數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方程的定解問題市公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

想要探索自然界的奧秘就得解微分方程第二篇數(shù)學(xué)物理方程參照書：R.Haberman著，郇中丹等譯，《實(shí)用偏微分方程》（原書第四版），機(jī)械工業(yè)出版社，20232023/10/1011/77第七章數(shù)學(xué)物理方程的定解問題在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬?！绽?023/10/1022/77一、數(shù)學(xué)物理方程(泛定方程):物理規(guī)律數(shù)學(xué)表達(dá)

物理現(xiàn)象物理量u

在空間和時(shí)間中變化規(guī)律，即物理量u在各個(gè)地點(diǎn)和各個(gè)時(shí)刻所取值之間聯(lián)系。數(shù)學(xué)語言描述泛定方程反應(yīng)是同一類物理現(xiàn)象共性，和詳細(xì)條件無關(guān)。數(shù)學(xué)物理方程：從物理問題中導(dǎo)出函數(shù)方程，尤其是偏微分方程和積分方程。重點(diǎn)討論：二階線性偏微分方程。例：牛頓第二定律反應(yīng)是力學(xué)現(xiàn)象普遍規(guī)律，跟詳細(xì)條件無關(guān)。2023/10/1033/77三類典型數(shù)學(xué)物理方程三類典型數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程擴(kuò)散方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程2023/10/1044/7751邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件2歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一種物體做豎直上拋，一種物體斜拋。不一樣初始條件→不一樣運(yùn)動狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。三、定解問題

在給定邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知物理規(guī)律，在給定區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件總體。它反應(yīng)了問題特殊性，即個(gè)性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件方程稱為泛定方程。它反應(yīng)了問題共性。二、定解條件2023/10/105/776詳細(xì)問題求解一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律．2、根據(jù)已知系統(tǒng)邊界情況和初始情況列出邊界條件和初始條件——求解所必須已知條件．3、求解辦法——行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和變分法2023/10/106/777.1數(shù)學(xué)模型（泛定方程）建立建模步驟：（1）明確要研究物理量是什么？從所研究系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它互相作用。（2）研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？（3）按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。2023/10/1077/77

(一）均勻弦橫振動方程

現(xiàn)象描述（如圖）

：沿x軸繃緊均勻柔軟細(xì)弦，在平衡位置(x軸)附近產(chǎn)生振幅極小橫向振動

目標(biāo)：建立與細(xì)弦上各點(diǎn)振動規(guī)律對應(yīng)方程

設(shè)定:

(1)弦不振動時(shí)靜止于x軸;

(2)用u(x,t)表達(dá)t時(shí)刻弦上任一點(diǎn)x在垂直于x軸方向上橫向位移（偏離）情況弦橫振動2023/10/1088/77

選用不包括端點(diǎn)一微元[x,x+dx]弧B段作為研究對象.研究對象:(4)設(shè)單位長度上弦受力F(x,t)，線力密度為：假設(shè)與近似：(1)弦是柔軟(不抵抗彎曲),張力沿弦切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向夾角

1和

2

很小，僅考慮

1和

2一階小量，略去二階小量(3)弦重量與張力相比很小，能夠忽視質(zhì)量線密度

，u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxFB2023/10/1099/77B段弦原長近似為dx.振動拉伸后：u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxBFB段質(zhì)量：弦長dx

，質(zhì)量線密度

，則B段質(zhì)量

m=

dx物理規(guī)律：用牛頓運(yùn)動定律分析B段弦受力及運(yùn)動狀態(tài)：牛頓運(yùn)動定律：2023/10/101010/77①沿x-方向：弦橫向振動不出現(xiàn)x方向平移，得力平衡方程②沿垂直于x-軸方向：由牛頓運(yùn)動定律得運(yùn)動方程在微小振動近似下：由（1）式，弦中各點(diǎn)張力相等u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxBF（1）（2）2023/10/101111/77波動方程：波速a受迫振動方程單位質(zhì)量弦所受外力，線力密度令………一維波動方程2023/10/101212/77………一維波動方程------非齊次方程------齊次方程忽視重力和外力作用：如考慮弦重量：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向（1）（2）由于：因此有：討論：2023/10/101313/77（二）輸動問題--擴(kuò)散問題擴(kuò)散現(xiàn)象：系統(tǒng)濃度

不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處向低濃度處轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，稱之為擴(kuò)散。①擴(kuò)散定律即裴克定律：這是一條試驗(yàn)定律數(shù)學(xué)建模：建立空間各點(diǎn)濃度u(x,y,z,t)方程

物理規(guī)律：以擴(kuò)散定律和粒子數(shù)守恒定律為研究基礎(chǔ)②粒子數(shù)守恒定律：單位時(shí)間內(nèi)流入某一體積粒子數(shù)與流出這一體積粒子數(shù)之差等于此體積內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)粒子數(shù)增加量處理辦法：在濃度不均勻無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

2023/10/101414/77濃度不均勻:用濃度梯度

表達(dá)；擴(kuò)散流強(qiáng)弱（強(qiáng)度）：用單位時(shí)間通過單位面積物質(zhì)量表達(dá)；擴(kuò)散（裴克）試驗(yàn)定律：擴(kuò)散系數(shù)設(shè)定：處理辦法：在濃度不均勻無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

擴(kuò)散流強(qiáng)度與濃度梯度間關(guān)系：采取裴克試驗(yàn)定律確定體元Ｖ內(nèi)粒子數(shù)：2023/10/101515/77考查沿x-方向擴(kuò)散流情況：單位時(shí)間沿x-方向凈流入量同理沿y和沿z方向凈流入量由粒子數(shù)守恒定律，有負(fù)號表達(dá)擴(kuò)散方向與濃度梯度方向相反單位時(shí)間內(nèi)向V凈流入量下面由粒子數(shù)守恒定律建立V內(nèi)粒子數(shù)變化規(guī)律。單位時(shí)間內(nèi)V內(nèi)粒子數(shù)增加量2023/10/101616/77假如擴(kuò)散是均勻,即D是一常數(shù)，則能夠令D=a2，則有代入擴(kuò)散定律三維擴(kuò)散方程

假如所研究空間存在擴(kuò)散源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)無關(guān)，且為F(x,y,z),這時(shí)擴(kuò)散方程修改為假如所研究空間存在源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)這時(shí)擴(kuò)散方程修改為討論：2023/10/101717/77密度場：密度在空間分布組成一種標(biāo)量場。有擴(kuò)散源時(shí)系統(tǒng)密度場滿足非齊次擴(kuò)散方程穩(wěn)定狀態(tài)：密度u不隨時(shí)間變化，則泊松方程無擴(kuò)散源：

F=0拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:穩(wěn)定場問題2023/10/101818/77例1

熱傳導(dǎo)所要研究物理量：溫度物理規(guī)律：采取傅里葉試驗(yàn)定律熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。數(shù)學(xué)建模：傅里葉定律：溫度不均勻:用溫度梯度表達(dá)；傳熱強(qiáng)弱即熱流強(qiáng)度：用單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積熱量表達(dá)；設(shè)定：沿曲面法向流出熱量：熱傳導(dǎo)系數(shù)2023/10/101919/77②有限時(shí)間內(nèi)即時(shí)刻t1到t2通過閉曲面S流入V熱量為

高斯公式（矢量散度體積分等于該矢量對包圍該體積面積分）熱場處理辦法：在溫度不均勻無源空間，劃出任一封閉曲面S包圍體積元V（如圖）。①在S

上選用任一足夠小微面元dS，在此面元范圍內(nèi)熱流強(qiáng)度近似為常量。

那么在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V熱量為(向?yàn)檎?：2023/10/102020/77③流入熱量造成V內(nèi)溫度發(fā)生變化

流入熱量：

④溫度發(fā)生變化需要熱量(c比熱容，ρ質(zhì)量密度)：熱傳導(dǎo)方程熱場假如物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程總結(jié)：熱傳導(dǎo)：熱量傳遞；擴(kuò)散：粒子運(yùn)動，兩者本質(zhì)不一樣，但滿足同一微分方程2023/10/102121/77例2

靜電場電勢問題。介質(zhì)方程:其中:高斯定理:環(huán)路定理:

物理規(guī)律：由電磁學(xué)可知，靜電場滿足靜電學(xué)高斯定理、環(huán)路定理和介質(zhì)方程。數(shù)學(xué)建模：建立電勢u(x,y,z)與電荷密度ρ(x,y,z)關(guān)系。由電場高斯定理

物理問題：在介電常數(shù)為ε介質(zhì)空間，存在電荷分布ρ(x,y,z)?激發(fā)電場?形成電勢分布u(x,y,z)。2023/10/102222/77若空間無電荷，即電荷密度，上式成為稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.由電場環(huán)路定理，可知靜電場是一種保守場.由保守場性質(zhì)，引入電勢u,且電場是電勢梯度負(fù)值，即：深入對電場取散度，有：泊松方程設(shè)電勢為:u(x,y,z)。2023/10/102323/77§7.13.4.本講作業(yè)2023/10/102424/777.2定解條件

數(shù)學(xué)物理方程定解

在給定邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知物理規(guī)律，在給定區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。1數(shù)學(xué)物理方程：不帶有邊界和初始條件方程稱為泛定方程。它反應(yīng)了問題共性。2定解條件：邊界條件和初始條件總體。它反應(yīng)了問題特殊性，即個(gè)性。2023/10/102525/77初始時(shí)刻溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程初始條件A、波動方程初始條件——描述系統(tǒng)初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)初位移系統(tǒng)各點(diǎn)初速度（一）初始條件波動方程具有時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)，因此需二個(gè)初始條件熱傳導(dǎo)方程具有時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)，因此需一種初始條件此類導(dǎo)方程不含時(shí)間導(dǎo)數(shù)，因此不需要有初始條件2023/10/102626/77和

是空間坐標(biāo)函數(shù)注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量分布，而不是某一位置處情況。例１：一根長為l弦，兩端固定于0和l。在中點(diǎn)位置將弦沿著橫向拉開距離h

，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

l

x

l/2h解：初始時(shí)刻就是放手那一瞬間，弦形狀如圖所示,且弦處于靜止?fàn)顟B(tài)，即有方程初始位移··初始速度2023/10/102727/77（二）邊界條件定義：系統(tǒng)物理量在邊界上具有情況。

A.第一類（狄利克雷）邊界條件給出未知函數(shù)在邊界上函數(shù)值。例2：兩端固定弦振動時(shí)邊界條件：和常見線性邊界條件分為三類：2023/10/102828/77例3：細(xì)桿熱傳導(dǎo)細(xì)桿在x=l端溫度隨時(shí)間變化,設(shè)溫度變化規(guī)律為f(t),邊界數(shù)理方程細(xì)桿x=l端溫度處于恒溫狀態(tài),邊界數(shù)理方程第一類邊界條件基本形式：2023/10/102929/77B.第二類（諾伊曼）邊界條件例4：細(xì)桿熱傳導(dǎo)我們用傅里葉(熱傳導(dǎo))定律來建立邊界數(shù)學(xué)物理方程.

傅里葉試驗(yàn)定律:單位時(shí)間內(nèi),通過單位面積熱流為

給出未知函數(shù)在邊界上法線方向?qū)?shù)之值。第二類邊界條件基本形式：細(xì)桿x=a端點(diǎn)絕熱邊界條件：設(shè)細(xì)桿沿x軸方向,則一維傅里葉試驗(yàn)定律改寫為其中u是所在位置處物體k是傳熱系數(shù)。細(xì)桿x=a端點(diǎn)有熱流kf(t)流出邊界條件：2023/10/103030/77（3）.第三類（混合）邊界條件１牛頓冷卻定律：單位時(shí)間內(nèi)，通過物體單位表面流入周圍介質(zhì)熱流（即流出熱流）為式中u是物體表面溫度，

是周圍介質(zhì)溫度，h是熱交換系數(shù)。在一維情況下，牛頓冷卻定律簡化為２一維傅里葉試驗(yàn)定律先引入兩個(gè)基本物理定律：2023/10/103131/77例5：寫出導(dǎo)熱細(xì)桿l端“自由”冷卻邊界條件。根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，在

x=l

處：負(fù)x方向正x方向在x=0處：流出熱流強(qiáng)度由牛頓冷卻定律，此流出熱量與細(xì)桿和外界溫度差成正比，即即：討論：如圖情況x2023/10/103232/77例6：細(xì)桿縱振動：端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點(diǎn)這些是最常見線性邊界條件，尚有其他形式。（三）銜接條件

系統(tǒng)中也許出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化點(diǎn)(躍變點(diǎn))。如兩節(jié)具有不一樣楊氏模量細(xì)桿在

x=0

處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊物理過程因此不一樣。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然能夠是連續(xù)，這就組成銜接條件。第三類邊界條件基本形式：2023/10/103333/77這兩個(gè)等式就是組成兩段銜接是銜接條件。②折點(diǎn)處，橫向力應(yīng)與張力平衡：即

1

2①折點(diǎn)處位移極限值相同。弦在折點(diǎn)x0左右斜率不一樣。即斜率有躍變，則uxx在折點(diǎn)x0不存在，也即此點(diǎn)處弦振動方程不成立。只能把弦以x0為界分為二段。例7橫向力F(t)集中作用于弦上x0點(diǎn),使x0點(diǎn)成為折點(diǎn)（如圖）。但二段是同一根弦，它們間互相關(guān)連。因此要建立此關(guān)系：2023/10/103434/77例8

長為l弦在x=0端固定，另一端

x=l自由，且在初始時(shí)刻t=0時(shí)處于水平狀態(tài)，初始速度為x(l-x)，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題.[解]（1）確定泛定方程：取弦水平位置為軸，為原點(diǎn)，弦作自由（無外力）橫振動，因此泛定方程為齊次波動方程(2)確定邊界條件

對于弦固定端，顯然有u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0

另一端自由，意味著弦張力為零．則2023/10/103535/77(3)確定初始條件根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零

初始速度

綜上討論，故定解問題為2023/10/103636/77例9

在均勻靜電場E0

中置入半徑為R0

導(dǎo)體球，若導(dǎo)體

球接有穩(wěn)恒電池，使球與地保持電勢差u0

。試寫出電勢u滿足泛定方程與定解條件。

解：選z軸沿均勻外電場E0方向，見圖1。

0z(a)0Z(b)（圖1）2023/10/103737/77

設(shè)球內(nèi)外電勢分別用u0、u1

表達(dá)。（1）泛定方程。由于除球面上(R=R0)

有自由電荷分布外，球內(nèi)外ρf=0

，故（2）定解條件

給出球面與無限遠(yuǎn)最勢滿足規(guī)律。

球面處：球面上電勢連續(xù)，即有邊界條件

0z(a)0Z(b)（圖1）2023/10/103838/77

目前計(jì)算上式從

Ｒ＝０到∞

積分。由于在靜電場中，上式積分與積分路線無關(guān)，故可取積分路線l為直線，如圖(1)所示。將E０cosθ作為常數(shù)提出積分號外，并將u(R0)=u0

代入，便有邊界條件

無限遠(yuǎn)處：能夠把導(dǎo)體表面有限電荷分布產(chǎn)生電勢和電勢u0當(dāng)作點(diǎn)電荷和點(diǎn)電勢源,由于點(diǎn)電荷在無限遠(yuǎn)處奉獻(xiàn)能夠忽視不計(jì)，故可把目前問題簡化為點(diǎn)電勢在空間分布問題。對于點(diǎn)電勢，伴隨離開點(diǎn)勢源距離l增加,電勢是減少,由圖(1)可得2023/10/103939/77§7.21.3.5.7本講作業(yè)2023/10/104040/77(一)線性二階偏微分方程(1)

偏微分方程具有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；為偏導(dǎo)數(shù).有時(shí)為了書寫方便，一般記7.3數(shù)學(xué)物理方程分類*2023/10/104141/77(2)方程階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)稱為方程階．(3)方程次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)稱為偏微分方程次數(shù)．(4)線性方程一種偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)都是一次，就稱為線性方程，高于一次以上方程稱為非線性方程．(5)準(zhǔn)線性方程一種偏微分方程，假如僅對方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性，則稱方程為準(zhǔn)線性方程．(6)自由項(xiàng)在偏微分方程中，不具有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)．2023/10/104242/77（7）方程通解如：二階線性非齊次偏微分方程通解為其中是兩個(gè)獨(dú)立任意函數(shù)．若函數(shù)詳細(xì)形式給定，則得到方程特解。（8）方程特解方程解具有任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）2023/10/104343/771.二階線性偏微分方程一般形式a11,a12,a22,b1,b2,c,f

只是x,y

函數(shù)。f0

方程為齊次;不然,為非齊次.疊加原理定解問題解能夠看作幾個(gè)部分線性疊加，只要這些部分各自所滿足泛定方程和定解條件對應(yīng)線性疊加正好是本來泛定方程和定解條件。泛定方程、定解條件都是線性(二)二階線性偏微分方程分類2023/10/104444/772.二階偏微分方程化簡作變換：為使變換非奇異，其雅克比行列式滿足變換運(yùn)算有即2023/10/104545/77采取新變量后方程其中2023/10/104646/77注意A11和A22形式相同，ξ和η用z表達(dá)，假如則有（或）注意到二階線性偏微分方程特性方程特性方程根為：通過求解此微分方程能夠得到變換函數(shù)（特性線），從而線性偏微分方程得以簡化。2023/10/104747/77定義：1.當(dāng)鑒別式以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解

時(shí)，從特性方程可也就是說，偏微分方程(1)有兩條實(shí)特性線．于是取方程可化為：作為新自變量，此時(shí)有：2023/10/104848/77或者深入作變換于是有因此又能夠深入將方程化為形式．我們前面建立波動方程就屬于此類型．

這種類型方程稱為雙曲型方程，是雙曲型方程標(biāo)準(zhǔn)2023/10/104949/772．當(dāng)鑒別式時(shí)：這時(shí)方程重根特性線為一條實(shí)特性線作變換任意選用另一種變換，只要它和彼此獨(dú)立，即雅可比式2023/10/105050/77方程可化為：

此類方程稱為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類型．2023/10/105151/773.當(dāng)鑒別式面討論，只不過得到時(shí)：能夠反復(fù)上和是一對共軛復(fù)函數(shù)，或者說，兩條特性線是一對共軛復(fù)函數(shù)族:是一對共軛復(fù)變量．深入引進(jìn)兩個(gè)新實(shí)變量于是2023/10/105252/77因此

方程深入化為這種類型方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類型．2023/10/105353/77小結(jié)：

=a212

－a11a22鑒別式>0雙曲型

=0拋物線型

<0橢圓型波動方程（一維）例熱傳導(dǎo)方程（一維）拉普拉斯方程（二維）穩(wěn)定場方程波動方程熱傳導(dǎo)方程2023/10/105454/77

例9

判斷下面方程類型

解（1）由于鑒別式故方程為雙曲型故方程為橢圓型(1)(2)（2）由于鑒別式2023/10/105555/777.4達(dá)朗貝爾公式行波解這是一種類似于常微分方程方程求解辦法，這種辦法解波動方程基本思想是：先求出偏微分方程通解，然后用定解條件確定特解。

關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分齊次二階偏微分方程。（一）達(dá)朗貝爾公式思緒：2023/10/105656/77引入新變量：采取復(fù)合導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法類似地即：2023/10/105757/77(1)通解對積分：積分常數(shù)依賴于再積分：f2(x-at)

是以速度

a

沿

x

軸正方向運(yùn)動行波,f1(x+at)是以速度

a

沿

x

軸反方向運(yùn)動行波。2023/10/105858/77確定待定函數(shù)形式無限長，即無邊界條件設(shè)初始條件為和(2)達(dá)朗貝爾公式2023/10/105959/77設(shè)初速度為零由達(dá)朗貝爾公式x1x2t=0t1t2t3