杭州中考數(shù)學(xué)歷年壓軸題集錦(2014-2021)

杭州中考數(shù)學(xué)歷年壓軸題集錦(2014-2021)杭州中考?jí)狠S題集錦以下是2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)試卷的數(shù)學(xué)題目。10.已知函數(shù)$y_1$和$y_2$均以$x$為自變量，當(dāng)$x=m$時(shí)，函數(shù)值分別為$M_1$和$M_2$。若存在實(shí)數(shù)$m$，使得$M_1+M_2=0$，則稱函數(shù)$y_1$和$y_2$具有性質(zhì)$P$。以下函數(shù)$y_1$和$y_2$具有性質(zhì)$P$的是：A.$y_1=x^2+2x$，$y_2=-x-1$B.$y_1=x^2+2x$，$y_2=-x+1$C.$y_1=-x$，$y_2=-x-1$D.$y_1=-x$，$y_2=-x+1$16.如圖是一張矩形紙片$ABCD$，點(diǎn)$M$是對(duì)角線$AC$的中點(diǎn)，點(diǎn)$E$在$BC$邊上，把$\triangleDCE$沿直線$DE$折疊，使點(diǎn)$C$落在對(duì)角線$AC$上的點(diǎn)$F$處，連接$DF$，$EF$。若$MF=AB$，則$\angleDAF=45^\circ$。22.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)$y=ax^2+bx+1$（$a$，$b$是常數(shù)，$a\neq0$）。（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過$(1,0)$和$(2,1)$兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫出一組$a$，$b$的值，使函數(shù)$y=ax^2+bx+1$的圖象與$x$軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并說明理由；（3）已知$a=b=1$，當(dāng)$x=p$，$q$（$p$，$q$是實(shí)數(shù)，$p\neqq$）時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為$P$，$Q$。若$p+q=2$，求證：$P+Q>6$。23.如圖，銳角三角形$ABC$內(nèi)接于$\odotO$，$\angleBAC$的平分線$AG$交$\odotO$于點(diǎn)$G$，交$BC$邊于點(diǎn)$F$，連接$BG$。（1）求證：$\triangleABG\sim\triangleAFC$。（2）已知$AB=a$，$AC=AF=b$，求線段$FG$的長（用含$a$，$b$的代數(shù)式表示）。（3）已知點(diǎn)$E$在線段$AF$上（不與點(diǎn)$A$，點(diǎn)$F$重合），點(diǎn)$D$在線段$AE$上（不與點(diǎn)$A$，點(diǎn)$E$重合），$\angleABD=\angleCBE$，求證：$BG^2=GE\cdotGD$。2019年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)試卷9.如圖，一塊矩形木板$ABCD$斜靠在墻邊（$OC\perpOB$，點(diǎn)$A$，$B$，$C$，$D$，$O$在同一平面內(nèi)），已知$AB=a$，$AD=b$，$\angleBCO=x$，則點(diǎn)$A$到$OC$的距離等于$\boxed{\text{D}}$。10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知$a\neqb$，設(shè)函數(shù)$y=(x+a)(x+b)$的圖象與$x$軸有$M$個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)$y=(ax+1)(bx+1)$的圖象與$x$軸有$N$個(gè)交點(diǎn)，則$\boxed{\text{A}}$。16．折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A′點(diǎn)，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D′點(diǎn)。已知∠FPG＝90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，求矩形ABCD的面積。22．設(shè)二次函數(shù)y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是實(shí)數(shù)）。（1）甲求得當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x1x2；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝（1﹣x1）（1﹣x2）；乙求得當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x1x2。乙求得的結(jié)果不正確，因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝0而不是x1x2。（2）二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝（x1＋x2）÷2，最小值為y＝﹣（（x1﹣x2）÷2）2＋（x1＋x2）÷2。（3）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，m）和（1，n）兩點(diǎn)（m，n是實(shí)數(shù)），當(dāng)x1＜x2＜1時(shí)，證明：mn＜0。23．已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA。（1）若∠BAC＝60°，①因?yàn)椤螦BC是圓心角，所以∠BOC＝2∠BAC＝120°。又因?yàn)镺D垂直于BC，所以O(shè)D是BOC的中線，即OD＝OA。②設(shè)△ABC的面積為S，根據(jù)正弦定理，AB＝2Rsin∠BAC，BC＝2Rsin∠ACB，AC＝2Rsin∠ABC，其中R為圓O的半徑。因?yàn)椤螧AC＝60°，所以sin∠BAC＝√3÷2。所以S＝（1÷2）AB×BC×sin∠BAC＝2R2sin∠BACsin∠ACBsin∠ABC＝3√3R2÷4。因?yàn)镺A＝R，所以O(shè)E＝Rsin∠BAC＝√3R÷2。所以S1＝（1÷2）AD×OE＝√3R2÷8。同理，S2＝√3R2÷8。所以S1＝S2＝√3R2÷8＝3√3÷32。（2）因?yàn)镺E＝OD，所以∠OED＝∠ODE。又因?yàn)椤螧AC＜90°，所以∠OED＋∠OCD＝90°。所以∠OCD＝∠ODE。因?yàn)椤螦BC＜∠ACB，所以∠OED＜∠OCD。所以∠OED＝m，∠OCD＝n。根據(jù)正弦定理，sin∠OED＝√（1﹣sin2∠BAC）÷2，sin∠OCD＝√（1﹣sin2∠ACB）÷2。所以sinm＝√3÷2sin∠BAC，sinn＝√3÷2sin∠ACB。所以m﹣n＝2（∠BAC﹣∠ACB）＝2（∠BOC﹣180°）＝2（﹣∠BAC）＝﹣120°。所以m﹣n＋2＝﹣120°＋2＝﹣118°。9．四位同學(xué)在研究函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）時(shí)，甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值；乙發(fā)現(xiàn)﹣1是方程x2+bx+c＝0的一個(gè)根；丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3；丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則該同學(xué)是丙。因?yàn)楫?dāng)函數(shù)的最小值為3時(shí)，x可以取任意實(shí)數(shù)，所以甲、乙、丁的結(jié)論都是正確的。22．（12分）（1）當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)沒有或有一個(gè)，具體取決于函數(shù)的頂點(diǎn)位置。（2）設(shè)該二次函數(shù)為y=ax^2+bx-(a+b)，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到三個(gè)方程：a-b=5-a+b=3a+b=2解得a=2，b=0，代入原函數(shù)即為y=2x^2-2。（3）設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)圖象上，則有m=a(2)^2+b(2)-(a+b)=4a+2b。又因?yàn)閍+b<0，所以4a+2b<0，即a>-2。結(jié)合a≠0，可得a<-2或a>2。又因?yàn)閙>n，所以代入Q點(diǎn)的坐標(biāo)可得2a-b>n-1，即a>(n-b+1)/2。將此式代入a的范圍中，可得2a-b+1>n，即a>(n+b-1)/2。結(jié)合a的范圍，可得(n+b-1)/2<-2或(n+b-1)/2>2，即n+b<-5或n+b>5。代入P點(diǎn)的坐標(biāo)可得4a+2b=m>-2，結(jié)合a的范圍，可得a>-1。綜上所述，得到a>-1，-5<n+b<5，且(n-b+1)/2<a<(n+b-1)/2。23．已知△ABC內(nèi)接于△O，點(diǎn)C在劣弧AB上（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE△BC，DE與AC的延長線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與△O交于點(diǎn)G，設(shè)△GAB=ɑ，△ACB=β，△EAG+△EBA=γ。（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)ɑ+β=180°，因?yàn)椤鰽BC內(nèi)接于△O，所以∠AOG=90°，又因?yàn)锳E是AC的延長線，所以∠EAG=180°-ɑ-β，同理，∠EBA=180°-ɑ-β，所以γ=2(180°-ɑ-β)，化簡可得γ=360°-2ɑ-2β。所以β關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式為β=180°-ɑ，γ關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式為γ=360°-2ɑ-2(180°-ɑ)=2ɑ-360°。（2）根據(jù)已知條件，可得∠EAB=∠EBA=20°，∠EAG=ɑ-20°，∠EGB=180°-ɑ-20°=β-20°。因?yàn)锳E是AC的延長線，所以∠AEC=180°-β，又∠EAB=20°，所以∠BAC=160°-β。因?yàn)锳D=DC，所以∠ACD=∠ADC=1/2∠A=80°-1/2β，又因?yàn)椤螦OC=2∠BAC=320°-2β，所以∠OCD=120°-1/2β。因?yàn)锳E是AC的延長線，所以∠FEC=∠AEC=180°-β，又因?yàn)椤螰EA=∠OEC=90°，所以∠FEC+∠FEA+∠OEC=360°，所以∠FEA=90°-1/2β。因?yàn)椤螰AB+∠FEB=180°，所以∠FAB=160°-β，又因?yàn)椤螧AC=160°-β，所以∠FAC=β。因?yàn)椤螰AC+∠FCA+∠ACD=180°，所以∠FCA=1/2β，又因?yàn)椤螰CB=∠FCA+∠ACD=80°-1/2β，所以∠ECB=∠FCB-∠FCE=60°-1/2β。因?yàn)椤鱁BC是等腰三角形，所以∠BEC=∠ECB=60°-1/2β，又因?yàn)椤螧AC=160°-β，所以∠BEC=80°+1/2β。因?yàn)椤螧EG=∠AEG=1/2∠BAC=80°-1/2β，所以∠GEB=∠GAE=ɑ-80°+1/2β，又因?yàn)椤螮GB=β-20°，所以∠EGF=∠EGB-∠FGB=β-20°-ɑ。因?yàn)椤螰GE+∠FEB+∠BEC=360°，所以∠FGE=300°-β+ɑ，又因?yàn)椤螰EG=∠FEB+∠BEC=80°+1/2β，所以∠GEF=220°-1/2β-ɑ。因?yàn)椤鱁AG和△EBA的面積之和為γ，所以S△EAG+S△EBA=γ，化簡可得S△EAG=S△EBA=1/2γ=ɑ-180°，所以S△ABE=2S△EAB=2S△EAG=2(ɑ-180°)。因?yàn)镾△ABE=4S△ABC，所以4S△ABC=2(ɑ-180°)，化簡可得S△ABC=1/2(360°-5ɑ)，所以S△ABC=90°-5/2ɑ。因?yàn)镾△ABC=rAB/2，所以rAB=2S△ABC/AB=2(90°-5/2ɑ)/(2sinɑ)=45°-5/4sinɑ。所以△O半徑的長為rO=rAB/2=22.5°-5/8sinɑ。9．已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n（m＜n），過銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則m2+2mn+n2=0。10．根據(jù)運(yùn)算定義，可得a@b=4ab，所以a@b=0時(shí)，ab=0，即a=0或b=0，所以結(jié)論1成立。對(duì)于結(jié)論2，可將a@（b+c）拆開，得到a@（b+c）=4a(b+c)，又因?yàn)閍@b=4ab，a@c=4ac，所以a@b+a@c=4a(b+c)，所以結(jié)論2成立。對(duì)于結(jié)論3，可將a@b=a2+5b2拆開，得到4ab=a2+5b2，即5b2-a2=4ab，所以b(5b-a)=4ab，因?yàn)閍b≠0，所以5b-a=4a，即5b=5a，即b=a，所以不存在滿足a@b=a2+5b2的實(shí)數(shù)a，b，所以結(jié)論3不成立。對(duì)于結(jié)論4，設(shè)矩形長為a，寬為b，則周長為2a+2b，所以b=(2a+2b-2b)/2=2a-b，即2b=2a，即a=b，所以結(jié)論4成立。16．已知關(guān)于x的方程|m-2x|+|2m-x|=y的解滿足n＜m＜3，若y＞1，則m的取值范圍是2＜m≤3。23．在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN，若△MAB與△NBA的平分線分別交射線BN，AM于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE和BF交于點(diǎn)P。當(dāng)射線AM，BN交于點(diǎn)C；且△ACB=60°時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：△APB=120°；△AF+BE=AB。證明：因?yàn)锳C=BC，所以∠ABC=∠ACB=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA。因?yàn)椤螹AB=∠NBA，所以△MAB∽△NBA，所以MA/NA=AB/NB，即MA/AB=NA/NB，所以ME/AB=NF/BC，即ME=AB×NF/BC，NF=BC×ME/AB。因?yàn)椤螰AB+∠FEB=180°，所以BF是△ABE的角平分線，所以AE/EB=AB/BE，即AE/AB=EB/BE+1，所以AE/AB=1+AE/BE，即AE/AB=1+ME/EB，即AE/AB=1+AB×NF/BC/EB，即AE/AB=1+NF/EC，即AE/AB=1+NF/(AB-AE)，即NF=(AB-AE)×AE/AB。因?yàn)椤螦PB=2∠MAB=120°，所以結(jié)論1成立。因?yàn)锳F+BE=AB，所以AF=AB-BE，所以AF/AB=1-BE/AB，即AF/AB=1-BF/AF，即AF2=AB×BF，所以AF/AB=BF/AF，即AF2=BF2，所以AF=BF，所以結(jié)論2成立。10.已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在射線AD和射線BC上。若點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱于點(diǎn)B，點(diǎn)E關(guān)于BD對(duì)稱于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（）A.1+tan∠ADBB.2BC=5CFC.4cos∠AGBD.∠AEB+22°=∠DEF15.設(shè)拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）過A（0，2），B（4，3），C（2，k）三點(diǎn)，其中點(diǎn)C在直線x=2上，且點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1，則拋物線的函數(shù)解析式為。16.點(diǎn)A，B，C都在半徑為r的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點(diǎn)H。若BH=AC，則∠ABC所對(duì)的弧長等于（長度單位）。22.菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=4，BD=4，動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，PF⊥AB于點(diǎn)F，四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱，四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對(duì)稱。設(shè)菱形ABCD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1，未被蓋住部分的面積為S2，BP=x。(1)用含x的代數(shù)式分別表示