水利工程測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理知識(shí)丨

水利工程測(cè)量

第6章

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)主講教師：高飛8/19/2023

1合肥工業(yè)大學(xué)第6章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)

§6.1概述§6.2測(cè)量誤差的種類§6.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)§6.4衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)§6.5誤差傳播定律§6.6同精度直接觀測(cè)平差§6.7不同精度直接觀測(cè)平差§6.8最小二乘法原理及其應(yīng)用

8/19/2023

2合肥工業(yè)大學(xué)

◆測(cè)量與觀測(cè)值

◆觀測(cè)與觀測(cè)值的分類

●觀測(cè)條件

●等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)

●直接觀測(cè)和間接觀測(cè)

●獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)§6.1測(cè)量誤差概述8/19/2023

3合肥工業(yè)大學(xué)§6.1測(cè)量誤差概述

◆測(cè)量誤差及其來源●測(cè)量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等

●

測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式

●

測(cè)量誤差（真誤差=觀測(cè)值-真值）（觀測(cè)值與真值之差）（觀測(cè)值與觀測(cè)值之差）8/19/2023

4合肥工業(yè)大學(xué)例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計(jì)算改正

鋼尺溫度誤差lt

計(jì)算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時(shí)抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時(shí)抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性?！裣到y(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校)測(cè)量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差§6.2測(cè)量誤差的種類1.粗差(錯(cuò)誤)——超限的誤差8/19/2023

5合肥工業(yè)大學(xué)3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同，表面看無規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差

。

●準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定精度）4.幾個(gè)概念:

●精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度）8/19/2023

6合肥工業(yè)大學(xué)舉例:

在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了358個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到358個(gè)三角形閉合差

i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對(duì)三角形閉合差i

進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?！?.3偶然誤差的特性8/19/2023

7合肥工業(yè)大學(xué)7/粒6/耐20渡238合肥泉工業(yè)抬大學(xué)用頻率汗直方添圖表示梢的偶監(jiān)然誤良差統(tǒng)酸計(jì)：

頻率除直方瓶圖的洞中間處高、化兩邊盛低，味并向案橫軸懶逐漸姥逼近摸，對(duì)稱昂于y軸。

頻率雹直方蜜圖中桂，每丑一條由形的湖面積旁表示童誤差貸出現(xiàn)溪在該崇區(qū)間的翁頻率k/懷n，而所苦有條散形的總面楊積等她于1。

各條圾形頂拴邊中懇點(diǎn)連比線經(jīng)蓬光滑舟后的戶曲線栗形狀支，表暢現(xiàn)出檔偶然兇誤差支的普檔遍規(guī)娛律圖6-加1誤差拾統(tǒng)計(jì)令直方六圖7/淚6/晨20乏239合肥用工業(yè)采大學(xué)◆從誤噴差統(tǒng)檢計(jì)表織和頻原率直泥方圖掌中，既可以鎮(zhèn)歸納每出偶改然誤差的四個(gè)霧特性：

特性(1賤)、(2甩)、(3陽)決定竟了特護(hù)性(4傭)，特性(4妙)具有欣實(shí)用鍵意義牌。3.偶然橡誤差魯?shù)奶丶Z性(1)在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值(有界性)；(2)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多(趨向性)；(3)絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等(對(duì)稱性)；(4)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零

(抵償性)：7/戲6/取20左2310合肥榴工業(yè)訪大學(xué)

偶然脆誤差渠具有渴正態(tài)憤分布喘的特巖性當(dāng)觀綁測(cè)次奶數(shù)n無限燥增多(n→∞醋)、誤差洪區(qū)間d無限朱縮小(d→衛(wèi)0)時(shí)，施各矩儀形的抗頂邊籮就連惕成一他條光榜滑的儲(chǔ)曲線榆，這條列曲線首稱為“正態(tài)講分布碧曲線”，又餅稱為“高斯時(shí)誤差棵分布曲神線”。所以與偶然垮誤差具有正態(tài)攜分布的特戶性。圖6-諸1誤差厘統(tǒng)計(jì)擱直方黑圖7/陣6/看20耳2311合肥同工業(yè)格大學(xué)1.方差射與標(biāo)斜準(zhǔn)差

由正態(tài)分布密度函數(shù)式中、為常數(shù)；

=2.72828…x=

y正態(tài)愁分布控曲線(a鏈=0撫)令：，上性式為幣：§6糾.4衡量赴精度寨的指也標(biāo)7/振6/艇20橡2312合肥混工業(yè)我大學(xué)

標(biāo)準(zhǔn)甜差敘的數(shù)督學(xué)意們義

表示停的離散問程度x=

y較小較大稱為標(biāo)準(zhǔn)差：上式中，稱為方差：7/望6/肺20市2313合肥作工業(yè)毛大學(xué)

測(cè)量昏工作扁中，吹用中誤頭差作為桃衡量卡觀測(cè)毫值精榴度的藝標(biāo)準(zhǔn)活。中誤辦差:觀測(cè)盼次數(shù)音無限籠多時(shí)正，用侍標(biāo)準(zhǔn)片差已表饑示偶柄然誤辰差的犁離散麗情形斯：上式中，偶然誤差為觀測(cè)值

與真值X之差：觀測(cè)次數(shù)n有限時(shí)，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：

i=

i-

X7/培6/剃20央2314合肥欠工業(yè)鳴大學(xué)7/浪6/漁20從2315合肥竹工業(yè)副大學(xué)

m1小于m2,說明績第一茶組觀占測(cè)值鐮的誤對(duì)差分傳布比雙較集中，其精度殲較高；相每對(duì)地腦，第挺二組軌觀測(cè)劈燕值的蔽誤差崖分布絞比較離散優(yōu)，其精度匪較低姿：

m1=2蟻.7奔

是第再一組皂觀測(cè)陡值的毀中誤巷差；m2=3付.6桶

是第政二組服觀測(cè)乏值的以中誤賞差。7/藏6/規(guī)20跪2316合肥孕工業(yè)添大學(xué)2.容許悄誤差(極限路誤差)

根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|7/艙6/辜20領(lǐng)2317合肥爪工業(yè)月大學(xué)3.相對(duì)擴(kuò)誤差(相對(duì)錢中誤午差)——誤差逼絕對(duì)狗值與光觀測(cè)竊量之刊比。

用于絞表示距離的精慎度。

用分市子為1的分夸數(shù)表堅(jiān)示。

分?jǐn)?shù)蓄值較輩小相憐對(duì)精幫度較慨高；亂分?jǐn)?shù)腸值較假大相稅對(duì)精凈度較委低。K2<K1，所以撈距離S2精度像較高。例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。計(jì)算S1、S2的相對(duì)誤差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：7/怠6/榆20并2318合肥座工業(yè)騾大學(xué)一.一般位函數(shù)里的中講誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個(gè)很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(duì)(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測(cè)值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差(a)§6雹.5誤差繳傳播軋定律7/繳6/藍(lán)20飽2319合肥氣工業(yè)奮大學(xué)對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d飛)對(duì)(d)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對(duì)K個(gè)(e)式取總和：(f)7/聾6/榴20漆2320合肥樹工業(yè)疑大學(xué)(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶頭然誤米差的戀抵償姜性知都：(g被)式最曬后一藍(lán)項(xiàng)極五小于咐前面探各項(xiàng)弦，可忽期略不藏計(jì)，則：<<前面各項(xiàng)即(h貨)7/醬6/隙20避2321合肥頑工業(yè)訪大學(xué)(h豬)考慮滋，蛾代入像上式畝，得便中誤居差關(guān)膠系式朵：(6續(xù)-1蟻0)上式電為一般壺函數(shù)伸的中遭誤差興公式，也漂稱為誤差潛傳播餡定律。7/挪6/孩20泰2322合肥讀工業(yè)群大學(xué)通過秋以上伙誤差盤傳播附定律狠的推吧導(dǎo)，摔我們可以怕總結(jié)桿出求觀鴨測(cè)值侄函數(shù)脫中誤抱差的耗步驟：1.列出集函數(shù)慌式；2.對(duì)函告數(shù)式須求全浙微分橋；3.套用濤誤差姨傳播射定律您，寫閣出中苗誤差曠公式份。7/轉(zhuǎn)6/跨20餃2323合肥泄工業(yè)蛋大學(xué)1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長度=168.5mm

0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種優(yōu)常用鴉函數(shù)科的中鳴誤差7/登6/諒20混2324合肥底工業(yè)角大學(xué)2.線性港函數(shù)勿的中麥誤差設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：7/四6/芒20旅2325合肥啊工業(yè)跳大學(xué)

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)佳平均迫值的孩中誤潛差式由于等精度觀測(cè)時(shí)，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了倍。

●對(duì)某兄觀測(cè)展量進(jìn)晨行多輝次觀斜測(cè)(多余包觀測(cè))取平隱均，是提矩高觀坦測(cè)成飽果精均度最荷有效酷的方釣法。7/暗6/齊20吹2326合肥串工業(yè)汽大學(xué)4.和或俘差函紡數(shù)的踩中誤狠差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：例：測(cè)定A、B間的高差，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

7/趕6/偽20軋2327合肥疾工業(yè)表大學(xué)觀測(cè)炕值函擔(dān)數(shù)中壇誤差顏公式突匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

7/匯6/餡20削2328合肥州工業(yè)楊大學(xué)誤差痕傳播納定律謀的應(yīng)碗用用DJ貧6經(jīng)緯鬧儀觀叉測(cè)三允角形距內(nèi)角沉?xí)r，攀每個(gè)菜內(nèi)角診觀測(cè)4個(gè)測(cè)匙回取蠅平均鼻，可鎖使得晴三角遠(yuǎn)形閉銀合差m

15

。例1：要求三角形最大閉合差m

15

，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？?

=(1+2+3)-180解：由題意：2m=

15

,則m=

7.5

每個(gè)角的測(cè)角中誤差：由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：7/額6/這20左2329合肥鍬工業(yè)丈大學(xué)誤差妖傳播邪定律復(fù)的應(yīng)死用例2：試萌用中救誤差賄傳播揉定律肚分析切視距豆測(cè)量相的精蹄度。解:(定1)測(cè)量舍水平企距離表的精錦度基本邪公式瓶：求全站微分謝：水平助距離閥中誤督差：其中策：7/覆6/勤20圈2330合肥好工業(yè)宣大學(xué)誤差板傳播吊定律聞的應(yīng)弓用例2：試堂用中膠誤差櫻傳播絕定律君分析腰視距繞測(cè)量刪的精劉度。解:筆(2泡)測(cè)量礦高差適的精憤度基本看公式盛：求全槍微分谷：高差低中誤雪差：其中困：7/如6/脂20鍋2331合肥洗工業(yè)擾大學(xué)誤差洲傳播收定律催的應(yīng)肆用例3:(1健)用鋼壘尺丈翠量某交正方扭形一打條邊近長為求該蟻正方喊形的周長S和面積A的中叮誤差.解:廳(1傘)周長,(2蔑)用鋼訂尺丈贊量某是正方惑形四巷條邊想的邊海長為其中:求該頭正方蛛形的周長S和面積A的中殊誤差.面積,周長上的中成誤差舒為全微寇分:面積允的中徹誤差呆為全微冬分:7/括6/戲20遭2332合肥蜻工業(yè)讓大學(xué)解:(究1)周長箭和面狗積的愈中誤蠟差分析別為例3:(2敗)用鋼隙尺丈南量某消正方嶄形四貨條邊給的邊襲長為其中:求該厭正方葵形的周長S和面積A的中因誤差.(2教)周長;周長句的中廁誤差層為面積得周慣長的丙中誤羽差為全微條分:但由螺于7/所6/廉20其2333合肥羞工業(yè)蜓大學(xué)▓觀測(cè)柴值的言算術(shù)掩平均捕值(最或艱是值)▓用觀它測(cè)值質(zhì)的改盲正數(shù)v計(jì)算疫觀測(cè)刺值的首中勢(shì)誤差(即:白塞弱爾公音式)§6耗.6同（脹等）寫精度逮直接畢觀測(cè)危平差7/捕6/倚20辨2334合肥關(guān)工業(yè)余大學(xué)一.觀測(cè)句值的算術(shù)館平均君值(最或怠是值刪、最璃可靠羽值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值

1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==

1+2+···+n

nn上式等號(hào)兩邊分別相加得和：L=7/容6/寨20隆2335合肥填工業(yè)正大學(xué)當(dāng)觀測(cè)無限多次時(shí)：

得兩邊除以n：由

當(dāng)觀測(cè)紐奉次數(shù)賀無限狼多時(shí)眠，觀拍測(cè)值袋的算鍬術(shù)平績均值棵就是手該量的狐真值懇；當(dāng)觀測(cè)兆次數(shù)沉有限議時(shí)，茅觀測(cè)斥值的算術(shù)柴平均值最蓬接近遮真值。所頓以，偶算術(shù)庫平均高值是最或侍是值促。L≈X7/基6/罰20毅2336合肥韻工業(yè)避大學(xué)觀測(cè)定值改殼正數(shù)摔特點(diǎn)二.觀測(cè)貿(mào)值的氧改正坑數(shù)v：以算埋術(shù)平染均值認(rèn)為最民或是柳值，繞并據(jù)飾此計(jì)年算各甩觀測(cè)斥值的叉改正磁數(shù)v，符合[v處v]替=m樂in的“最小榮二乘陷原則”。Vi=L膛-i(i騰=1均,2獎(jiǎng),·綿··鼓,n嫌)

特點(diǎn)1——改正數(shù)總和為零：對(duì)上式取和：以代入：

通常用于計(jì)算檢核L=

nv=nL-

nv

=n-

=0v

=0

特點(diǎn)2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-

=0

x=

n7/穿6/芳20饞2337合肥愈工業(yè)缸大學(xué)精度性評(píng)定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度歡評(píng)定——用觀船測(cè)值告的改吩正數(shù)v計(jì)算系中誤龜差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：7/新6/錦20蠶2338合肥么工業(yè)膝大學(xué)證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明頭兩式摔根號(hào)憑內(nèi)相絨等對(duì)上嗎式取n項(xiàng)的歇平方描和由上偉兩式綱得其中:7/暗6/銳20驗(yàn)2339合肥各工業(yè)茅大學(xué)證明獸兩式駐根號(hào)承內(nèi)相砍等中誤郵差定義:白塞淺爾公式:7/鄰6/雖20時(shí)2340合肥強(qiáng)工業(yè)耐大學(xué)解：該水刃平角真值寒未知，可鐮用算術(shù)吼平均爭值的頸改正嚷數(shù)V計(jì)算其筆中誤索差：例：對(duì)某踢水平擋角等神精度愧觀測(cè)遵了5次，窩觀測(cè)湯數(shù)據(jù)聽如下?lián)?，求其期算術(shù)倘平均圓值及副觀測(cè)乳值的色中誤過差。算例1:次數(shù)觀測(cè)值VVV備注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076

42

45

±1健.7廣4

7/持6/未20棄2341合肥找工業(yè)黑大學(xué)距離劫丈量施精度福計(jì)算洗例算例2：對(duì)某幫距離件用精博密量嫩距方等法丈聽量六陰次，屆求①該灰距離稠的算閘術(shù)平均謀值巨；洪②觀崗測(cè)值單的中廢誤差螞；瘋③蝕算術(shù)恰平均精值的謀中誤差鵝；瓜④亞算術(shù)賄平均墾值的旱相對(duì)瘋中誤浸差知：

凡是禮相對(duì)譽(yù)中誤賺差，映都必?zé)╉氂貌椒肿有臑?的分躍數(shù)表劣示。7/桐6/愁20具2342合肥兄工業(yè)診大學(xué)§6尸.7不同停精度袍直接憐觀測(cè)叔平差一、闊權(quán)的恩概念權(quán)是贈(zèng)權(quán)衡湯利弊早、權(quán)情衡輕腿重的衫意思錦。在稠測(cè)量茶工作棋中權(quán)哲是一賣個(gè)表憶示觀夾測(cè)結(jié)銷果可傘靠程棉度的土相對(duì)舌性指巡壽標(biāo)。1權(quán)的蛾定義者：設(shè)一構(gòu)組不投同精圈度的芒觀測(cè)勁值為li,其中灘誤差星為mi(I紛=1位,2寇…n孝)，選定至任一恢大于葛零的驗(yàn)常數(shù)λ，則定肉義權(quán)過為：稱Pi為觀氣測(cè)值li的權(quán)何。7/田6/勢(shì)20滴2343合肥經(jīng)工業(yè)淺大學(xué)1權(quán)的禽定義高：對(duì)于坦一組蒼已知肅中誤惜差mi的觀爺測(cè)值止而言券，選摘定一躁個(gè)大很于零腫的常假數(shù)λ值，認(rèn)就有蓋一組陰對(duì)應(yīng)矮的權(quán)悅；由索此可探得各欠觀測(cè)崗值權(quán)第之間富的比散例關(guān)厲系：2權(quán)的挽性質(zhì)（1）權(quán)練表示下觀測(cè)濱值的免相對(duì)們精度竊；（2）權(quán)夢(mèng)與中錄誤差喚的平蜻方成踐反比做，權(quán)占始終飼大于屋零，學(xué)權(quán)大今則精遙度高吊；（3）權(quán)祥的大會(huì)小由淋選