浙教版數(shù)學八年級上冊 2.5逆命題和逆定理 課件(共26張PPT)

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第2章特殊三角形

2.5逆命題和逆定理

學習目標

了解逆命題、逆定理的概念.

會識別兩個命題是不是互逆命題，并能寫出簡單命題的逆命題.

了解原命題成立，其逆命題不一定成立.

理解線段垂直平分線性質定理的逆定理.

情景導入

考慮兩個命題：

“飛機是會飛的交通工具”

“會飛的交通工具是飛機”

這兩個命題有什么不同？它們都是真命題嗎？

溫習舊識

1.命題的概念：

一般地，判斷某一件事情的句子叫做命題.

2.命題一般由_____和_____兩部分組成，即它的一般形式是___________________.

3.下列句子是命題的是（）

A.畫∠AOB=45°B.小于直角的角是銳角嗎？

C.連結CDD.鳥是動物

條件

結論

“如果…，那么…”

D

探究新知

命題條件結論命題真假

(1)兩直線平行，同位角相等

(2)同位角相等，兩直線平行

(3)如果a=b，那么a2=b2

(4)如果a2=b2，那么a=b

觀察表，命題(1)與命題(2)有什么關系？命題(3)與命題(4)呢？

填一填：

兩直線平行

同位角相等

同位角相等

兩直線平行

a=b

a=b

a2=b2

a2=b2

概括

互逆命題

在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.

原命題與逆命題

如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題.

探究新知

命題條件結論命題真假

(1)兩直線平行，同位角相等

(2)同位角相等，兩直線平行

(3)如果a=b，那么a2=b2

(4)如果a2=b2，那么a=b

命題(1)與命題(2)，命題(3)與命題(4)都是互逆命題.

填一填：

兩直線平行

同位角相等

同位角相等

兩直線平行

a=b

a=b

a2=b2

a2=b2

探究新知

命題條件結論命題真假

(1)兩直線平行，同位角相等

(2)同位角相等，兩直線平行

(3)如果a=b，那么a2=b2

(4)如果a2=b2，那么a=b

填一填：

兩直線平行

同位角相等

同位角相等

兩直線平行

a=b

a=b

a2=b2

a2=b2

真命題

真命題

真命題

假命題

原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.

做一做：

說出下列命題的逆命題，并判定命題的真假：

(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

(3)磁懸浮列車是一種高速行駛時不接觸地面的交通工具.

探究新知

內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

高速行駛時不接觸地面的交通工具是磁懸浮列車.

真命題

真命題

真命題

假命題

歸納總結

每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題，同樣，每個假命題的逆命題也不一定是假命題.

寫出一個命題的逆命題的關鍵是分清它的條件和結論，然后將條件和結論互換.

探究新知

想一想：

你能根據(jù)已經(jīng)學過的定理和逆命題的定義類比出逆定理的定義嗎？

（一個命題經(jīng)證明是真命題，就可稱為定理.）

原定理和逆定理

如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫做互逆定理.

探究新知

做一做：

說出定理“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題.

解：這個定理的逆命題是:到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．下面給出證明.

已知：如圖，AB是一條線段，

P是一點，且PA=PB.

求證：點P在線段AB的垂直平分線上.

A

P

B

探究新知

已知：如圖，AB是一條線段，P是一點，且PA=PB.

求證：點P在線段AB的垂直平分線上.

分析：要證明點P在線段AB的垂直平分線上，可以過點P

作AB的垂線，然后證明它恰好平分線段AB.

A

P

B

已知：如圖，AB是一條線段，P是一點，且PA=PB.

求證：點P在線段AB的垂直平分線上.

A

P

B

證明：（1）當點P在線段AB上，結論顯然成立；

（2）當點P不在線段AB上時，作PO⊥AB于點O.

∵PA=PB，PO⊥AB，

∴OA=OB（等腰三角形三線合一）.

∴PO是AB的垂直平分線.

∴點P在線段AB的垂直平分線上.

O

概括

線段垂直平分線性質定理的逆定理

①文字語言：

到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.

②幾何語言：

∵PA=PB，

∴點P在AB的垂直平分線上．

P

A

B

C

典例精講

例1說出下列命題的逆命題，并判定是真命題還是假命題：

(1)同位角相等；

(2)長方形有兩條對稱軸.

解：

(1)的逆命題為：相等的兩個角為同位角，是假命題.

(2)的逆命題為：有兩條對稱軸的圖形為長方形，是假命題.

典例精講

例2下列定理中哪些有逆定理？如果有逆定理，說出它的逆定理.

(1)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

(2)對頂角相等；

(3)三角形的兩邊之和大于第三邊.

解：(2)(3)沒有逆定理，(1)有逆定理.

(1)的逆定理為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

典例精講

例3說出命題“兩個全等三角形的面積相等”的逆命題，判斷這個命題的真假，并給出證明.

解：逆命題是“如果兩個三角形的面積相等，那么這兩

個三角形全等”.

分析：說明一個命題是真命題需經(jīng)過證明，而說明一個命

題是假命題只需舉一個反例即可.

典例精講

解：逆命題是“如果兩個三角形的面積相等，那么這兩

個三角形全等”.

如圖，在△ABC和△ABE中，

CD、EF分別是△ABC和△ABE的AB邊上的高線，

且CD=EF，

則△ABC和△ABE的面積相等，

但顯然它們不全等.

所以這個逆命題是假命題.

這個命題是假命題.舉反例如下：

D

A

F

B

C

E

1.判斷下列說法是否正確？如果不正確，請說明理由.

(1)每個定理都有逆定理；

(2)每個命題都有逆命題；

(3)互逆命題同真同假；

(4)對頂角相等沒有逆定理.

每個定理不一定有逆定理，

只有定理的逆命題是真命題時才稱它為原定理的逆定理.

隨堂練習

每個真命題的逆命題不一定

是真命題，每個假命題的逆命題也不一定是假命題.

2.寫出下列各命題的逆命題，并判斷逆命題的真假：

(1)如果|a|=|b|，那么a=b；

(2)等邊三角形的三個角都是60°；

(3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0.

隨堂練習

逆命題：如果a=b，那么|a|=|b|.真命題

逆命題：三個角都是60°的三角形是等邊三角形.

真命題

逆命題：如果兩數(shù)和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù).

假命題

3.判斷下面兩個定理是否有逆定理，若有，請寫出它的逆定理，若沒有，說明理由．

(1)在一個三角形中，等角對等邊；

(2)四邊形的內(nèi)角和等于360°.

隨堂練習

解：

(1)有逆定理，逆定理為：在一個三角形中，等邊對等角．

(2)有逆定理，逆定理為：內(nèi)角和等于360°的多邊形是四

邊形．

3.求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點.

隨堂練習

已知：在△ABC中，PD，PE分別是AB，AC的垂直平分線，相交于點P.

求證：點P也在BC的垂直平分線上.

P

D

E

A

C

B

P

D

E

A

C

證明：

連結PA，PB，PC.

∵PD，PE分別是AB，AC的垂直平分線，

∴PA=PB，PA=PC

（線段垂直平分線上