拉普拉斯方程市公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

考慮界面張力熱力學(xué)基本方程熱力學(xué)第一、二定律考慮界面張力平衡準(zhǔn)則界面現(xiàn)象彎曲界面下附加壓力潤濕與鋪展分散度對蒸氣壓影響吸附平衡與動力學(xué)1/3115-4拉普拉斯方程2/31存在彎曲界面時力平衡條件拉普拉斯方程出發(fā)點(diǎn)：溫度和體積不變時，平衡態(tài)自由能達(dá)成極小，其數(shù)學(xué)體現(xiàn)式即式(2-117)：，用第一式，設(shè)a相體積變化了dV(a)。3/31分界面是半徑為r球外內(nèi)4/31理解一下：平面上光滑曲線曲率半徑平面曲線上某一點(diǎn)A曲率能夠這樣得到：過點(diǎn)A作垂直于曲線直線，從點(diǎn)A沿曲線越過ds長度，再作曲線垂線，兩根垂線交點(diǎn)就是與這段曲線等價圓圓心，半徑就是曲線在A點(diǎn)曲率半徑。AR5/31理解一下：光滑曲面曲率半徑光滑曲面上某一點(diǎn)A曲率半徑能夠這樣得到：過點(diǎn)A作曲面法線（垂直于曲面直線），過法線作一種平面與曲面相交（這樣平面一定在點(diǎn)A處與曲面垂直），兩個面交線是一根平面曲線，此交線在A處曲率半徑就是曲面在A點(diǎn)曲率半徑之一。曲面AA點(diǎn)處法線過法線平面曲面與平面交線6/31理解一下：光滑曲面曲率半徑曲面AA點(diǎn)處法線過法線平面曲面與平面交線過A點(diǎn)法線平面有沒有數(shù)多種，每個平面都與曲面有一種交線，每個交線在點(diǎn)A處都有一種曲率半徑，因此有無數(shù)多種曲率半徑。7/31無數(shù)多種曲率半徑中最大或最小都稱為主曲率半徑。包括最大曲率半徑平面一定與包括最小曲率半徑平面垂直。當(dāng)體系處于平衡態(tài)時，雖然曲率半徑能夠有沒有窮多種取值，不過，由兩個過法線且互相垂直平面與曲面相交取得兩個交線曲率半徑倒數(shù)之和是常數(shù)，因此一般就用兩個主曲率半徑，即最大和最小曲率半徑。r1所在平面與r2所在平面垂直，其倒數(shù)和為常數(shù)。8/31液體中半徑為r球形氣泡ba氣體中半徑為r球形液滴9/31氣體中球形氣泡abg氣泡外徑氣泡內(nèi)徑10/31例：玻璃管蘸肥皂水吹二分之一徑為1cm氣泡，計算泡內(nèi)外壓差。肥皂水

可取為0.0400N.m-1。解：11/31一種小孩吹肥皂泡，吹好后，一拿下來，泡就變小，最后消失。

肥皂泡是曲面，表面上有附加壓力，內(nèi)部壓力比空氣壓力略大。吹好后拿下來，吹管與空氣相通，泡內(nèi)壓力變小，因此肥皂泡也變小，直到消失。只有吹好后把吹管另一端堵住，才能使肥皂泡穩(wěn)定在吹管頭上。12/31aa’bb’毛細(xì)管上升或下降R很小時，曲面近似為部分球面q稱為接觸角，是氣液界面和液固界面夾角，由氣液固間界面張力決定。考慮附加壓力相稱于以為：彎液面上下壓差已經(jīng)由表面張力所平衡，這時不能再對彎液面進(jìn)行受力分析。13/31=毛細(xì)管上升或下降14/31毛細(xì)管上升或下降aa’bb’15/31Rh嚴(yán)格說彎液面不是球面，曲率半徑不是常數(shù)。取整個液柱分析其垂直方向上力：由表面張力引發(fā)管壁給液柱拉力、重力和空氣浮力（即空氣壓強(qiáng)影響）三力平衡。假如W’能夠忽視，就得到假定彎液面是部分球面時公式。圓柱型管中液柱上升或下降嚴(yán)格受力分析這段液柱又可分為兩段：以彎液面底端水平切面作為分界限比較：前面辦法假定液面是球面，曲率半徑為常數(shù)，表面張力作用簡化為兩相壓力差，并忽視彎液面附近液體壓差（W

引發(fā))，從而能夠使用流體靜力學(xué)對彎液面下方液柱進(jìn)行力分析。16/31從自由能角度看圓柱型管中液柱上升或下降出發(fā)點(diǎn)：溫度和體積不變時，平衡態(tài)自由能達(dá)成極小，其數(shù)學(xué)體現(xiàn)式即式(2-117)：，用第一式，設(shè)液柱高度上升了dh，自由能變化為下述變化之和：氣固界面能、液固界面能、彎液面勢能和液柱勢能。hdhR17/31“鋤禾日當(dāng)午”，農(nóng)民為何要冒著炎炎烈日終日鋤禾不止？“除草”《齊民要術(shù)》就尤其強(qiáng)調(diào)：“鋤不厭數(shù)，勿以無草而中綴”；就是說，鋤地是無論次數(shù)，沒有草也要鋤下去。這是為何呢？事實上，除草只是較為淺顯原因之一，鋤地關(guān)鍵是“松土保墑”?！皦劇?，指是土壤水分。

“保墑”，在古代文獻(xiàn)中也稱為“務(wù)澤”；“務(wù)澤”，就是“經(jīng)營水分”。

所謂經(jīng)營，就是通過深耕、細(xì)耙、勤鋤等伎倆來盡也許減少土壤水分無效蒸發(fā)，使盡也許多水分來滿足作物蒸騰。18/31

大雨過后，泥土潤濕，團(tuán)粒構(gòu)造受毛細(xì)壓力作用彼此靠緊，形成無數(shù)毛細(xì)管并彼此聯(lián)接，直通地面。地下水由于毛細(xì)作用順著毛細(xì)管上升，到地面蒸發(fā)，直致耗盡，莊稼就會枯死。因此，雨過天晴后，一定要把土地表面泥土鋤松，切斷與深層聯(lián)結(jié)毛細(xì)管。表層具有水分毛細(xì)管也分散在植物周圍，保持了土壤水分，使莊稼茂盛生長。19/31

松土保墑，一般在雨后土壤表面干燥到不泥濘時進(jìn)行。用鋤頭在土壤表面松出10厘米左右厚“暄土”，暄土不會開裂；暄土層與下層之間毛細(xì)管也被切斷了，不再能從下層取得水分，因此會迅速干燥成無水分可供蒸發(fā)“被子”，把下層水分牢牢地“捂”在土壤中。

農(nóng)諺“鋤板底下有水”、“鋤頭自有三寸澤”就是對松土保墑功能生動總結(jié)。20/31例：在玻璃管兩端有兩個半徑不一樣肥皂泡，若打開旋塞，使它們聯(lián)通，問兩泡大小將如何變化。最后達(dá)平衡時情況是如何？

21/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?b管：從自由能角度，利用自由能平衡判據(jù)(2-117)式，能夠證明，雖然傾斜了，但水仍能達(dá)到h’=h垂直高度，并不由于傾斜而有變化。22/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?c管：液面只能達(dá)成c管上端，決不會象噴泉同樣冒到h高度。頁面達(dá)到玻璃管頂后，液面變形，形狀與a不一樣，但仍保持下凹彎月面形狀，液面兩側(cè)存在壓差，使水柱升高。23/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?c管：24/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?d管：管道彎曲處低于h，則液面上升并達(dá)到管口，液面仍保持彎月面形狀，但向上凸，表面張力使水不被倒吸回管內(nèi)。液面不會下凹（力不平衡），更不會形成液滴滴下（第一類永動機(jī)）。25/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?d管：26/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?e管：液面只能達(dá)成內(nèi)徑變大部分下端，呈彎月面。因內(nèi)徑變大部分附加壓力極小，液面上不去。假如從上面加入純水，使膨大部分充滿液體，則液面能夠穩(wěn)定在h高度。27/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?f管：液面略低于水面，并且是凸面。由于水不能潤濕涂了石蠟玻璃，接觸角大于90°。28/31例：在純水中，插有內(nèi)徑相同a,b,c,d,e,f幾根玻璃毛細(xì)管和內(nèi)徑很大g管。將a垂直插入水中，管內(nèi)水面升高為h，彎月面半徑為r，b管很長但傾斜，c管長度是a管二分之一，d管上部彎曲，總高度是a管二分之一，e管中部有一種內(nèi)徑粗大部分，f管內(nèi)壁涂了石蠟，則其他幾管中水面上升高度及彎月面半徑將如何變化?g管：液面與水平面基本一致。由于半徑很大，附加壓力很小，液面上升高度小到幾乎觀測不到。29/31p(g)p(g)p(g)p(g)例：如圖所示兩根毛細(xì)管中分別裝有兩種不一樣液體，若在毛細(xì)管右端加熱，問液體將如何