《專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)》2023學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)（人教版）模型方法課之手拉手模型壓軸題專(zhuān)練（解析版）

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（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠CDB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，求出∠DCE=60°，推出∠ACM=∠DCN，根據(jù)ASA推出△ACM≌△DCN即可；

（3）根據(jù)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形推出△CMN為等邊三角形，推出∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，求出∠CMN=∠ACM=60°，即可得出答案；

（4）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠CMN=∠ACM=60°，根據(jù)平行線的判定得出即可．【詳解】解：證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，

∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE=BD；（2）∵由（1）可知：△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

即∠CAM=∠CDN，

∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，

∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，

又點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，

∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，

即∠DCN=60°，

∴∠ACM=∠DCN，

在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴CM=CN；（3）∵由（2）可知CM=CN，∠MCN=60°，

∴△CMN為等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）；（4）∵△CMN為等邊三角形

∴∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，

∴∠CMN=∠ACM=60°，

∴MN∥BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．7．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等邊三角形，它的三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都等于60°），AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．試說(shuō)明：（1）AD=BE；（2）填空∠AOE=°；（3）CP=CQ；【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）120；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；（2）由（1）推出∠CAD=∠CBE，利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠BOP=∠ACP=60°，從而求得∠AOE的度數(shù)；（3）由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），從而證明CP=CQ．【詳解】（1）∵△ABC和△CDE為等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠APC=∠BPO，∴∠BOP=∠ACP=60°，∴∠AOE=18060°=120°，故答案為：120；（3）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=60°，在△CQB和△CPA中，，

∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．8．如圖1，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）圖2，延長(zhǎng)BE至Q，P為BQ上一點(diǎn)，連結(jié)CP，CQ使CP＝CQ＝5，若BC＝8時(shí)，求PQ的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由題意易得，，，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求證；（2）作交于，則，由（1）易得，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形，∴，，且，∵，∴，∴（2）作交于，則，在中，由已知和（1）得，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理、含30°角的直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后根據(jù)勾股定理及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解問(wèn)題即可．9．如圖1，點(diǎn)是線段上除點(diǎn)、外的任意一點(diǎn)，分別以、為邊在線段的同旁做等邊三角形和等邊三角形，連接和BC相交于點(diǎn)Q，（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）如圖2所示，和仍為等邊三角形，但和不在同一條直線上，是否成立，的度數(shù)與圖1是否相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°；（3）成立，相等【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PA=PC，∠APC=60°，PB=PD，∠BPD=60°，于是得到∠APD=∠CPB，證得△APD≌△CPB，即可證明AD=BC；（2）由△APD≌△CPB，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PA=PC，∠APC=60°，PB=PD，∠BPD=60°，于是得到∠APD=∠CPB，證得△APD≌△CPB，即可證明AD=BC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠AQC=60°．【詳解】（1）∵△APC是等邊三角形，

∴PA=PC，∠APC=60°，

∵△BDP是等邊三角形，

∴PB=PD，∠BPD=60°，

∴∠APC=∠BPD，

∴∠APD=∠CPB，

在△APD與△CPB中，，

∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC；

（2）由（1）得：△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠AQC=180°-120°=60°；（3）AD=BC成立，∠AQC=60°，理由如下：∵△APC是等邊三角形，

∴PA=PC，∠APC=60°，

∵△BDP是等邊三角形，

∴PB=PD，∠BPD=60°，

∴∠APC=∠BPD，

∴∠APD=∠CPB，

在△APD與△CPB中，，

∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC；

∴∠PAD=∠PCB，

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠AQC=180°-120°=60°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，正確證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作△ADE（頂點(diǎn)A?D?E按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，且∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)D與B?C不重合），①求證：△ABD≌△ACE；②求證：（2）如圖2，若點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，若DB=5，BC=7，則△ADE的面積為_(kāi)___．（3）如圖3，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，連結(jié)BE，若BE=10，BC=6，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）①根據(jù)∠BAC=∠DAE，推出∠BAD=∠CAE，再結(jié)合AB=AC，AD=AE，即可證明△ABD≌△ACE，②根據(jù)∠ABD=∠ACE，可得∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE，根據(jù)BD=CE，即可證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，易得AF＝DE，利用全等三角形的判定定理可得△ABD≌△ACE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，易得EC＝5，DC＝12，利用勾股定理可得DE的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可得結(jié)論；（3）根據(jù)Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，求得CE＝＝8，進(jìn)而得出CD＝8?6＝2，在Rt△DCE中，求得DE＝=，最后根據(jù)△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的長(zhǎng)．【詳解】（1）①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．∵AD＝AE，∴點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∵∠DAE＝90°，∴AF＝DE，同理可證△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，∵DB＝5，BC＝7，∴EC＝5，DC＝12，∵∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°，∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°，即∠CED＋∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°，∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169，∵DE＞0，∴DE＝13，∴AF＝，∴△ADE的面積為＝DE?AF＝×13×＝；（3）由（1）可知：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°，∴Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8?6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝=，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝＝=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理及性質(zhì)定理，還有等腰三角形的性質(zhì)等，綜合利用定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．11．如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)____，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)____．（2）如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若成立，請(qǐng)就圖2給予證明．（3）若，，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1），；（2）（1）中結(jié)論仍成立；證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD，結(jié)合三角形的外角就可以得出結(jié)論；（2）同（1）中方法證明△ACE≌△BCD，得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出（3）當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時(shí)得出BD的最大和最小值，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，，且（2）（1）中結(jié)論仍成立證明：是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，，且（3）是等邊三角形，，當(dāng)旋轉(zhuǎn)=時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)BD=BC+CD=7當(dāng)旋轉(zhuǎn)=時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)BD=BC-CD=1∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．12．如圖，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，均為等邊三角形．連接和分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）設(shè)，那么的大小是否隨的位置變化而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）證明：是等邊三角形．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）不變，詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析．【分析】（1）∵等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，根據(jù)角的和差可得∠ABE＝∠DBC，根據(jù)全等三角形的判定可證得△ABE≌△DBC，繼而即可求證結(jié)論；（2）由角的和差和等角代換可得∠DHA＝CDB＋∠ACD，再由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）先由全等三角形的判定證得△AFB≌△DBG（ASA），可得BF＝BG，由等邊三角形的判定即可求證結(jié)論．【詳解】（1）均為等邊三角形．∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，∵∠ABD＋∠DBE＝∠EBC＋∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，△ABE≌△DBC（SAS）∴AE＝CD；（2）∵∠DHA＝∠HAC＋∠ACD，由（1）知：∠EAC＝∠CDB，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠DBG＝180°－120°＝60°，∠DBC＝120°∴∠DHA＝CDB＋∠ACD＝180°－∠DBC＝180°－120°＝60°∴的大小是固定的，不會(huì)隨的位置變化而變化；（3）在△AFB和△DBG中，∴△AFB≌△DBG（ASA）∴BF＝BG∵∠FBG＝60°∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形點(diǎn)與性質(zhì)，角的和差，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．13．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿射線BC運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P出發(fā)后，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交BC于點(diǎn)E，連結(jié)PQ，以PQ為邊作等邊三角形PQF，連結(jié)CF，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）用含t的代數(shù)式表示CQ的長(zhǎng)．（2）求△PCE的周長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．（3）求CF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．（4）當(dāng)△PQF的邊與BC垂直時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【答案】（1）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，CQ=4-2t；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，CQ=2t-4；（2）；（3）；（4）當(dāng)?shù)倪吪c垂直時(shí)，的值為或【分析】（1）分Q在線段BC上以及射線CD上兩種情況進(jìn)行討論即可；（2）根據(jù)題意可先證明△PCE是等邊三角形，然后求出PC，再乘3即可；（3）根據(jù)“雙等邊”模型，可證明△PEQ≌△PCF，從而得到CF=EQ，求出EQ即可；（4）分PQ⊥BC時(shí)，和FQ⊥BC時(shí)，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵△ABC是等邊三角形，∴，∵動(dòng)點(diǎn)P以的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，∴時(shí)間的最大值為：（秒），∴；∵動(dòng)點(diǎn)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）∵，是等邊三角形，∴∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，∵∠ACB=60°，∴△PCE是等邊三角形，∴PC=PE=CE，∵，∴△PCE的周長(zhǎng)為：；（3）如圖：∵是等邊三角形，∴，∠QPF=60°，∵△PCE是等邊三角形，∴PC=PE，∠EPC=∠QPF=60°，∴△PEQ≌△PCF，∴CF=EQ，∵，∵，，∴；（4）根據(jù)題意，①當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖：∵△PCE是等邊三角形，∴PQ是高，也是中線，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)FQ⊥BC時(shí)，如圖：∵∠FQC=90°，∠FQP=60°，∴∠PQE=30°，∵∠PCE=60°，∴∠CPQ=30°=∠PQE，∴PC=CQ，∵，，∴，解得：；綜合上述，當(dāng)?shù)倪吪c垂直時(shí)，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握“手拉手”的基本模型是解題關(guān)鍵．14．已知等邊，為邊中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)（不與A，重合），連接．（1）如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，當(dāng)在線段上（不與A，重合）時(shí)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．①依題意補(bǔ)全圖1；②此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系為：，=°．（2）如圖2，若，在邊上有一點(diǎn)，使得．直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②，120；（2），證明見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)提示畫(huà)出圖形即可；②連接DE，證明△DME≌△DFB即可得到結(jié)論；（3）取線段中點(diǎn)，連接．由三角形中位線定理得，，．根據(jù)是等邊三角形可證明，，再證明得，，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1．②線段與的數(shù)量關(guān)系為；．連接DE，∵D為BC的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中?線，∴DE=AB，DE//AB∵是等邊三角形，∴，．∵D為BC的中點(diǎn)，∴∵∴，∴∵，∴△DME≌△DFB∴；．∵∴∴．故答案為：；．（2）證明：取線段中點(diǎn)，連接．如圖2．∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，．∵是等邊三角形，∴，．∴，．∴，∵，∴．∴．∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．15．如圖，B，C，E三點(diǎn)在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，BD與AC交于點(diǎn)M，AE與CD交于點(diǎn)N．（1）求證：AE＝BD；（2）連接MN，求證：MN∥BE；（3）若把△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）成立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為的性質(zhì)可求得，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得．（2）是等邊三角形，由可知，根據(jù)可證明，得到，又，可知是等邊三角形，得到，由，得到，所以．（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明方法與（1）相同．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，與都是等邊三角形，，，，，，，即．在和中，，．．（2）證明：如圖1中，連接，，．在和中，，，，，是等邊三角形，，，，．（3）成立；理由如下：如圖2中，、均為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用及全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用．解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等，屬于中考常考題型．16．如圖，兩個(gè)正方形ABCD與DEFG，連結(jié)AG，CE，二者相交于點(diǎn)H．（1）證明：△ADG≌△CDE；（2）請(qǐng)說(shuō)明AG和CE的位置和數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）連結(jié)AE和CG，請(qǐng)問(wèn)△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)AG=CE，AG⊥CE；(3)△ADE的面積=△CDG的面積【分析】（1）利用SAS證明△ADG≌△CDE；（2）利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE；（3）△ADE的面積=△CDG的面積，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N，證明△DPG≌△DNE，得到PG=EN，再利用三角形的面積公式分別表示出△ADE的面積，△CDG的面積，即可得到結(jié)論△ADE的面積=△CDG的面積.【詳解】（1）∵四邊形ABCD與DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），（2）AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE；（3）△ADE的面積=△CDG的面積，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N，則∠DPG=∠DNE=90°，∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG，∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面積=，△CDG的面積=，∴△ADE的面積=△CDG的面積.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，利用三角形面積公式求解，根據(jù)圖形得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.17．已知在中，，過(guò)點(diǎn)引一條射線，是上一點(diǎn)．（問(wèn)題解決）（1）如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：．小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)使得，通過(guò)已知的條件，從而求得的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出證明過(guò)程；（類(lèi)比探究）（2）如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)；②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請(qǐng)問(wèn)的度數(shù)會(huì)變化嗎？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由，若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①120°；②會(huì)變，60°【分析】（1）在上取一點(diǎn)使得，可證≌，求出∠ADC的度數(shù)，減去∠ADB的度數(shù)即可；（2）在上取一點(diǎn)，使得，可證≌，求出∠ADC的度數(shù)，減去∠ADB的度數(shù)即可；（3）在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，按照（2）的方法可求．【詳解】證明：（1）在上取一點(diǎn)使得，∵，∴為等邊三角形，∵∴為等邊三角形，∴，∴≌（），∴，∴；（2）①如圖2，在上取一點(diǎn)，使得，∵，且，∴，∴，∴∴≌（），∴，∴，②會(huì)變，如圖3，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得同理可得：≌（），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線，構(gòu)造“手拉手”手拉手全等模型，利用全等三角形的性質(zhì)求角．18．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°；（3）18.23cm【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．從而可證∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可證明△DBC≌△ABE，得出結(jié)論AE＝DC．（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可求出∠FDA+∠DAF＝120°，進(jìn)而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”證明△BEH≌△BCN，得出結(jié)論BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．（3）延長(zhǎng)BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．根據(jù)所作輔助線可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即證明△AFQ是等邊三角形，得出結(jié)論AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可證明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可證明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【詳解】（1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，∵在△DBC和△ABE中，，∴△DBC≌△ABE（SAS），∴AE＝DC；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．∵△DBC≌△ABE，∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，∵△ABD是等邊三角形，∴∠BDA+∠BAD＝120°，∴∠FDA+∠DAF＝120°，∴∠DFA＝180°-120°＝60°，∴∠DFE＝180°-60°＝120°，在△BEH和△BCN中，，∴△BEH≌△BCN（AAS），∴BH＝BN，∴BF平分∠DFE，∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；（3）解：如圖，延長(zhǎng)BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．則∠AFQ＝∠BFE＝60°，∴△AFQ是等邊三角形，∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，在△DAF和△BAQ中，，∴△DAF≌△BAQ（SAS），∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題．考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線也是解答本題的關(guān)鍵．19．問(wèn)題背景：如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．探究線段BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系．嘉琪同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)NC至點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，先證明△CDE≌△BDM，再證明△MDN≌△EDN，可得出線段BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系為．請(qǐng)你根據(jù)嘉琪同學(xué)的做法，寫(xiě)出證明過(guò)程．探索延伸：若點(diǎn)M，N分別是線段AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，再探索線段BM，MN，NC之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】問(wèn)題背景：MN＝BM+N