機械振動數(shù)值分析

機械振動數(shù)值分析第1頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月參考書目有限單元法，王勖成，清華大學(xué)出版社計算動力學(xué)，王天舒，清華大學(xué)出版社有限元分析的概念與應(yīng)用，RobetD.Cook，西安交通大學(xué)出版社第2頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月求解域的離散——將連續(xù)體求解域離散為若干個子域，通過子域邊界協(xié)調(diào)條件構(gòu)造連續(xù)體；利用近似函數(shù)求解——每個子域內(nèi)用近似函數(shù)分片表示全域內(nèi)待定的未知變量；原問題的等效——利用變分或加權(quán)余量法，建立基本變量代數(shù)方程組或常微分方程組。概述有限元法要點第3頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)雜幾何構(gòu)型的適應(yīng)性；各種物理問題的可應(yīng)用性；建立于嚴(yán)格理論基礎(chǔ)上的可靠性；適合計算機實現(xiàn)的高效性。有限元法特性第4頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月單元類型和形式；有限元法的理論基礎(chǔ)和離散格式；有限元方程的求解方法；有限元分析程序開發(fā)。有限元法的發(fā)展和現(xiàn)狀第5頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)化——任意復(fù)雜問題→模塊化分解，單元建模→有限種類模塊化單元規(guī)范化——幾何建?！W(xué)建?！蠼狻筇幚矸治鐾ㄓ没纬蓸?biāo)準(zhǔn)模塊化程序應(yīng)用規(guī)模化、普及性——求解問題規(guī)模龐大，易于為工程技術(shù)人員掌握有限元法的優(yōu)勢第6頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)性假設(shè)——變形體內(nèi)部處處連續(xù)均勻性假設(shè)——變形體內(nèi)部物質(zhì)分配均勻各向同性假設(shè)——物質(zhì)在各方向上特性相同線彈性假設(shè)——變形與外力作用的關(guān)系為線性小變形假設(shè)——變形量遠(yuǎn)小于物體本身尺寸基本假設(shè)第一章線彈性動力學(xué)變分原理第7頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月運動微分方程應(yīng)變方程本構(gòu)方程（物理方程）第9頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界條件初始條件第10頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月變形體域內(nèi)任意一點在任意時刻均滿足運動微分方程。變形體邊界上任意一點在任意時刻均滿足邊界條件。問題的精確解的特點加權(quán)余量法的特點變形體域內(nèi)和邊界上任意一點在任意時刻均近似滿足運動微分方程。第11頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月殘余力方程加權(quán)余量法允許運動平衡方程和邊界條件在若干局部存在殘差，但要求殘余力在域內(nèi)和邊界上的加權(quán)積分為零，即第12頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)上式對任意權(quán)函數(shù)均滿足，則稱為式（7）為微分方程（1）和邊界條件（4）的等效積分形式。一般情況可選擇近似解將式（8）代入式（7），通過確定系數(shù)強迫殘余力在域內(nèi)和邊界上在某種平均意義下為零。下面的討論中假設(shè)近似函數(shù)完全滿足邊界條件，只考慮域內(nèi)殘差問題。第13頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月權(quán)函數(shù)可以選N個函數(shù)的線性組合，即將式（9）代入式（7），得第14頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月配點法——取Dirac函數(shù)為權(quán)函數(shù)子域法——權(quán)函數(shù)在N個子域內(nèi)取1，在子域外取零，即幾類常用權(quán)函數(shù)第15頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月最小二乘法——調(diào)整近似函數(shù)中的參數(shù)，使余量均方和最小，即幾類常用權(quán)函數(shù)第16頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月迦遼金法——取試探函數(shù)為權(quán)函數(shù)迦遼金法的特點幾類常用權(quán)函數(shù)余量方程相當(dāng)于虛功；求解方程系數(shù)矩陣有對稱性；當(dāng)存在泛函時與變分法有等效結(jié)果。第17頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月例1用各種加權(quán)余量法計算圖示彈性基礎(chǔ)梁的撓度第18頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性基礎(chǔ)梁的基本微分方程和邊界條件為第19頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月取試探解為無彈性基礎(chǔ)時的精確解則近似解可表示為容易發(fā)現(xiàn)，式（16）嚴(yán)格滿足邊界條件第20頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月殘差方程可寫為精確解配點法子域法伽遼金法最小二乘法1.00000.17880.17240.18380.17900.183210.0000.078360.067570.089290.078910.08304100.000.011340.009540.014530.011970.058181000.00.0010250.0009950.0015510.0012620.006068第21頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月達(dá)朗伯—拉格朗日原理在式（7）中取權(quán)函數(shù)為真實位移的變分，可得與運動微分方程和邊界條件的等效積分形式。對方程中的第一項進(jìn)行分部積分，得式（19）為運動微分方程和邊界條件等效積分的“弱”形式第22頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月階連續(xù)性函數(shù)n-1導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且第n階導(dǎo)數(shù)僅有有限個可積間斷點的函數(shù)第23頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月哈密頓原理對式（18）在任意時間間隔內(nèi)積分對給定時刻，方程中的第一項可轉(zhuǎn)化為第24頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月將式（21）代入式（20），得普遍意義下的哈密頓原理式（22）說明，對真實運動，系統(tǒng)動能變分和內(nèi)、外力虛功在任意時間間隔內(nèi)對時間的積分為零。第25頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮粘滯力后式（23）中考慮了粘滯力的虛功。第26頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮到應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，外力虛功可改寫為將式（25）代入式（22），可得式（26）說明，完整有勢系統(tǒng)在任意時間間隔內(nèi)滿足幾何關(guān)系和給定位移邊界條件的所有可能運動中，真實運動使哈密頓作用量取駐值第27頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月例2用哈密頓原理推導(dǎo)受均布動載荷的等截面懸臂梁的振動微分方程梁內(nèi)任意一點位移可表示為任意一點的應(yīng)變可表示為第28頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)總勢能可表示為系統(tǒng)總動能可表示為第29頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月對系統(tǒng)勢能取變分對系統(tǒng)動能取變分第30頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月代入哈密頓方程得第31頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日乘子法約束泛函罰函數(shù)法引入附加泛函后，原泛函的有附加條件的駐值問題轉(zhuǎn)化為修正泛函無附加約束條件的駐值問題。第32頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日乘子法修正泛函的變分以離散結(jié)構(gòu)為例，需要滿足位移邊界條件修正泛函為駐值條件第33頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月由此得拉格朗日乘子法修正泛函的變分拉格朗日乘子法的特點方程組的階數(shù)增加；拉格朗日乘子有明確物理意義，相當(dāng)于力；導(dǎo)出的系數(shù)矩陣存在零對角元。第34頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月罰函數(shù)法修正泛函的變分仍以離散結(jié)構(gòu)為例，修正泛函為駐值條件由此得第35頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月罰函數(shù)法的特點附加條件近似滿足；不增加方程階數(shù)；罰參數(shù)相當(dāng)于剛度系數(shù)；解的精度與罰參數(shù)有關(guān)。罰函數(shù)法修正泛函的變分第36頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月例3如圖所示彈簧系統(tǒng)，在第一個自由度上施加外力，在第二個自由度上施加強制位移。用拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法計算第一個自由度的位移未施加強制位移時可寫出系統(tǒng)平衡方程第37頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月將強制位移邊界代入，可解得精確解為滿足強制約束條件施加在第二個自由度上的載荷拉格朗日乘子法第38頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月可解得為約束反力的負(fù)值罰函數(shù)法第39頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義變分原理將場函數(shù)應(yīng)滿足的附加條件引入泛函，將的變分原理轉(zhuǎn)化為無附加約束條件的變分原理。利用拉格朗日乘子法將哈密頓原理附加條件引入泛函，得H-W變分原理泛函為其中第40頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義變分原理由于所有變分項均獨立，可推導(dǎo)出泛函取駐值條件第41頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義變分原理拉格朗日乘子的物理意義為由此得H-W變分原理泛函為第42頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題2如圖所示彈簧系統(tǒng)，在第一個和第三個自由度上施加外力，在第二個自由度上施加強制位移。用拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法計算第一個和第三個自由度的位移，并計算第二個自由度上的作用力第43頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何關(guān)系——應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系——桿單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣第二章有限元離散泛函第44頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月桿單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣取位移插值函數(shù)，用單元結(jié)點位移將桿內(nèi)任意點位移表示為第45頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月將式（2）代入式（1），得取變分，得桿單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣第46頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月記將式（8）代入式（7），結(jié)合哈密頓原理，并考慮到變分的任意性可解得桿單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣第47頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月2結(jié)點桿單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣如式（10）所示桿單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣若采用集中質(zhì)量矩陣，則為第48頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮在平面中變形的桿單元，如圖所示平面桿單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換總體坐標(biāo)系內(nèi)的桿單元第49頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月則單元剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和載荷向量轉(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系中為平面桿單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換對空間桿系，轉(zhuǎn)換原理與平面桿系原理相同，轉(zhuǎn)換矩陣可表示為第50頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮如圖所示桿系結(jié)構(gòu)平面桿單元例子平面桿系結(jié)構(gòu)第51頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月總體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣和單元質(zhì)量矩陣為平面桿單元例子第52頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月平面桿單元例子第53頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元離散的一般流程幾何體的離散逼近；自由度選擇與形函數(shù)的確定；單元應(yīng)變場的表示；單元應(yīng)力場的表示；哈密頓原理或達(dá)朗伯-拉格朗日原理；系統(tǒng)泛函變分；單元內(nèi)部積分；單元坐標(biāo)系到總體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換；總體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的組裝；約束條件的處理或引入。第54頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月形函數(shù)的確定形函數(shù)的階數(shù)與單元形式和自由度數(shù)有關(guān)以平面三結(jié)點三角形單元為例2、結(jié)點位移表示待定系數(shù)1、假設(shè)域內(nèi)位移的插值函數(shù)第55頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月形函數(shù)的確定3、解出系數(shù)，并合并關(guān)于結(jié)點位移的項次，得形函數(shù)其中注意下標(biāo)輪換第56頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月形函數(shù)的確定4、確定由結(jié)點位移表示的域內(nèi)位移場，并表示為矩陣形式第57頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月形函數(shù)的確定形函數(shù)的幾個性質(zhì)結(jié)點上的插值函數(shù)滿足單元中任意點處形函數(shù)和應(yīng)有選取多項式時，常數(shù)項和一次項要完備為表達(dá)統(tǒng)一起見，可采用參數(shù)變換第58頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月單元內(nèi)部積分單元剛度矩陣和單元質(zhì)量矩陣的一般形式單元等效結(jié)點載荷的一般形式第59頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月單元內(nèi)部積分定積分的數(shù)值積分（Guass積分）核心思想——通過若干個點的函數(shù)值的加權(quán)組合計算單點積分兩點積分第60頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月單元內(nèi)部積分Guass積分點位置及權(quán)系數(shù)第61頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月單元內(nèi)部積分二維和三維問題第62頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月約束條件的處理直接代入法特點方程階數(shù)降低第63頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月約束條件的處理對角元素置1法特點適用于零位移情況第64頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月約束條件的處理對角元素置大數(shù)法特點相當(dāng)于罰函數(shù)法第65頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月等參變換等參變換的基本思想就是局部系向總體系的映射局部坐標(biāo)系向物理坐標(biāo)系的映射類似于構(gòu)造形函數(shù)，可構(gòu)造物理坐標(biāo)和局部坐標(biāo)之間的關(guān)系。仍然以三角形平面單元為例第66頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月等參變換需要注意的地方等參變換第67頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月等參變換對面積分來說三維問題？？？等參變換第68頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月等參變換后的單元剛度矩陣、單元質(zhì)量矩陣格式等參變換單元等效結(jié)點載荷的一般形式第69頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章大型系統(tǒng)特征值問題系統(tǒng)運動方程對特征值問題，可建立系統(tǒng)運動方程如下自由振動解將式（2）代入式（1），得第70頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)運動方程由式（3）得特征方程解得n個特征根及相應(yīng)的特征向量n次代數(shù)方程另一種形式第71頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月特征向量正交性取結(jié)合式（6），得第72頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月特征向量正交性進(jìn)一步得正交性關(guān)系一個重要的關(guān)系第73頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月剛度矩陣為半正定矩陣質(zhì)量矩陣為半正定矩陣半正定矩陣的特征值問題特征向量特征值2自由度系統(tǒng)的例子第74頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh商對給定的振型向量，可定義Rayleigh商Rayleigh商的上下界考慮式（12），可將式（15）表示為第75頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh商將式（16）展開，得物理意義——假設(shè)模態(tài)相當(dāng)于增加了約束，使得系統(tǒng)剛度提高第76頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差估計設(shè)和是標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的近似解，定義殘差考慮下式得第77頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差估計定義向量和矩陣的2范數(shù)對式（21）兩邊取2范數(shù)，整理得第78頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差估計由于將式（24）代入式（23）得式（23）說明，只要殘差的2范數(shù)很小，給定的就接近系統(tǒng)的某一階特征值第79頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月逆迭代法基本假定剛度矩陣非奇異迭代方程考慮到任意向量都可由特征向量表示為第80頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月逆迭代法綜合式（26）和式（27），得第81頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月逆迭代法從式（30）中容易看出，當(dāng)考慮Rayleigh商第82頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月逆迭代法結(jié)合式（27）、（28）和（29）可將式（33）化為第83頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月逆迭代法逆迭代法的一般步驟給定初始迭代向量；若已計算出前i-1階模態(tài)，根據(jù)已得到的特征向量進(jìn)行正交化處理；第84頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月逆迭代法逆迭代法的一般步驟解方程；計算特征值第85頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月逆迭代法幾個要點正交化處理；歸一化處理；當(dāng)剛度矩陣奇異時的處理；系統(tǒng)包含近頻時的處理移軸法第86頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月帶移軸的逆迭代法考慮特征值問題其特征值與原系統(tǒng)特征值之間滿足如下關(guān)系由式（26）給出的迭代關(guān)系可得怎么定？？？第87頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh商迭代法Rayleigh商迭代法——以Rayleigh商作為移軸量計算流程第88頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月變換法變換法的基本思想是通過迭代的方法逐次構(gòu)造變換矩陣，使矩陣和趨近對角形，其一般迭代思路如下式所示當(dāng)時，應(yīng)有第89頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月變換法并且有兩類應(yīng)用廣泛的變換法雅可比變換法Householder-QR法第90頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法適用范圍——標(biāo)準(zhǔn)特征值問題，即考慮標(biāo)準(zhǔn)特征值問題取正交矩陣使得第91頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法雅可比法中選擇的變換矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣，在一次變換中使待變換矩陣中的一個非對角元變?yōu)榱恪＠?2頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法將變換為零，即，由此得第93頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法定義閥值收斂條件第94頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法收斂性檢驗考慮特征值問題，其中由式（47）可計算得第95頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法經(jīng)第一次循環(huán)，對非對角元（1，2）消零，得由式（52）可計算得第96頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法類似的，分別對非對角元（1，3）和（2，3）消零，得第97頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比變換法雅可比變換法的一般步驟給定當(dāng)前循環(huán)的閥值，一般取第m次迭代的閥值為10-2m；對上三角塊的非對角元按式（48）計算，若計算結(jié)果大于給定的閥值，則按式（47）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換；檢查式（49）式是否滿足，若滿足則由迭代最終步驟計算出的矩陣給出特征值，計算特征向量，否則轉(zhuǎn)向第1步，開始新一輪循環(huán)。第98頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義雅可比變換法對雅可比變換矩陣進(jìn)行修改，得轉(zhuǎn)換矩陣第99頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義雅可比變換法系數(shù)的選取應(yīng)使剛度矩陣和質(zhì)量矩陣在變換后其第i行j列的元素同時為零，即若，可取，否則第100頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義雅可比變換法其中第101頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義雅可比變換法例1，用雅可比法求解圖示系統(tǒng)的固有頻率第102頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義雅可比變換法第103頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義雅可比變換法精確解第104頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Householder-QR變換法Householder-QR變換法可大致分為三個步驟Householder變換；特征值的QR迭代計算；特征向量計算。第105頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Householder-QR變換法Householder變換的目的在于將矩陣變換為三對角陣，加速Q(mào)R迭代收斂速度。QR迭代考慮到實對稱矩陣可由正交矩陣和上三角矩陣分解為第106頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Householder-QR變換法由此定義迭代格式當(dāng)時，，第107頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh-Ritz法若假設(shè)振型與系統(tǒng)的第i階主振型相差一階小量，則Rayleigh商與系統(tǒng)的第i階特征值相差二階小量。假設(shè)近似振型為其中里茲基向量里茲坐標(biāo)第108頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh-Ritz法定義Rayleigh商取上式的駐值，得第109頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh-Ritz法由式（65）可以計算出新系統(tǒng)的特征值和特征向量滿足則原系統(tǒng)的特征值和特征向量為第110頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月給出的近似特征值前一半精度較高，因此，若需要求解前r階模態(tài)，要先定義出2r階假設(shè)振型；經(jīng)變換后，系統(tǒng)規(guī)模大大降低；Rayleigh-Ritz法計算結(jié)果依賴于里茲基的選擇；里茲基可通過靜力問題求得。Rayleigh-Ritz法Rayleigh-Ritz法的特點第111頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh-Ritz法例2，用Rayleigh-Ritz法計算下述廣義特征值問題的近似解。假設(shè)載荷為第112頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh-Ritz法由新系統(tǒng)特征值問題解得精確解第113頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh-Ritz法如果假設(shè)載荷為由新系統(tǒng)特征值問題解得第114頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月Rayleigh-Ritz法進(jìn)一步得第115頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月子空間迭代法子空間迭代法假設(shè)r個初始向量同時進(jìn)行迭代，計算前p個特征值和特征向量。子空間迭代法可以看為是逆迭代法的推廣，算法步驟類似，其具體迭代步驟可表示為1、初始計算（1）形成剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；（2）按所給定的邊界條件修正剛度矩陣；（3）三角分解，得第116頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月子空間迭代法2、給定初始迭代向量矩陣3、對每次迭代，按下面步驟執(zhí)行（1）賦值：（2）求解方程組：（3）賦值：（4）賦值：（5）賦值：（6）解廣義特征值問題：第117頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月子空間迭代法（7）檢驗特征值是否滿足精度要求：若滿足精度要求，則轉(zhuǎn)到第4步，若不滿足，則（8）賦值：（9）令：，并返回步驟（2）；4、賦值：5、輸出結(jié)果：第118頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月第四章系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)系統(tǒng)運動方程對一般的振動響應(yīng)，考慮初值問題可建立系統(tǒng)運動方程如下求解方式振型疊加法直接積分法第119頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月振型疊加法引入坐標(biāo)變換其中廣義位移由式（2）和式（1）得第120頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月振型疊加法若阻尼矩陣可解耦，則方程可變換為利用Duhamel積分，得第121頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月直接積分法直接積分法不對運動方程進(jìn)行任何變換，直接對方程進(jìn)行積分求解。其原理基于兩個基本概念將求解域上任意時刻均需滿足運動方程的要求更改為在一定條件下近似的滿足運動方程，如，在若干離散的時間點上滿足方程；在一定數(shù)目的時間間隔區(qū)域內(nèi)，假設(shè)位移、速度和加速度的近似插值函數(shù)。誤差來源截斷誤差——近似表達(dá)式中略去高階小量；舍入誤差——超過計算機字長的四舍五入。第122頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月直接積分法解的穩(wěn)定性無條件穩(wěn)定——對任意初始條件，無論時間步長怎么選取，積分結(jié)果都不會無界增大；條件穩(wěn)定——為保證積分結(jié)果的有界性，要求時間步長必須小于某個臨界時間步長?？紤]直接積分法遞推格式在討論穩(wěn)定性時，可令，由式（7）得給定的初始條件遞推矩陣第123頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月直接積分法解的穩(wěn)定性對遞推矩陣進(jìn)行譜分解，得遞推矩陣為二階非對稱矩陣，且有重特征根，其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為式中為遞推矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，其對角元為遞推矩陣的特征值。當(dāng)時，只有，才能使在時有界當(dāng)時，只要，就能使在時有界第124頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月直接積分法解的穩(wěn)定性若遞推矩陣為二階非對稱矩陣，沒有重特征根，其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為易知，只要滿足時，就有界遞推矩陣的譜半徑第125頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月直接積分法解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性準(zhǔn)則若遞推矩陣沒有重特征根，要求其譜半徑不大于1；若遞推矩陣存在重特征根，要求其特征值的模小于1。數(shù)值阻尼（人工阻尼）——譜半徑小于1.0時，隨迭代增加，矩陣第126頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法將位移函數(shù)按Taylor級數(shù)展開，得由式（13）可得第127頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法將式（14）代入任意時刻的運動方程得其中第128頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法起始步的計算定義積分常數(shù)第129頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法計算步驟1、初始計算1）形成剛度矩陣和質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；2）給定初始條件和，并計算；3）給定時間步長，計算積分常數(shù)；4）計算起步位移：；5）計算有效質(zhì)量矩陣：；6）對有效質(zhì)量矩陣進(jìn)行三角分解：；第130頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法2、對每一個時間步1）計算時刻的有效載荷；2）計算時刻的位移：；3）如有需要，計算時刻的加速度和速度第131頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性對任意時刻的運動方程考慮其中心差分格式，有將式（21）寫為遞推矩陣格式有第132頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法其中對無阻尼系統(tǒng)，由式（23）計算出遞推矩陣特征值為第133頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法根據(jù)收斂條件，可知從而得對有阻尼系統(tǒng)，中心差分法的臨界時間步長為第134頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月中心差分法由于對任意一個解耦后的運動方程來說均應(yīng)滿足式（27），因此，滿足收斂條件的時間步長由系統(tǒng)中的最高階模態(tài)對應(yīng)的固有頻率決定。容易看出，當(dāng)滿足式（25）時，譜半徑為1，此時中心差分法沒有數(shù)值阻尼。第135頁，課件共148頁，創(chuàng)作于2023年2月

Newmark法在位移和速度的Taylor級數(shù)中只保留一階導(dǎo)數(shù)項，則可得若在式（28）中將導(dǎo)數(shù)的平均值代替時刻的導(dǎo)數(shù)值，則可將式（28）改寫為第136頁，課件共