數(shù)值分析 第三章 數(shù)據(jù)擬合

數(shù)值分析

NumericalAnalysis第三章數(shù)據(jù)擬合辦法鄭州大學(xué)碩士課程（2023-2023學(xué)年第一學(xué)期）

ISCM2023,BeijingChina11/41第三章數(shù)據(jù)擬合辦法

§3.1問題提出§3.2最小二乘法基本概念§3.3線性擬合辦法§3.4非線性曲線數(shù)據(jù)擬合

ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis2/41§3.1問題提出離散數(shù)據(jù)點插值：插值函數(shù)精確通過每一種數(shù)據(jù)點。

ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis3/41兩類實際情況:★離散數(shù)據(jù)點提出來自試驗，具有測量誤差，要求插值函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點反而會保存測量誤差影響?！?/p>

某些情況下需要找出反應(yīng)變量變化關(guān)系經(jīng)驗函數(shù)，而非精確通過關(guān)鍵點外形控制函數(shù)?！?.1問題提出ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis4/41

例3.1.1ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis5/41已知一組數(shù)據(jù)(xi,yi),y=f(xi)，i=1,2,…,m。f未知。構(gòu)造插值函數(shù)φ(x)來逼近f(x),則有

φ(xi)=f(xi)=yi,i=1,2,…,m或記Q=(φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)),Y=(y1,y2,…,ym),則有

Q=Y.

假如數(shù)據(jù)不能同步滿足某個特定函數(shù)，而要求所求逼近函數(shù)“最優(yōu)地”接近數(shù)據(jù)點，即向量Q與Y

誤差或距離最小。按Q與Y誤差最小標準作為最優(yōu)標準所構(gòu)造出函數(shù)，我們稱為擬合函數(shù)?！?.1問題提出ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis6/41定義Q與Y

之間距離：其中，R稱為均方誤差。

最小二乘法：按均方誤差達成極小構(gòu)造擬合曲線辦法。§3.1問題提出ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis7/41§3.2最小二乘法基本概念

構(gòu)造擬合曲線兩個問題：Q:從哪一類函數(shù)族里面選擇擬合曲線形式？A:根據(jù)問題實際背景，選擇逼近f(x)函數(shù)族。

ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis8/41數(shù)據(jù)擬合線性模型

(x)=a1

1(x)

+······+an

n(x)例如:[

1(x)

,···,

n(x)]=[1,x,···,xn-1][

1(x)

,···,

n(x)]=[1,cosx,···,cos(n-1)x]§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis9/41

Q：如何確定參數(shù)a1,a2,…,an以確定一條擬合曲線呢？A:按照在數(shù)據(jù)點處均方誤差最小標準。這種用求解誤差函數(shù)最小值問題來確定擬合參數(shù)辦法稱為數(shù)據(jù)擬合最小二乘法§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis10/41

§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis11/41

@最小二乘法歸結(jié)為求n個未知數(shù)線性代數(shù)方程組?！?.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis12/41

最小二乘法正規(guī)方程組（其解為駐點）§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis13/41引進矩陣和向量記號

§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis14/41

§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis15/41★以上正規(guī)方程組是否存在唯一解?★正規(guī)方程組解是最小二乘問題駐點，此駐點是否就是最小二乘問題解呢？§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis16/41

能夠證明,此解是最小二乘問題解.§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis17/41定理3.2.2§3.2最小二乘法基本概念I(lǐng)SCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis18/41

§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法已知數(shù)據(jù)表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym求擬合函數(shù):

(x)=a+bxa+bx1=y1a+bx2=y2··················a+bxm=ym

超定方程組ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis19/412-范數(shù)平方殘差:rk=(a+bxk)–yk(k=1,2,···,m)§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis20/41求a,b使S(a,b)=min§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis21/41§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis22/41方程組系數(shù)矩陣方程組右端項§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis23/41超定方程組:

AX=

正規(guī)方程組:

ATAX=AT

擬合曲線法方程(正規(guī)方程組)。解之得a，b。代入

(x)=a+bx,即得所求擬合曲線?！?.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis24/41例3.3.1

已知試驗數(shù)據(jù)如下,求線性擬合函數(shù)。

解:設(shè)擬合曲線方程為

(x)=a+bx

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis25/415a+15b=31.515a+55b=108a=2.25,b=1.35

ATAX=AT§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis26/41||r||2=0.7583殘差向量:

(1)－4=－0.40

(2)－4.5=0.45

(3)－6=0.30

(4)－8=－0.35

(5)－9=0

(x)=2.25+1.35x§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis27/41例3.3.2

求數(shù)據(jù)二次擬合函數(shù)P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

解:將數(shù)據(jù)點代入,得§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis28/41a0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis29/41a0=3,a1=0.7071,a2=0.1071§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis30/41得

P(x)=3+0.7071x+0.1071x2二次擬合誤差:||r||2=0.6437比較線性擬合誤差:

||r||2=0.7583§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis31/41§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法x0=0:0.1:1;y0=(x0.^2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0);p3=polyfit(x0,y0,3);vpa(poly2sym(p3),10)x=0:0.01:1;ya=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);y1=polyval(p3,x);subplot(2,1,1),plot(x,y1,x,ya,x0,y0,'o'),legend('三次擬合曲線','原函數(shù)曲線','樣本點')p4=polyfit(x0,y0,4);y4=polyval(p4,x);p5=polyfit(x0,y0,5);y5=polyval(p5,x);p8=polyfit(x0,y0,8);y8=polyval(p8,x);subplot(2,1,2),plot(x,y4,'x',x,y5,'-',x,y8,':',x,ya,'-')legend('四次擬合曲線','五次擬合曲線','八次擬合曲線','原函數(shù)曲線')vpa(poly2sym(p8),5)ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis32/41§3.3線性數(shù)據(jù)擬合辦法ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis33/41§3.4非線性曲線數(shù)據(jù)擬合問題提出：離散點圖呈非線性。ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis34/41假如非線性函數(shù)為

將給定數(shù)據(jù)(xi,yi)轉(zhuǎn)換為(ui,vi),求出a,b,再代回原變量y,x，可求得原非線性擬合曲線?！?.4非線性曲線數(shù)據(jù)擬合ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis35/41例3.4.1用給數(shù)據(jù)求經(jīng)驗公式：y=aebxx12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解線性化。對經(jīng)驗公式取自然對數(shù)

lny=lna+bx

令

u=lny，b0=lna，u=b0+bx

代入數(shù)據(jù)得矛盾方程組§3.4非線性曲線數(shù)據(jù)擬合ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023-2023學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis36/41由法方程ATAB=ATy，B=（b0,b),即∴a=e2.4369=11.4375.y=11.4375e0.2912x.ISCM2023,BeijingChina/41鄭州大學(xué)碩士2023