是通法,由表格提煉出對(duì)稱軸的信息,是解題的突破口,此題,也可以通過二次函數(shù)系

數(shù)特征來解決.

5.D

【分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求得兩根之和和兩根之積,再根據(jù)兩根關(guān)系,求得系數(shù)

的關(guān)系,代入代數(shù)式,配方法化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】

解:由方程如2+灰+。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根為、4

bc

可得,qw0,%+/=—,X\X2=一

aa

':X2=2x,,可得網(wǎng)=,2x:=£,即2(-2)2=£

cia3aa

化簡(jiǎn)得94c=2〃

則4b-9ac=-2b2+4b=-2(b2-2b)=-2(b-I)2+2

故劭-9ac最大值為2

故選D

【點(diǎn)撥】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,涉及了配方法求解代數(shù)式的最大值,根

據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】

按照方程的解的含義、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程

的求根公式等對(duì)各選項(xiàng)分別討論,可得答案.

【詳解】

解:①若a+6+c=0,則x=l是方程,+笈+片0的解,

由一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系可知:/=〃一4“*0,故①正確;

②方程*2+c=()有兩個(gè)不相等的實(shí)根,

zf=0-4?c>0,

???-4ac>0

則方程ax2+hx+c=O的判別式J=Z?2-4(7C>0,

,方程ax2+bx+c=O必有兩個(gè)不相等的實(shí)根,故②正確;

③是方程ax2+hx+c=O的一個(gè)根,

貝(jac^+bc+c-O,

.*.(?(ac+b+1)=0,

若。=0,等式仍然成立,

但〃c+b+l=0不一定成立,故③不正確;

④若xo是一元二次方程ax2-^-hx+c=0的根,

則由求根公式可得:回="土揚(yáng)一4竺,

2a

;.2aro+6=±“2一而。,

b2-4ac=(2axo+b)2,故④正確.

故正確的有①②④,

故選:C.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根的判斷,根據(jù)方程形式,判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】

求得不等式組的解集可確定-3,再根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到存0

9

且A=9-4〃>0,所以且存0,然后找出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可.

4

【詳解】

^^->2x[x<-2

解不等式組3得,,

'一1<2〃+11X31

而此不等式組的解集是爛-2,

tz+1>-2,

-3,

?.?關(guān)于X的一元二次方程-3X+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

.?.A=9-4a>0且a和,

9

?二々V—且存0,

4

9

-3VaV—且#0,

4

,符合條件的整數(shù)a為-2、-1、1、2共4個(gè).

故選:B.

【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次不等式組、一元二次方程的定義及其根的判別式,易忽略一

元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)隱含條件.

8.x=0或

【分析】

利用因式分解法解方程即可;

【詳解】

X2=Xf

x2-x=0,

x(x-l)=0,

x=0或x=l;

故答案是:X=0BJCX=1.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程,準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)犍.

9.-2

【分析】

先根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式得到。+原0且乙=fe2-4x(?+l)=0,貝

=4,再將代數(shù)式8a-2b2+6變形后把4“=4代入計(jì)算即可.

【詳解】

解:根據(jù)題意得。+1并且A=〃-4x(a+1)=0,即「2-40-4=0,

b-4a=4,

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