江西省新余市下村中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

江西省新余市下村中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲線y=sinx與x軸圍成的封閉區(qū)域，若向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落入?yún)^(qū)域B的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】先求構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閳A內(nèi)的區(qū)域的面積，再利用積分知識(shí)可得正弦曲線y=sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M的面積，代入幾何概率的計(jì)算公式可求．【解答】解：構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閳A內(nèi)的區(qū)域，面積為π3，正弦曲線y=sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對(duì)稱性得：面積為S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由幾何概率的計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P=，故選：D．2.對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a及，下列運(yùn)算正確的是（）A.

B.

C.

D.參考答案：D由指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，易知答案選D3.設(shè)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A5.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（

）

A．28

B．21

C．14

D．35參考答案：A略6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，B為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A.2 B. C. D.參考答案：D【分析】由題意得，則即，又，即可解得.【詳解】已知，因?yàn)?，則在中，所以即，又，聯(lián)立得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.已知(x)=是（-∞,+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是A.（0，1）

B.（0，）

C.［，）

D.［，1）參考答案：C8.已知且與的夾角為,則為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為（

）A.1 B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，計(jì)算出的模.【詳解】依題意，，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，則f(x)的遞增區(qū)間是A.

B.C.

D._參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正方體的棱長(zhǎng)是3，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線MN與所成的角是

．參考答案：略12.＝_______________參考答案：13.讀右圖，若，則輸出結(jié)果

.參考答案：120略14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍為

．參考答案：15.若對(duì)任意，，（、）有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，稱為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:（1）非負(fù)性:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）對(duì)稱性:；（3）三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出個(gè)二元函數(shù):①；②；③；④.則能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是__________.參考答案：①略16.已知是定度在R上的奇函數(shù)，且，若將的圖象向右平移一個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則=

.參考答案：117.直線：被圓截得的弦的長(zhǎng)是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC為等邊三角形，AC⊥A1B．（1）求證：AB=BC；（2）若∠ABC=90°，求A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角．【分析】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接OA1，OB，推導(dǎo)出AC⊥OA1，AC⊥A1B，從而AC⊥平面OA1B，進(jìn)而AC⊥OB，由點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，能證明AB=BC．（2）以線段OB，OC，OA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：取AC的中點(diǎn)O，連接OA1，OB，∵點(diǎn)O為等邊△A1AC中邊AC的中點(diǎn)，∴AC⊥OA1，∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1，∴AC⊥平面OA1B，又OB?平面OA1B，∴AC⊥OB，∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴AB=BC．（2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，∵A1O⊥AC，側(cè)面ACC1A1O⊥底面上ABC，A1⊥底面ABC以線段OB，OC，OA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)AC=2，則A（0，﹣1，0），，B（1，0，0），C（0，1，0），∴，，，設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量，則有，即，令，則，z0=﹣1，∴，設(shè)A1B與平面BCC1B1所成角為θ，則．∴A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值為．19.（本小題滿分分）為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進(jìn)節(jié)能減排，國(guó)家鼓勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車。某校研究性學(xué)習(xí)小組，從汽車市場(chǎng)上隨機(jī)選取了輛純電動(dòng)乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程）作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：分組頻數(shù)頻率1030合計(jì)（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若用分層抽樣的方法從這輛純電動(dòng)乘用車中抽取一個(gè)容量為6的樣本，從該樣本中任選輛，求選到的輛車?yán)m(xù)駛里程為的概率。參考答案：（Ⅰ）由表格可知，所以，，，.

………4分（Ⅱ）設(shè)“從這6輛純電動(dòng)車中任選輛，選到的輛車?yán)m(xù)駛里程為”為事件，由分層抽樣得在中抽1輛，記為A，在中抽3輛，記為B1，B2，B3，在中抽2輛，記為C1，C2，

……6分則任取兩輛共有15種取法(A,B1)(A,B2)(A,B3)(A,C1)(A,C2)(B1,B2)(B1,B3)(B2,B3)(B1,C1)(B1,C2)(B2,C1)(B2,C2)(B3,C1)(B3,C2)(C1,C2)

事件有3種情況則.

……12分20.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，（1）若a=1，b=，求sinC；（2）若a，b，c成等差數(shù)列，試判斷△ABC的形狀．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合A，B，C成等差數(shù)列求得B，再由正弦定理求出A，則C可求，答案可求；（2）由a，b，c成等差數(shù)列，可得a，b，c的關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可得a=c，則可判斷△ABC的形狀．【解答】解：（1）由A+B+C=π，2B=A+C，得B=．由，得，得sinA=，又0＜A＜B，∴A=，則C=．∴sinC=1；（2）證明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2，又b2=a2+c2﹣ac，得4a2+4c2﹣4ac=a2+2ac+c2，得3（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=C，又A+C=，∴A=C=B=，∴△ABC是等邊三角形．21.某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖Ⅰ所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長(zhǎng)方形材料如圖Ⅱ所示，其周長(zhǎng)為4m，這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖Ⅰ的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長(zhǎng)方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點(diǎn)P，設(shè)△ADP的面積為S2，折疊后重合部分△ACP的面積為S1．（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍；（Ⅱ）求面積S2最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）設(shè)AB=xm，利用△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，結(jié)合PA2=AD2+DP2，即可用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍；（Ⅱ）利用基本不等式求面積S2最大時(shí)，設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬；（Ⅲ）求面積（S1+2S2），利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出最大時(shí)，設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬．【解答】解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，因?yàn)閤＞2﹣x，故1＜x＜2．…設(shè)DP=y，則PC=x﹣y，因?yàn)椤鰽DP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2，．…（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則…=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，S2取得最大值．…故當(dāng)材料長(zhǎng)為，寬為時(shí)，S2最大．…（Ⅲ），1＜x＜2．于是，∴．…關(guān)于x的函數(shù)（S1+2S2）在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，S1+2S2取得最大值．…故當(dāng)材料長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)，S1+2S2最大．…22.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是棱CC1的中點(diǎn)．

(1)求證：A1B⊥AM；(2)求直線AM與平面AA1B1B所成角的正弦值．參考答案：解：(1)因?yàn)镃1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空