莫怕立體幾何難 牢記對(duì)策能過關(guān)

精品文檔-下載后可編輯莫怕立體幾何難牢記對(duì)策能過關(guān)立體幾何是平面幾何的延伸，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.近年來(lái)，高考中的立體幾何不僅側(cè)重于對(duì)線線、線面、面面的各種位置關(guān)系的基礎(chǔ)考查,更加重了對(duì)空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力以及運(yùn)算能力的考查.在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們普遍反映幾何比代數(shù)難學(xué)，其根本原因在于從初中的平面圖形知識(shí)過渡到高中的空間圖形知識(shí)，本身就是一個(gè)難點(diǎn)，再加上這部分內(nèi)容的基本概念相對(duì)集中和抽象，于是就要求同學(xué)們具備一定的空間想象能力和推理能力.筆者現(xiàn)對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)的三種癥狀進(jìn)行分析，有針對(duì)性地提出解立體幾何題的突破方法.

癥狀一＞＞

概念記憶不清

表現(xiàn)在解題過程中想不起相關(guān)定義、定理，或是記錯(cuò)概念，導(dǎo)致解題出錯(cuò).

癥結(jié)在學(xué)習(xí)過程中沒有重視對(duì)概念的記憶（如線線、線面、面面的位置關(guān)系，線線角、線面角、面面角的定義等），因此在解題時(shí)不能進(jìn)行準(zhǔn)確地應(yīng)用.

突破之道在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)重視對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化記憶，將重要定理進(jìn)行歸納、類比，找出各個(gè)定理的關(guān)鍵字并加以概括，從而記熟這些重要的定理（如將線面平行的判定定理記為“線線平行，則線面平行”等）.

例1如圖1所示，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC＝，OA底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).求證：直線MN∥平面OCD.

證明：取OB中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE.因?yàn)镸E∥AB，AB∥CD，所以ME∥CD.又因?yàn)镹E∥OC，所以平面MNE∥平面OCD，所以MN∥平面OCD.

[O][M][A][N][B][D][C]

圖1

例2如圖2所示，已知在空間四邊形ABCD中，AB＝CD＝3，E，F(xiàn)分別為BC，AD上的點(diǎn)，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝，求AB與CD所成的角的大小.

[A][F][D][C][E][H][B]

圖2

解析：取BD上一點(diǎn)H，使得BH∶HD＝1∶2，連結(jié)FH、EH，由題意知FH／／AB，EH／／CD，則∠EHF為異面直線AB與CD所成的角（或補(bǔ)角）.

又AF∶FD＝BH∶HD＝BE∶EC＝1∶2，所以FH＝AB＝2，HE＝CD＝1，在EFH中，由余弦定理知cos∠EHF＝＝＝－，所以∠EFH＝120°，故由異面直線所成角的范圍可得，異面直線AB與CD所成的角為60°.

癥狀二＞＞

空間與平面問題之間轉(zhuǎn)化困難

表現(xiàn)遇到某些立體幾何問題時(shí)，不能有效地將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，從而造成解題思路閉塞.

癥結(jié)對(duì)空間圖形的分析不夠，沒有轉(zhuǎn)化意識(shí)，事實(shí)上立體幾何是平面幾何的推廣和延伸，很多空間問題最終都要轉(zhuǎn)化成平面問題加以解決.

突破之道認(rèn)真分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，注意對(duì)常見問題的轉(zhuǎn)化方法的總結(jié)，如求兩異面直線所成的角時(shí)要先通過平移將它們轉(zhuǎn)化成同一平面內(nèi)的相交直線；求二面角的大小即是求二面角的平面角的大小等.

例3三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖3所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A平面ABC，A1A＝，AB＝，AC＝2，A1C1＝1，＝．

（Ⅰ）證明：平面A1AD平面BCC1B1；

（Ⅱ）求二面角A－CC1－B的大小.

[A][A1][C1][B1][B][D][C]

圖3

解析：（Ⅰ）因?yàn)锳1A平面ABC，BC平面ABC，所以A1ABC．在RtABC中，AB＝，AC＝2，所以BC＝，因?yàn)锽D∶DC＝1∶2，所以BD＝，又＝＝，所以DBA∽ABC，所以∠ADB＝∠BAC＝90°，即ADBC．又因?yàn)锳1A∩AD＝A，所以BC平面A1AD，因?yàn)锽C平面BCC1B1，所以平面A1AD平面BCC1B1．

（Ⅱ）如圖4，作AEC1C交C1C于E點(diǎn)，連結(jié)BE.

[A][A1][C1][B1][B][D][C][F][E]

圖4

由已知得AB平面ACC1A1，所以AE是BE在面ACC1A1內(nèi)的射影．由三垂線定理知BECC1，所以∠AEB為二面角A－CC1－B的平面角．

于是過C1作C1FAC交AC于F點(diǎn)，則CF＝AC－AF＝1，C1F＝A1A＝，所以∠C1CF＝60°．在RtAEC中，AE＝ACsin60°＝2×＝．在RtBAE中，tan∠AEB＝＝＝．所以∠AEB＝arctan，即二面角A－CC1－B為arctan．

癥狀三＞＞

缺乏空間想象能力

表現(xiàn)遇到問題時(shí)頭腦中沒有相關(guān)的幾何圖形，空間想象能力較弱.

癥結(jié)對(duì)空間立體圖形的認(rèn)識(shí)存在一定的難度，特別是在圖形位置比較復(fù)雜、線條比較多時(shí)，不容易理清相關(guān)幾何元素的關(guān)系.

突破之道利用空間向量的方法可以很好地將幾何問題代數(shù)化，降低對(duì)空間想象能力的要求，因此同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要學(xué)會(huì)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用向量法來(lái)求解相關(guān)的角和距離的問題.

例4如圖5所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：AB1面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大??；

（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.

[z][A][C][x][y][B][O][D][A1][C1][O1][B1]

圖5

解析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO．因?yàn)锳BC為正三角形，所以AOBC．因?yàn)樵谡庵鵄BC－A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1．

取B1C1中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），所以＝（1，2，－），＝（－2，1，0），＝（－1，2，）．

因?yàn)?＝－2＋2＋0＝0，?＝－1＋4－3＝0，所以，，所以AB1平面A1BD．

（Ⅱ）設(shè)平面A1AD的法向量為n＝（x，y，z）．

因?yàn)椋剑ǎ?，1，－），＝（0，2，0），且n，n，所以n

令z＝1得n=（-，0，1）為平面