空間幾何體的表面積和體積公式大全

空間幾何體的表面積和體積【要點(diǎn)梳理】：要點(diǎn)一：空間幾何體的表面積和體積公式項(xiàng)目名稱(chēng)底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺(tái)平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高項(xiàng)目名稱(chēng)表面積圓柱（底面半徑為r，母線長(zhǎng)）圓錐S圓錐表=πr2+πr=πr（r+）圓臺(tái)項(xiàng)目名稱(chēng)體積柱體棱柱V棱柱=Sh圓柱V圓柱=Sh=πr2h錐體棱錐圓錐V臺(tái)體棱臺(tái)圓臺(tái)項(xiàng)目名稱(chēng)表面積體積球平S球=4πR22．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下圖所示．3．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系如下圖所示．要點(diǎn)二、側(cè)面積與體積的計(jì)算1．多面體的側(cè)面積與體積的計(jì)算在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)側(cè)面積公式及其推導(dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上，對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的幾何組合體的表面積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍?、錐、臺(tái)、球，再進(jìn)一步分解為平面圖形（正多邊形、三角形、梯形等），以求得其表面積與體積．要注意對(duì)各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈活運(yùn)用．（1）棱錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例關(guān)系：對(duì)應(yīng)線段（如高、斜高、底面邊長(zhǎng)等）的平方之比．要點(diǎn)詮釋?zhuān)哼@個(gè)比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．在求臺(tái)體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，將臺(tái)體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個(gè)關(guān)系式．（2）有關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識(shí)．在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面平行的截面．棱柱的側(cè)面積與直截面周長(zhǎng)有如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)=C直截（其中C直截、分別為棱柱的直截面周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)），V棱柱=S直截（其中S直截、分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長(zhǎng)）．2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積的計(jì)算（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的面積，因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形式及側(cè)面展開(kāi)圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．（2）計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．【典型例題】類(lèi)型一、簡(jiǎn)單幾何體的表面積例1．已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為30°，如下圖，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積．【思路點(diǎn)撥】利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解，然后代入公式?！敬鸢浮?2cm248cm2【解析】正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成Rt△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴．因此，S表面積=S側(cè)+S底=32+16=48（cm2）．【總結(jié)升華】（1）求正棱錐的側(cè)面積的關(guān)鍵是求側(cè)面等腰三角形的高（稱(chēng)為斜高），這就需要充分利用棱錐的高、邊心距（底面中心到各邊的距離）和斜高所構(gòu)成的直角三角形來(lái)求解．（2）求圓錐的側(cè)面積只需利用公式即可求解．舉一反三：【變式1】已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積?！敬鸢浮俊窘馕觥坷玫冗吶切蚊娣e公式求出一個(gè)面的面積，再乘以4即可。【變式2】圓錐的母線長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的倍，底面半徑縮小為原來(lái)的，那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉?lái)的（A）A．1倍B．倍C．倍D．倍【變式3】若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為的半圓，則這個(gè)圓錐的體積是。答案：例2．圓錐的高和底面半徑相等，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比．【思路點(diǎn)撥】一般要畫(huà)出其軸截面來(lái)分析，利用相似三角形求解。【答案】【解析】如右圖為其軸截面圖，設(shè)圓柱、圓錐的底面半徑分別是r、R，圓錐的母線長(zhǎng)為．則有，即，∴R=2r，∴【總結(jié)升華】這是一個(gè)圓錐和圓柱的組合體．這種切接問(wèn)題一般要畫(huà)出其軸截面來(lái)分析，利用相似三角形求各元素之間的關(guān)系，再利用相應(yīng)表面積公式計(jì)算．例3．一個(gè)直角梯形的上底、下底、高的比為，求由它旋轉(zhuǎn)而成的圓臺(tái)的上底面積，下底面積和側(cè)面積的比．【答案】1∶4∶6【解析】如右圖，設(shè)上、下底和高分別為x、2x、，則母線，∴S上底=πx2，S下底=π(2x)2=4πx2，S側(cè)=π(x+2x)2x=6πx2．∴圓臺(tái)的上、下底面積及側(cè)面積之比為1∶4∶6．【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是利用軸截面是等腰梯形，進(jìn)而化為直角梯形、直角三角形，從而將上、下底半徑、高、母線等集中在一個(gè)直角三角形中研究．舉一反三：【變式1】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積是多少？（結(jié)果中保留π）【答案】1100π【解析】如圖，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，所以C=π·SA

又C=2π×10=20π，所以SA=20同理SB=40，所以AB=SB-SA=20

S

表

=S

側(cè)

+S

上底

+S

下底

【變式2】正四棱臺(tái)的斜高與上、下底面邊長(zhǎng)之比為，體積為，則棱臺(tái)的高為?！咀兪?】鄰邊長(zhǎng)為a，b的平行四邊形，且a＞b，分別以a，b兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)這個(gè)平行四邊形，所得幾何體的表面積分別為S1，S2，則有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．S1≥S2【答案】B【解析】把平行四邊形看成特殊的矩形，直接求出即可。類(lèi)型二、簡(jiǎn)單幾何體的體積例4．如右圖所示，三棱錐的頂點(diǎn)為P，PA、PB、PC為三條側(cè)棱，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，又PA=2，PB=3，PC=4，求三棱錐P-ABC的體積V．【思路點(diǎn)撥】由于PA⊥PB且PA⊥PC，而PB與PC相交于P，所以PA垂直于平面PBC，即PA為三棱錐A—PBC的高，從而順利地求出其體積．【答案】4【解析】三棱錐的體積，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個(gè)面都可以作為底面，所以此題可把A看作頂點(diǎn)，△PBC作為底面求解．．【總結(jié)升華】本例中，不是先求出以△ABC為底面的三棱錐的高，而是把它轉(zhuǎn)化為三棱錐A—PBC的高．這種方法的依據(jù)是：三棱錐又稱(chēng)為四面體，它的每一個(gè)面都可當(dāng)做底面來(lái)處理．這一方法叫做體積轉(zhuǎn)換法（或等積法），隨著知識(shí)的增多，它的應(yīng)用越來(lái)越廣，因此必須熟練掌握．舉一反三：【變式1】（1）各棱長(zhǎng)都為1的正四棱錐的體積V=________．（2）如右圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（）A．與x，y，z都有關(guān)B．與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān)C．與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān)D．與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)【解析】（1）（2）從圖中可以分析出，△EFQ的面積永遠(yuǎn)不變，為面A1B1CD面積的而當(dāng)P點(diǎn)變化時(shí)，它到面A1B1CD的距離是變化的，即y的大小，影響P到面A1B1CD的距離，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化．故選D．例5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則這個(gè)幾何體的體積為m3【答案】【解析】由三視圖可知這個(gè)幾何體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的．其體積為等于圓錐的體積與長(zhǎng)方體的體積之和．即=（m3）【總結(jié)升華】給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求解．此類(lèi)題目是新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視．舉一反三：【變式1】某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（） A． B． C． D．【答案】A【解析】由三視圖可知，其幾何體是由一個(gè)正方體挖去一個(gè)圓錐所得，所以其體積是正方體的體積減去圓錐的體積之差，即．類(lèi)型三、球的表面積與體積例6．求體積為的正方體的外接球的表面積和體積．【答案】【解析】如圖所示，顯示正方體的中心為其外接球的球心，過(guò)球心作平行于正方體任一面的球的截面，則其截面為圓內(nèi)一正方形（正方形的各頂點(diǎn)均在圓內(nèi)，而不是在圓上）．因此，這樣的截面無(wú)法反映球的半徑與正方體的棱長(zhǎng)的關(guān)系，注意到球心必在正方體的一個(gè)對(duì)角面上，因此，以正方體的一個(gè)對(duì)角面作截面即可．如圖，以正方體的對(duì)角面作球的截面，則球心為的中點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，而【總結(jié)升華】正方體外接球的軸截面不是圓內(nèi)一正方形，而是圓內(nèi)一矩形，因此在解決棱柱內(nèi)切球和外接球的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必須謹(jǐn)慎地作其軸截面，切忌想當(dāng)然地作圖．解決球與其他幾何體的內(nèi)切、外接問(wèn)題的關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球和其他幾何體的各種元素，盡可能地體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．舉一反三：【變式1】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為。A．B．C．D．【答案】B【解析】長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度，就是球的直徑【變式2】圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球（如右圖所示），則球的半徑是cm．【答案】4【解析】設(shè)球的半徑為rcm，則底面圓的半徑為rcm，從而有，由此解得r=4。【變式3】點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面體ABCD體積的最大值為3，則這個(gè)球的表面積為（）A．2π B．4π C．8π D．16π【解析】根據(jù)題意知，直角三角形△ABC的面積為3．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為為S△ABC×DQ=3，即×3×DQ=3，∴DQ=3，如圖．設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，則這個(gè)球的表面積為：S=4π×22=16π．故選：D．類(lèi)型四、多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題例7．如圖，S﹣ABC是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，三角形BEF的周長(zhǎng)的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為（）A．30° B．60° C．20° D．90°【解析】把正三棱錐沿SB剪開(kāi)，并展開(kāi)，形成三個(gè)全等的等腰三角形，△SBC、△SCA、△SAB'，連接BB'，交SC于F，交SA于E，則線段BB′就是△BEF的最小周長(zhǎng)，BB'=a，又SB=SB'=a，根據(jù)勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2，△SBB'是等腰直角三角形，∴∠BSB'=90°，∴∠ASC=90°×=30°，∴側(cè)棱SA，SC的夾角為30°故選A舉一反三：【變式】在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，由A在表面到達(dá)C1的最短行程為（）A．12 B． C． D．【解析】從A點(diǎn)沿不同的表面到C1，其距離可采用將長(zhǎng)方體展開(kāi)的方式求得，分別是=，=4，=3∴從A點(diǎn)沿表面到C1的最短距離為．故選：B．類(lèi)型五、球面距離及相關(guān)計(jì)算例8．半徑為R的球O中有兩個(gè)半徑分別為2與2的截面圓，它們所在的平面互相垂直，且兩圓的公共弦長(zhǎng)為R，則R=（）A．4 B．5 C．3 D．4【解析】設(shè)兩圓的圓心分別為O1、O2，球心為O，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則OO1EO2為矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R∴R=4．故選：D．舉一反三：【變式1】已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為6π和8π，則兩平行截面間的距離是（）A．1 B．2 C．1或7 D．2或6【解析】畫(huà)出球的截面圖．如圖所示．是一個(gè)球的大圓，兩平行直線是球的兩個(gè)平行截面的直徑，有兩種情形：①兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)，②兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)，對(duì)于①，m，n=，兩平行截面間的距離是：m+n=7；對(duì)于②，兩平行截面間的距離是：m﹣n=1；故選C．【變式2】地球半徑為R，則北緯600圈的長(zhǎng)度是（）A．R B．R C．R D．πR【解析】地球的半徑為R，則地球北緯60°的緯線圈的半徑為：R．則地球北緯60°的緯線圈的周長(zhǎng)等于πR故選：D．【鞏固練習(xí)】1．側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都為1的正三棱錐的體積是（B）A．B．C．D．【解析】正三棱錐的底面面積為，高為，則體積為．2.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是，且它的個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是（B）A．B．C．D．都不對(duì)【解析】長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑，3.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的倍，母線長(zhǎng)為，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則圓臺(tái)較小底面的半徑為（A）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】4.過(guò)圓錐的高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為（B）A.B.C.D.【解析】從此圓錐可以看出三個(gè)圓錐，5.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為(D)A．B．C．D．【解析】正方體的內(nèi)切球直徑是正方體的邊長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的對(duì)角線，所以正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為，即．6．如右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(B) A． B．