《高等數(shù)學(xué)A》課程教學(xué)大綱

《高等數(shù)學(xué)A》課程教學(xué)大綱課程代碼：ABXX0101/ABXX0102課程中文名稱：高等數(shù)學(xué)課程英文名稱：AdvancedMathematics課程性質(zhì)：必修課程學(xué)分?jǐn)?shù)：10課程學(xué)時數(shù)：160授課對象：理、工、經(jīng)管類各本科專業(yè)本課程的前導(dǎo)課程：中等數(shù)學(xué)一、課程簡介本課程是高等學(xué)校理、工、經(jīng)管類專業(yè)本科生的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，它包括一元函數(shù)微積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、空間解析幾何、無窮級數(shù)、常微分方程等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識。本課程屬于普通教育必修課，是深入學(xué)習(xí)專業(yè)課程的必備基礎(chǔ)，其理論和方法是研究客觀世界連續(xù)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。本課程既是一門基礎(chǔ)課程，為學(xué)生建立扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；又是一門方法性課程，可以提高學(xué)生的邏輯推理、定量分析和解決實(shí)際問題的能力；更是一門關(guān)于思維模式的課程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、抓住本質(zhì)和開拓創(chuàng)新的素質(zhì)。高等數(shù)學(xué)課程是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具的主要課程，是學(xué)生培養(yǎng)理性思維的重要載體，是學(xué)生接受美感熏陶的一條途徑。學(xué)生學(xué)完本課程后，應(yīng)達(dá)到如下要求：1）掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論、基本運(yùn)算技能；2）具有抽象概括問題的能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力；3）具有比較熟練的運(yùn)算能力；4）能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題和解決問題；二、教學(xué)基本內(nèi)容和要求（一）函數(shù)、極限、連續(xù)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)與映射，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與有界性，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)，數(shù)列極限，函數(shù)極限，極限的四則運(yùn)算法則，變量代換法求極限，極限的性質(zhì)，極限存在準(zhǔn)則，兩個重要極限，無窮小與無窮大，無窮小階的比較，函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)的分類，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：極限的計(jì)算，極限的存在準(zhǔn)則與兩個重要的極限，變量代換法與等價無窮小代換，無窮小階的比較。教學(xué)要求：1、理解函數(shù)的概念；了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與有界性；理解復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)概念；掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。2、會建立簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系。3、了解極限的、定義，并能在學(xué)習(xí)過程中逐步加深對極限思想的理解。4、掌握極限四則運(yùn)算法則，理解極限的性質(zhì)，會用變量代換法求函數(shù)極限。5、了解極限存在的兩個準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)準(zhǔn)則），會靈活運(yùn)用兩個重要極限。6、了解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小等概念，會用等價無窮小求極限。7、理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會判別間斷點(diǎn)的類型。8、了解初等函數(shù)的連續(xù)性；了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值定理、零點(diǎn)存在定理和介值定理）。（二）一元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，高階導(dǎo)數(shù)，微分的概念，微分的計(jì)算，一階微分的形式不變性，Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，Taylor定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間，曲線的拐點(diǎn)與凹凸性，函數(shù)圖形的描繪，曲線的曲率和曲率半徑。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間。教學(xué)要求：1、理解導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實(shí)際意義。2、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。3、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；了解高階導(dǎo)數(shù)概念，能熟練求解初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。4、掌握隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，會求二階導(dǎo)數(shù)。5、理解微分概念；掌握微分的運(yùn)算法則（包括一階微分形式不變性）。6、理解Rolle定理和Lagrange定理；了解Cauchy定理和Taylor定理；掌握洛必達(dá)法則。7、理解函數(shù)極值概念；掌握函數(shù)極值的求解和確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題；掌握曲線凹凸的意義，會求曲線的拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間；會確定函數(shù)圖形的漸近線，能描繪函數(shù)的圖形。8、了解曲率和曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑。（三）一元函數(shù)積分學(xué)教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分公式，不定積分的換元積分法和分部積分法，有理函數(shù)的不定積分，定積分的概念及其幾何意義，定積分的性質(zhì)，變上限積分，Newton－Leibnitz公式，定積分的換元積分法和分部積分法，微元法，定積分的幾何應(yīng)用，定積分的物理應(yīng)用，廣義積分。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：不定積分與定積分的計(jì)算，變上限積分的性質(zhì)。教學(xué)要求：1、理解不定積分和定積分的概念及性質(zhì)。2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分、定積分的換元法和分部積分法。掌握較簡單的有理函數(shù)的積分計(jì)算。3、理解變上限的定積分概念，會求其導(dǎo)數(shù)。掌握Newton－Leibnitz公式。4、掌握用定積分來表達(dá)一些幾何量與物理量（如面積、體積、弧長和功等等）的方法。5、了解廣義積分的概念。（四）多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容：多元函數(shù)的概念，n維向量的線性運(yùn)算，二重極限與二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，梯度，隱函數(shù)求導(dǎo)，曲面的法線和切平面，空間曲線的切線和法平面，多元函數(shù)極值和條件極值的概念，Lagrange乘子法，多元函數(shù)極值在實(shí)際問題中的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：二元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，多元函數(shù)的極值和條件極值。教學(xué)要求：1、理解二元函數(shù)的概念，了解多元函數(shù)的概念。2、了解二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念，了解有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念。了解全微分存在的必要條件和充分條件。4、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，會求二階偏導(dǎo)數(shù)。5、了解隱函數(shù)的存在性，會求由方程（組）確定的隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)。6、了解方向?qū)?shù)與梯度的概念，掌握它們的計(jì)算方法。7、了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線，掌握它們的方程的求法。8、理解多元函數(shù)極值的概念，會求簡單形式多元函數(shù)的極值。了解條件極值的概念，會用Lagrange乘子法求條件極值。9、會求解一些較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。（五）多元函數(shù)積分學(xué)教學(xué)內(nèi)容：二重積分，三重積分，柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)，第一類曲線積分，第二類曲線積分，第一類曲面積分，第二類曲面積分，Green公式，Gauss公式和Stokes公式，散度和旋度。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重積分與三重積分的計(jì)算，曲線積分與曲線積分的計(jì)算，Green公式。教學(xué)要求：1、理解二重積分的概念，了解三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。2、掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）。會三重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)）。3、了解微元法，會用重積分表達(dá)一些幾何量與物理量（如體積、質(zhì)量、重心等等）。4、理解兩類曲線積分的概念。知道兩類曲線積分的性質(zhì)。5、掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法。6、掌握Green公式，會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。7、了解兩類曲面積分的概念，并會計(jì)算兩類曲面積分。8、了解散度、旋度的概念及Gauss公式、Stokes公式。9、會用曲線積分及曲面積分來表達(dá)一些幾何量與物理量（如體積、質(zhì)量、重心等等）。（六）空間解析幾何教學(xué)內(nèi)容：向量及其線性運(yùn)算，空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)間的距離，向量的坐標(biāo)表達(dá)式，向量的模、方向余弦與方向角，向量的乘法運(yùn)算，兩向量的夾角及平行、垂直，向量的投影，平面與直線的方程，平面束方程，平面與平面、直線與平面、直線與直線夾角的計(jì)算，點(diǎn)到平面的距離，幾何圖形與方程的概念，柱面與旋轉(zhuǎn)曲面的方程，空間曲線的方程，二次曲面（橢球面、拋物面、雙曲面）的方程與圖形，曲線與曲面在坐標(biāo)面上的投影。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：平面與直線的方程，曲線與曲面在坐標(biāo)面上的投影。教學(xué)要求：1、理解向量、單位向量、零向量、模、方向角、方向余弦與空間直角坐標(biāo)系等概念。2、掌握向量的坐標(biāo)表示、向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積）及其性質(zhì)，會求兩個向量的夾角，掌握兩個向量垂直、平行的條件。了解向量的混合積運(yùn)算。3、理解向量的投影。4、掌握平面與直線的方程及其求法。5、掌握平面與平面、直線與平面、直線與直線夾角的計(jì)算，掌握點(diǎn)到平面距離的計(jì)算。6、會分析平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系。7、了解過直線的平面束方程。8、理解曲面方程的概念。9、掌握以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的方程。10、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解曲面的交線在坐標(biāo)面上的投影。11、理解常用二次曲面的方程及其圖形。會求曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域。（七）常微分方程教學(xué)內(nèi)容：常微分方程的階、解、通解、初始條件、特解等基本概念，常微分方程的定解問題和初值問題，可分離變量的方程，線性方程，變量代換法，齊次型方程，Bernoulli方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，常系數(shù)齊次線性微分方程，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，微分方程的建模應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：可分離變量的方程與一階線性方程的解法，線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)線性微分方程的解法。教學(xué)要求：1、理解微分方程、解、通解、初始條件、特解和初值問題等概念。2、掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法。3、了解齊次型方程和Bernoulli方程的解法，領(lǐng)會用變量代換法解微分方程的思想。4、掌握用降階法解特殊的高階方程、和。5、理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。6、掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，理解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。7、了解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及它們的和與乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。8、了解微分方程模型的建立，會解決一些簡單的實(shí)際問題。（八）無窮級數(shù)教學(xué)內(nèi)容：數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂、發(fā)散以及和，數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法，交錯級數(shù)的收斂判別法，絕對收斂與條件收斂，絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)，冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域，冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，Taylor級數(shù)和Maclaurin級數(shù)，函數(shù)間接展開成冪級數(shù)，F(xiàn)ourier系數(shù)與Fourier級數(shù)的概念，F(xiàn)ourier級數(shù)的收斂定理，函數(shù)展開成Fourier級數(shù)，周期延拓，函數(shù)展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別，冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的求解。教學(xué)要求：1、掌握常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)及其收斂、發(fā)散與和的概念，理解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)。2、掌握幾何級數(shù)和P級數(shù)的收斂性。3、掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法，理解正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法與根值審斂法。4、了解交錯級數(shù)的Leibnitz判別法，會估計(jì)交錯級數(shù)的截?cái)嗾`差。5、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，絕對收斂與收斂的關(guān)系，絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)。6、了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念。7、掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法。理解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，掌握簡單冪級數(shù)和函數(shù)的求法。8、掌握、、、和的Maclaurin展開式，并能利用這些展開式將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù)。9、會用冪級數(shù)進(jìn)行一些近似計(jì)算。了解微分方程的冪級數(shù)解法。10、了解用三角函數(shù)逼近周期函數(shù)的思想，理解Fourier級數(shù)的概念。11、了解三角函數(shù)系的正交性，了解函數(shù)可展開為Fourier級數(shù)的充分條件。12、理解函數(shù)的周期延拓，會將定義在和上的函數(shù)展開為Fourier級數(shù)。13、會將定義在和上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。三、實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容及基本要求暫無實(shí)驗(yàn)教學(xué)。四、教學(xué)方法與手段課堂講授教學(xué)，可使用多媒體教學(xué)與課堂討論教學(xué)。五、教學(xué)學(xué)時分配章節(jié)與內(nèi)容課時作業(yè)量備注函數(shù)、極限、連續(xù)2050一元函數(shù)微分學(xué)2460一元函數(shù)積分學(xué)2250多元函數(shù)微分學(xué)2040多元函數(shù)積分學(xué)2840向量代數(shù)與空間解幾何1635微分方程1425無窮級數(shù)1630合計(jì)160330六、考核方式與成績評定標(biāo)準(zhǔn)1、考核方法課程考核方式應(yīng)注重對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的控制與評價，考核方法根據(jù)考勤、作業(yè)等情況，以及期中考試、期末考試成績進(jìn)綜合評定。筆試試題按照教學(xué)大綱的要求出題，題型設(shè)有選擇、填空、計(jì)算、解答、證明、問答等，主要考查學(xué)生對本課程的基本概念、基本理論、基本方法的掌握程度，以及基本的應(yīng)用能力。試題內(nèi)容不超出本大綱所列的教學(xué)內(nèi)容。2、成績評定學(xué)生的總評成績由兩部分構(gòu)成，其中期末考試成績占60％～80％，平時成績（包括學(xué)生作業(yè)、課堂回答問題、考勤、期中考試等情況）占20％～40％。七、教學(xué)參考資源1、參考書目：（1）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)》（上冊）（第七版），高等教育出版社，2014年7月；（2）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)》（下冊）（第七版），高等教育出版社，2014年7月；（3）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南》（上冊），高等教育出版社，2014年7月；（4）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南》（下