全等三角形動點(diǎn)問題提高題

全等三角形動點(diǎn)問題提高題1.已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)。點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動。(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，1秒鐘時，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由。(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD≌△CQP？2.如圖，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP。(1)通過觀察、測量和猜想，寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ。你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。3.如圖，在△ABC中，∠CAB=70°。在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，則∠B′AB=_________。4.已知如圖(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的兩側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。(1)求證：BD＝DE＋CE；(2)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到(2)位置時(BD＜CE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請予證明；(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(3)位置時，(BD＞CE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不須證明；(4)歸納(1)、(2)、(3)，請用簡捷語言表述BD、DE、CE的關(guān)系。5.在圖中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1=∠2=45°。(1)如圖，若AO=OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖中的MN繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到下圖，其中AO=OB。求證：AC=BD，AC⊥BD。BC，D為直線l上一點(diǎn)，連接AD，交BC延長線于E，若BE=6，DE=8，求AD的長度。證明題：6.題目已經(jīng)清晰，不需要改寫。7.(1)證明：由于AB=CD，AF=CE，所以△ABF≌△CED。又因?yàn)镈E⊥AF，BF⊥AC，所以∠ABF=∠CED=90°，∠BAC=∠EAC，所以△ABC≌△EAF。于是可以得到：△ABF≌△CED≌△EAF，因此MB=MD，ME=MF。(2)當(dāng)E、F兩點(diǎn)移到如圖所示的位置時，可以發(fā)現(xiàn)DE不再垂直于AF，因此無法得到MB=MD，ME=MF，結(jié)論不成立。8.題目已經(jīng)清晰，不需要改寫。9.題目已經(jīng)清晰，不需要改寫。10.證明：∠B′AB=∠CAB=70°。11.選項D。由于AB=AC，所以AD是△ABC的角平分線，所以BD=CD，AD⊥BC，因此③正確。由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BDE=∠CDF，因此④正確。由于AD是角平分線，所以AD上任意一點(diǎn)到邊AB，AC的距離相等，因此②正確。但是AD上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C，B的距離相等這個結(jié)論是不成立的，因此①錯誤。計算題：12.(1)如圖1所示，CD和BE始終相等。(2)如圖2所示，由于∠CQE=60°，因此△CQE是等邊三角形，所以CE=CQ=6，DQ=2，因此DE=DQ+EQ=2+6=8，所以DE=BE，CD=CE，因此CD和BE始終相等。(3)如圖3所示，由于△ABC是等腰直角三角形，所以AC=BC=√2AB=5√2，因此AF=CE=5，DF=DE+EF=8+5=13，所以DF不等于EF，結(jié)論不成立。13.題目已經(jīng)清晰，不需要改寫。由于AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，因此AB=BC=√2AC，所以AD=AB+BD=AB+BE=√2AC+6=√2BC+6。由于BE=6，DE=8，可以得到：△ADE是30°-60°-90°三角形，因此AD=2DE=16。代入上式得到：AD=√2BC+6=16，解得：BC=25，因此AD=√2BC+6=√2×25+6=11√2+6。1.觀察圖中△EFP，根據(jù)題意得知EF=FP，且FP在直線l上，因此可以得出AE=AB-EB=AB-EP=AP+PE-EP=AE+PE，即AP=EB=PE，同時由于EF與AC重合，故AE=EF，因此可以得出AP=EF。2.當(dāng)△EFP沿直線l向左平移時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ。根據(jù)題意可得EP=EQ，且EF=FP，因此△EQF與△FPB全等，從而可以得出BQ=AP。3.當(dāng)△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ。此時，由于EF與AC重合，故EF與AC的延長線重合，即EF∥BQ，而EP與AC的延長線重合，故EP∥AP，因此BQ∥AP，無法得出BQ=AP。4.當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，連接AE，BE，CD，CE，根據(jù)△ADE與△BCE全等可得AE=CE，根據(jù)△ADE與△ABD全等可得AD=AB，因此CE+CD=AE+AD=AB，即CE+CD=AB。5.當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時，連接AE，BE，CD，CE，根據(jù)△ADE與△BCE全等可得AE=CE，根據(jù)△ADE與△ABD全等可得AD=AB，因此CE+CD=AE+AD>AB，即CE+CD>AB。6.根據(jù)題意可得AE=EM，EF∥CG，CF∥DG，因此△AME與△ECF全等，從而可以得出AE=EF。7.當(dāng)點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)時，連接AE，BE，CD，CE，與題目中的情況類似，根據(jù)△ADE與△BCE全等可得AE=CE，根據(jù)△ADE與△ABD全等可得AD=AB，因此CE+CD=AE+AD=AB，即CE+CD=AB，結(jié)論成立。8.當(dāng)點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)時，連接AE，BE，CD，CE，此時無法得出AE=CE，因此結(jié)論不成立。9.當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到AC上的點(diǎn)為M時，△ABC與△APQ全等。根據(jù)勾股定理可得BC=√75，因此AM=√75-5，由于△APQ與△ABC全等，因此AP=AB-AC=5，AQ=AB+AC=2√75-5，因此PM=√75-2，QM=√75-√50，根據(jù)勾股定理可得PQ=√25+75-2√75=√50，因此△APQ與△ABC全等。10.由于AB=AC，因此∠BAC=∠ABC=∠ACB，又∠QAP=∠BAC，因此△APQ與△ABC全等，從而可以得出BQ=CP。18.在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN。①證明：由于BP=PC，∠BPM=∠CPN，又∠PBM=∠PCN=90°，故△BPM≌△CPE（根據(jù)ASA準(zhǔn)則）。②證明：由于BP=PC，∠BPM=∠CPN，又∠PBM=∠PCN=90°，故△BPM與△CPN是直角三角形，且∠BPM=∠CPN，故PM=PN。（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時PM=PN不成立。因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)時，PM與PN不可能相等。（3）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷PM=PN還成立嗎？不必說明理由。此時PM=PN成立，因?yàn)椤鰾PM與△CPN都是直角三角形，且BP=PC，∠BPM=∠CPN=90°，故PM