機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)講稿第二部分

機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)講稿第二部分第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月……0tx(t)E例：求圖1和圖2周期方波的頻譜。解：對于圖1的信號，其周期為，可得x(t)…0tE…圖1圖2第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)一步為：同理可得圖2信號的頻譜表示式為：第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月……0……0圖1信號的頻譜圖2信號的頻譜第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月兩點(diǎn)重要的結(jié)論：當(dāng)，即信號從周期信號轉(zhuǎn)換為瞬態(tài)非周期信號時(shí)，頻譜趨于連續(xù)。因此，瞬態(tài)非周期信號的頻譜應(yīng)該是連續(xù)的。當(dāng)，即信號從周期信號轉(zhuǎn)換為瞬態(tài)非周期信號時(shí)，。因此，無法用于描述瞬態(tài)非周期信號。第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

對取極值，得頻譜密度函數(shù)為：即為x(t)的傅里葉正變換。第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月……0Et頻譜密度函數(shù)的圖示解釋：第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)周期信號的復(fù)指數(shù)基展開，有取第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月那么，得到傅里葉反變換為因此，傅里葉變換對為正變換反變換可記為第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由于，因而有，上述傅里葉變換對可表示為：正變換反變換可記為第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月其中是一個(gè)復(fù)數(shù)，可表示為：存在以下關(guān)系第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由于對于實(shí)信號，有因此，對于實(shí)信號幅頻譜為偶函數(shù)，相頻譜為奇函數(shù)。第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

傅里葉變換的存在的充分條件是在無限區(qū)間上絕對可積，即

但是，自從引入廣義函數(shù)概念以后，在傅里葉變換中允許奇異函數(shù)（如沖擊函數(shù)）存在，這樣使許多并不絕對可積的函數(shù)（如階躍函數(shù)、符號函數(shù)及周期函數(shù)等），其頻譜函數(shù)有了確定的表示式。第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求矩形窗函數(shù)的頻譜解：應(yīng)用歐拉公式E-T/2T/2tw(t)0第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月W(f)TE01T1Tf3T3T2T2T

(f)

01T2T3T1T2T3TW(f)TE01T1Tf3T3T2T2T-幅頻譜相頻譜第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求下列函數(shù)的頻譜1tx(t)0解：1/afX(f)0-1f0第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求符號函數(shù)的頻譜解：符號函數(shù)是例2當(dāng)a0時(shí)的極限狀態(tài)，因此1tsgn(t)0-1問題：如何求得階躍函數(shù)的頻譜？第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1）奇偶虛實(shí)性

若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實(shí)偶函數(shù)若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實(shí)奇函數(shù)第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2）線性疊加性如果那么因此，F(xiàn)ourier變換是一種線性變換。第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：3）對稱性如果則有IFT定義

互換t和f用-t代t這是傅里葉變換的定義，因此上述結(jié)論得到驗(yàn)證即第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱性舉例

利用該性質(zhì)，可根據(jù)已知的傅里葉變換對推出未知的傅里葉變換對。第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4)時(shí)間尺度改變特性如果則有得證證明第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月尺度改變性質(zhì)舉例時(shí)間尺度改變特性，又稱為時(shí)間展縮原理a)k=1b)k=0.5幅值增大頻帶變窄c)k=2幅值減小頻帶變寬第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5）時(shí)移和頻移性質(zhì)如果則有時(shí)移性質(zhì)：

頻移性質(zhì)：證明：

此性質(zhì)表明，在時(shí)域中信號沿時(shí)間軸平移一個(gè)常值時(shí)，頻譜函數(shù)將乘因子，即只改變相頻譜，不會改變幅頻譜。第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6）卷積性質(zhì)（又稱為褶積）卷積定義：運(yùn)算步驟：

反褶，即平移，即相乘，即積分，即第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形解釋

101-1/210-210210

信號

反褶

平移第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月101-1/2101-1/2

相乘和積分

第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月101-1/2101-1/2101-1/2

第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月卷積結(jié)果15/1601-1/223卷積起到鈍化作用；計(jì)算相當(dāng)繁瑣。系統(tǒng)與信號的關(guān)系

對于一個(gè)線性系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為h(t)，那么，輸入信號x(t)和輸出信號y(t)之間存在一個(gè)卷積關(guān)系，即h(t)x(t)y(t)第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月卷積性質(zhì)可表述為：（這個(gè)性質(zhì)很重要）

卷積一般難于計(jì)算，應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)，可以將之化為乘積，然后再做反變換。卷積性質(zhì)第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月7)微分與積分性質(zhì)同理若則證明即微分性質(zhì)積分性質(zhì)第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月傅里葉變換的主要性質(zhì)

積分時(shí)移頻域微分尺度變換時(shí)域微分對稱性x1(t)x2(t)頻域卷積線性疊加x1(t)

x2(t)時(shí)域卷積實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)

共軛虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)

翻轉(zhuǎn)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)

頻移實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)函數(shù)的奇偶虛實(shí)性頻域時(shí)域性質(zhì)頻域時(shí)域性質(zhì)第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.幾種典型信號的頻譜3.1單位脈沖函數(shù)(

(t)函數(shù))的頻譜

①δ函數(shù)定義其面積（強(qiáng)度）：0t

(t)

/2

01/

s

(t)t第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月②函數(shù)的采樣性質(zhì)

第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月③卷積性

函數(shù)與其它信號的卷積是卷積中最為簡單的一類形式。把

函數(shù)的卷積性質(zhì)描述為：第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

函數(shù)與其它函數(shù)的卷積示例第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月④δ函數(shù)的頻譜對δ(t)取傅里葉變換頻譜特點(diǎn)：

有無限寬廣的頻譜；在所有的頻段上都是等強(qiáng)度的。均勻譜白噪聲第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月δ函數(shù)是偶函數(shù)

利用對稱、時(shí)移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對對稱性頻移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（各頻率成分分別移相2

ft0）

(t

t0)

(f)（單位脈沖譜線）1（幅值為1的直流量）1（均勻頻譜密度函數(shù)）

(t)（單位瞬時(shí)脈沖）頻域時(shí)域常用的

(t)函數(shù)的性質(zhì)第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2正余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能直接對之進(jìn)行傅氏變換。由歐拉公式知：第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月00ttsin2

f0tcos2

f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f0第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3等間隔周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）的頻譜

其中Ts為周期；n為整數(shù)。

周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）為周期函數(shù)。因此可以表示成傅氏級數(shù)第43頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)樵冢?Ts/2，Ts/2）區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)

函數(shù)

(t)，故式中第44頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月從而

所以

①時(shí)域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列；②時(shí)域周期為Ts，則頻域周期為1/Ts；③時(shí)域脈沖強(qiáng)度為1，頻域中的脈沖強(qiáng)度為為1/Ts。......comb