2021年福建省龍巖市長汀縣涂坊中學高二數(shù)學文下學期期末試題含解析

2021年福建省龍巖市長汀縣涂坊中學高二數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某國際科研合作項目由兩個美國人，一個法國人和一個中國人共同開發(fā)完成，現(xiàn)從中隨機選出兩個人作為成果發(fā)布人，現(xiàn)選出的兩人中有中國人的概率為（

）A.

B.

C.

D．1參考答案：C2.已知圓+y=4和直線y=mx的交點分別為P、Q兩點，O為坐標原點，

則︱OP︱·︱OQ︱=(

)A

1+m

B

C

5

D

10參考答案：C

錯因：學生不能結合初中學過的切割線定︱OP︱·︱OQ︱等于切線長的平方來解題。

3.設是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則（）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.f（x）定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足xf′（x）+f（x）≤0，對任意的正數(shù)a，b，若a＜b，則必有（）A．bf（b）≤af（a） B．bf（a）≤af（b） C．a(chǎn)f（a）≤bf（b） D．a(chǎn)f（b）≤bf（a）參考答案：A【考點】函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系．【分析】先構造函數(shù)g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），通過求導利用已知條件即可得出．【解答】解：設g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），則g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，∴g（x）在區(qū)間x∈（0，+∞）單調遞減或g（x）為常函數(shù)，∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故選：A．5.在一個投擲硬幣的游戲中，把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于()參考答案：A6.定義在R上的可導函數(shù)滿足，且在(－∞,0]上，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．

C．

D．參考答案：A函數(shù)f(x)滿足,則函數(shù)為奇函數(shù)，不妨令f(x)=2x，則奇函數(shù)同時滿足在(－∞,0]上，此時即：，求解關于實數(shù)a的不等式可得實數(shù)a的取值范圍是.本題選擇A選項.

7.函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（ ）A.(2,3) B.(0,1) C.(－1,0) D.(1,2)參考答案：A詳解：函數(shù)，可得：f（﹣1）=5＞0，f（0）=3＞0，f（1）=＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣，由零點定理可知，函數(shù)的零點在（2，3）內．故選：A．8.袋中裝有3個黑球、2個白球、1個紅球，從中任取兩個，互斥而不對立的事件是（）A．“至少有一個黑球”和“沒有黑球”B．“至少有一個白球”和“至少有一個紅球”C．“至少有一個白球”和“紅球黑球各有一個”D．“恰有一個白球”和“恰有一個黑球”參考答案：C【考點】互斥事件與對立事件．【分析】利用對立事件、互斥事件的定義求解．【解答】解：在A中：“至少有一個黑球”和“沒有黑球”既不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，故這兩個事件是對立事件，故A錯誤；在B中：“至少有一個白球”和“至少有一個紅球”能夠同時發(fā)生，故這兩個事件不是互斥事件，故B錯誤；在C中：“至少有一個白球”和“紅球黑球各有一個”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故這兩個事件是互斥而不對立的事件，故C正確；在D中：“恰有一個白球”和“恰有一個黑球”能夠同時發(fā)生，故這兩個事件不是互斥事件，故D錯誤．故選：C．9.（）A.B.C.D.

參考答案：A10.已知，且H=，其中表示數(shù)集中的最大數(shù).則下列結論中正確的是A.H有最大值

B.H有最小值C.H有最小值

D.H有最大值參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小值是

參考答案：12.三進制數(shù)121（3）化為十進制數(shù)為．參考答案：16【分析】利用累加權重法，即可將三進制數(shù)轉化為十進制，從而得解．【解答】解：由題意，121（3）=1×32+2×31+1×30=16故答案為：1613.

。（結果用式子表示）參考答案：14.過點A(4,1)的圓C與直線相切于點B(2,1),則圓C的方程為

.參考答案：15.在△ABC中，已知，則b=．參考答案：考點：正弦定理專題：解三角形．分析：利用正弦定理列出關系式，將sinA，sinB及a的值代入計算即可求出b的值．解答：解：∵sinA=，sinB=，a=6，∴由正弦定理=得：b===5．故答案為：5點評：此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．16.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值

．參考答案：略17.如果數(shù)列中的項構成新數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則它構成的數(shù)列是公比為k的等比數(shù)列.已知數(shù)列滿足：，，且，根據(jù)所給結論，數(shù)列的通項公式

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=﹣x+xlnx（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）若y=f（x）﹣m﹣1在定義域內有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】（1）求出導函數(shù)，利用導函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調區(qū)間．（2）y=f（x）﹣m﹣1在（0，+∞）內有兩個不同的零點，可轉化為f（x）=m+1在（0，+∞）內有兩個不同的根，可轉化為y=f（x）與y=m+1圖象上有兩個不同的交點，畫出函數(shù)的圖圖象，判斷求解即可．【解答】解：（1）f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；∴f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）（2）y=f（x）﹣m﹣1在（0，+∞）內有兩個不同的零點，可轉化為f（x）=m+1在（0，+∞）內有兩個不同的根，也可轉化為y=f（x）與y=m+1圖象上有兩個不同的交點，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，f（x）min=f（1）=﹣1，由題意得，m+1＞﹣1即m＞﹣2①，由圖象可知，m+1＜0，即m＜﹣1②，由①②可得﹣2＜m＜﹣1．19.如圖，P是直線x=4上一動點，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點B（1，0），直線l是圓Γ在點B處的切線，過A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F(xiàn)兩點．（1）求證：|EA|+|EB|為定值；（2）設直線l交直線x=4于點Q，證明：|EB|?|FQ|=|BF|?|EQ|．參考答案：【分析】（1）設AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|====4；（2）確定E，F(xiàn)均在橢圓=1上，設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立，E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，利用韋達定理，即可證明結論．【解答】證明：（1）設AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，∴|EA|+|EB|=|AM|====4為定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，∴E，F(xiàn)均在橢圓=1上，設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，yQ=，直線與橢圓方程聯(lián)立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則y1+y2=﹣，y1y2=﹣∵E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，∴2y1y2=（y1+y2）?，代入y1+y2=﹣，y1y2=﹣成立，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．20.從4名男生和5名女生中任選5人參加數(shù)學課外小組．（1）若選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選，求共有多少種不同的選法；（2）記“男生甲和女生乙不同時入選”為事件A，求A發(fā)生的概率．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）利用排列組合和乘法原理能求出選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選，共有多少種不同的選法．（2）記“男生甲和女生乙不同時入選”為事件A，則表示“男生甲和女生乙同時入選”，利用對立事件概率計算公式能求出事件A發(fā)生的概率．【解答】解：（1）從9人中任選5人，基本事件總數(shù)n==126，選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選包含的基本事件總數(shù)m==36，∴選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選，共有36種不同的選法．（2）記“男生甲和女生乙不同時入選”為事件A，則表示“男生甲和女生乙同時入選”，∴P（）==，∴A發(fā)生的概率P（A）=1﹣P（）=1﹣．【點評】本題考查排列組合的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．21.已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性；（Ⅱ）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】（Ⅰ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，注意對a分類討論；（Ⅱ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的極值，注意a的討論及利用換元法轉化為求函數(shù)最值問題解決．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x）==，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴當1﹣a≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞增，當0＜a≤1時，由f′（x）=0得x=±，則函數(shù)f（x）在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a≥1時，f′（x）≥0，此時f（x）不存在極值點．因此要使f（x）存在兩個極值點x1，x2，則必有0＜a＜1，又f（x）的極值點值可能是x1=，x2=﹣，且由f（x）的定義域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，則x1，x2分別為函數(shù)f（x）的極小值點和極大值點，∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，當0＜a＜時，﹣1＜x＜0；當＜a＜1時，0＜x＜1．令g（x）=lnx2+﹣2．（i）當﹣1＜x＜0時，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（﹣1，0）上單調遞減，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，∴當0＜a＜時，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）當0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上單調遞減，g（x）＞g（1）=0，∴當＜a＜1時，f（x1）+f（x2）＞0；綜上所述，a的取值范圍是（，1）．22.某高中有高一新生500名，分成水平相同的A，B兩類進行教學實驗．為對比教學效果，現(xiàn)用分層抽樣的方法從A、B兩類學生中分別抽取了40人、60人進行測試．（Ⅰ）求該學校高一新生A、B兩類學生各多少人？（Ⅱ）經(jīng)過測試，得到以下三個數(shù)據(jù)圖表：圖一：75分以上A、B兩類參加測試學生成績的莖葉圖（莖、葉分別是十位和個位上的數(shù)字）（如圖1）圖二：100名測試學生成績的頻率分布直方圖2；表一：100名測試學生成績頻率分布表；組號分組頻數(shù)頻率1[55，60）50.052[60，65）200.203[65，70）

4[70，75）350.355[75，80）

6[80，85）

合計1001.00①先填寫頻率分布表（表一）中的六個空格，然后將頻率分布直方圖（圖二）補充完整；②該學校擬定從參加考試的79分以上（含79分）的B類學生中隨機抽取2人代表學校參加市比賽，求抽到的2人分數(shù)都在80分以上的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由題知A類學生有人則B類學生有500﹣200=300人（Ⅱ）通過讀頻率分布直方圖可輕易獲取所要解答．【解答】解析：（Ⅰ）由題知A類學生有（人）…2分則B類學生