平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》配套題庫【課后習(xí)題＋章節(jié)題庫（含名?？佳姓骖}）＋模擬試題】

第一部分課后習(xí)題第1講偏好、效用與消費(fèi)者的基本問題1．根據(jù)下面的描述，畫出消費(fèi)者的無差異曲線。對于（2）和（3）題，寫出效用函數(shù)。（1）王力喜歡喝汽水，但是厭惡吃冰棍。（2）李楠既喜歡喝汽水，又喜歡吃冰棍，但她認(rèn)為三杯汽水和兩根冰棍是無差異的。（3）蕭峰有個(gè)習(xí)慣，他每喝一杯汽水就要吃兩根冰棍，當(dāng)然汽水和冰棍對他而言是多多益善。（4）楊琳對于有無汽水喝毫不在意，但她喜歡吃冰棍。答：（1）根據(jù)題意，對王力而言，冰棒是厭惡品，相應(yīng)的無差異曲線如圖1-1所示（圖中箭頭表示更高的效用方向）。圖1-1 喜歡喝汽水厭惡吃冰棍（2）根據(jù)題意，對李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函數(shù)為，相應(yīng)的無差異曲線如圖1-2所示。圖1-2 既喜歡喝汽水又喜歡吃冰棍（3）消費(fèi)者對這兩種商品的效用函數(shù)為，如圖1-3所示。圖1-3 喝一杯汽水就要吃兩根冰棍（4）如圖1-4所示，其中為中性品。圖1-4 對于有無汽水喝毫不在意2．作圖：如果一個(gè)人的效用函數(shù)為（1）請畫出三條無差異曲線。（2）如果，，。請?jiān)趫D1-5上找出該消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合。答：（1）由效用函數(shù)畫出的三條無差異曲線如圖1-5所示。圖1-5 無差異曲線和最優(yōu)點(diǎn)（2）效用函數(shù)確定了消費(fèi)者的最優(yōu)選擇必定是落在便宜的商品上，即他會將所有收入都用于購買相對便宜的商品，最優(yōu)點(diǎn)如圖1-5中的點(diǎn)所示，在該點(diǎn)此人消費(fèi)10個(gè)單位的，0個(gè)單位的。3．下列說法對嗎？為什么？若某個(gè)消費(fèi)者的偏好可以由效用函數(shù)來描述，那么對此消費(fèi)者而言，商品1和商品2是完全替代的。答：此說法正確。由題意知：，，則商品1對于商品2的邊際替代率為：由于，是一個(gè)常數(shù)，所以商品1與商品2是以1∶1的比率完全替代的。4．設(shè)，這里。（1）證明：與的邊際效用都遞減。（2）請給出一個(gè)效用函數(shù)形式，但該形式不具備邊際效用遞減的性質(zhì)。答：（1）將關(guān)于和分別求二階偏導(dǎo)數(shù)得，，所以與的邊際效用都遞減。（2）如效用函數(shù)，它關(guān)于與的二階偏導(dǎo)數(shù)恒大于零，所以與的邊際效用都是遞增的。只要效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不為負(fù)，就可以保證邊際效用不是遞減的。5．常替代彈性效用函數(shù)，請證明：（1）當(dāng)，該效用函數(shù)為線性。（2）當(dāng)時(shí)，該效用函數(shù)趨近于。（3）當(dāng)時(shí)，該效用函數(shù)趨近于。證明：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)效用函數(shù)是線性的。（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：（3）當(dāng)時(shí)，對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：最后一個(gè)等號用到洛必達(dá)法則，下面分情況討論：①當(dāng)時(shí)：上式中倒數(shù)第二個(gè)等號成立是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，。②當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，有。綜上可知：6．茜茜總喜歡在每一杯咖啡里加兩湯匙糖。如果每湯匙糖的價(jià)格是，每杯咖啡的價(jià)格是，消費(fèi)者花費(fèi)元在咖啡和糖上，那么，她將打算購買多少咖啡和糖？如果價(jià)格變?yōu)楹?，對她關(guān)于咖啡和糖的消費(fèi)會發(fā)生什么影響？答：（1）由于茜茜總喜歡在每一杯咖啡里加兩湯匙糖，所以咖啡和糖對茜茜而言是完全互補(bǔ)品，如果用和分別表示她消費(fèi)的咖啡的數(shù)量（以杯為單位）和糖的數(shù)量（以湯匙為單位），那么她的效用函數(shù)就可以表示為：從而她的效用最大化問題可以表示為：對于最優(yōu)選擇，必有。這是因?yàn)槿绻敲丛诒３诸A(yù)算約束不變的條件下，增加一些糖的消費(fèi)，再減少一些咖啡的消費(fèi)，就可以提高茜茜的效用，如圖1-6的點(diǎn)所示。所以對于最優(yōu)選擇，一定不成立；對于也有類似的理由。圖1-6 互補(bǔ)偏好的最優(yōu)選擇再結(jié)合預(yù)算約束，就可以得到消費(fèi)者對咖啡和糖的最優(yōu)消費(fèi)量分別為：（2）當(dāng)價(jià)格變?yōu)楹蜁r(shí)，茜茜對咖啡和糖的消費(fèi)變?yōu)椋核?，咖啡和糖兩者之中任何一個(gè)價(jià)格上漲都會引起茜茜對它們的需求同時(shí)下降。7．令表示偏好關(guān)系，表示嚴(yán)格偏好關(guān)系，～表示無差異關(guān)系，證明下列關(guān)系：（1）（2）（3）（4）證明：（1）的含義是：弱偏好本身是弱偏好的一個(gè)子集。根據(jù)子集的定義，任何非空集合都是自己的一個(gè)子集。由于偏好關(guān)系是定義在選擇集的二次冪集上的完備的序關(guān)系，又由選擇集的非空性質(zhì)得到選擇集二次冪集的非空性，得到偏好關(guān)系的非空性質(zhì)。（2）的含義是：如果A和B之間無差異，那么A至少和B一樣好，從而本結(jié)論成立。（3）的含義是：如果消費(fèi)者對A的偏好超過了對B的偏好這一關(guān)系和消費(fèi)者對A和B的偏好是無差異的這一關(guān)系中有一個(gè)成立，那么消費(fèi)者對A的偏好至少和B一樣好這一關(guān)系一定成立，反之亦然。根據(jù)關(guān)系的定義可知這個(gè)結(jié)論是成立的。（4）的含義是：消費(fèi)者對A的偏好超過了對B的偏好這一關(guān)系和消費(fèi)者對A和B的偏好是無差異的這一關(guān)系不能同時(shí)成立。理由如下：如果AB和A～B同時(shí)成立，那么就有AB～A，從而得到AA，矛盾。8．證明下列結(jié)論（或用具說服力的說理證明）：（1）“”與“～”都不具有“完備性”。（2）“～”滿足反省性。（3）嚴(yán)格偏好關(guān)系不滿足反省性。（4）對于任何中的與，在下列關(guān)系中只能居其一：，或，或。證明：（1）“”與“～”都不具有完備性。理由如下：如果一種偏好關(guān)系具有完備性，那么對消費(fèi)集中任意兩個(gè)消費(fèi)束之間都可以建立這種關(guān)系?！啊北硎緡?yán)格偏好關(guān)系，但是對任意的兩個(gè)消費(fèi)束A和B，消費(fèi)者對它們可能是無差異的，這時(shí)A和B之間就不能建立嚴(yán)格偏好的關(guān)系。“～”表示無差異關(guān)系，但是對任意的兩個(gè)消費(fèi)束A和B，消費(fèi)者可能嚴(yán)格偏好于A，這時(shí)A和B之間就不能建立無差異的關(guān)系。（2）“～”滿足反省性。理由如下：反省性是說，如果消費(fèi)束A和消費(fèi)束B之間滿足某種二元關(guān)系，那么B和A之間也滿足這種關(guān)系。如果A和B之間是無差異的，那么顯然，B和A之間也是無差異的，所以“～”滿足反省性。（3）嚴(yán)格偏好關(guān)系不滿足反省性，理由如下：如果消費(fèi)者對A的偏好超過了對B的偏好，即AB，那么根據(jù)反省性，消費(fèi)者對B的偏好也超過了對A的偏好，即BA。從而就有AA，即消費(fèi)者對A的偏好超過了他對A的偏好，這樣就出現(xiàn)了矛盾。所以嚴(yán)格偏好關(guān)系不滿足反省性。（4）對于中的任何與，下列關(guān)系中只有一個(gè)能成立：，或，或。理由如下：利用反證法，假設(shè)如果這三種關(guān)系中至少有兩個(gè)同時(shí)成立，那么共有以下四種情況：①且，由此可以得到，即，矛盾?、谇遥纱丝梢缘玫?，即，矛盾?、矍?，由此可以得到，即，矛盾?、埽?，由此可以得到，即，矛盾！綜上可知這三種關(guān)系中只有一個(gè)能成立。9．一個(gè)只消費(fèi)兩類物品的消費(fèi)者面臨正的價(jià)格，其擁有正的收入，他的效用函數(shù)為：導(dǎo)出其馬歇爾需求函數(shù)。答：消費(fèi)者的效用最大化問題為：由約束條件可知，從而當(dāng)，時(shí)，消費(fèi)者效用達(dá)到最大，因此該消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)為：10．一個(gè)人的效用函數(shù)為，這里，。假定存在內(nèi)點(diǎn)解，請推導(dǎo)其馬歇爾需求函數(shù)。解：該消費(fèi)者的效用最大化問題為：該問題的拉格朗日函數(shù)為：使最大化的、、滿足一階條件：由上述三式解得：，。上述兩式即為和的馬歇爾需求函數(shù)。11．在下列效用函數(shù)形式里，哪些是效用函數(shù)的單調(diào)變換？（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7），對于（8），對于。答：當(dāng)意味著，則稱為原效用函數(shù)的單調(diào)變換。本質(zhì)上說，單調(diào)變換與一個(gè)單調(diào)函數(shù)是一回事。一個(gè)效用函數(shù)是原效用函數(shù)的單調(diào)變換，則該效用函數(shù)嚴(yán)格的單調(diào)遞增。（1）是單調(diào)變換，因?yàn)?。?）在時(shí)是單調(diào)變換，時(shí)不是單調(diào)變換。理由如下：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。從而只有當(dāng)時(shí)，才是單調(diào)變換。（3）在時(shí)不是單調(diào)變換，時(shí)，是單調(diào)變換。，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故效用函數(shù)形式在時(shí)，是單調(diào)變換。（4）在時(shí)是單調(diào)變換，時(shí)不是單調(diào)變換。由，所以當(dāng)