2023-2024學年北師大版數學九年級上冊重點題型全歸納 1.1菱形的性質與判定【過關練習】含解析

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1.1菱形的性質與判定【過關練習】

學習目標

1.理解菱形的定義，探究歸納菱形的性質

2.掌握菱形的判定方法。

3.能運用菱形的性質和判定進行簡單的計算與證明

學習重點

理解菱形的定義，探究歸納菱形的性質，掌握菱形的判定方法。

一．選擇題

1．兩張全等的矩形紙片，按如圖方式交叉疊放在一起，，，若，，則圖中重疊（陰影）部分的面積為

A．2B．C．D．

2．如圖，過的對角線的中點作兩條互相垂直的直線，分別交，，，于，，，四點，連接，，，，下列結論正確的是

A．

B．

C．

D．四邊形是菱形

3．如圖，在菱形中，，，點、分別在邊、上，且，則的最小值是

A．2B．3C．D．

4．小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為圖1所示菱形，并測得，對角線，接著活動學具成為圖2所示正方形，則圖2中對角線的長為

A．B．C．D．

5．如圖，已知某廣場菱形花壇的周長是24米，，則花壇對角線的長等于米．

A．B．C．D．

6．如圖，線段與分別為的中位線與中線．在下列條件中，不能夠判定四邊形為菱形的是

A．B．C．D．

7．下列條件中，能判定平行四邊形是菱形的是

A．對角線互相垂直B．對角線相等

C．對角線互相平分D．有一個角是直角

8．如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，添加下列條件不能判定平行四邊形是菱形的是

A．B．C．D．

9．已知菱形的兩條對角線長分別是7和8，則菱形的面積是

A．56B．28C．15D．20

10．如圖，在菱形中，對角線、相交于點，點、分別是、的中點，連接、．若，，則的長為

A．B．C．D．3

二．填空題

11．如圖，四邊形是菱形，，，于點，是中點，連接，則的長為．

12．如圖，將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形，若，，則，兩點間的距離為．

13．如圖，菱形中，，，點是的中點，點在上，若，則線段的長為．

14．如圖，在菱形中，，點在上，，則．

15．如圖，在菱形中，，，點為線段上不與端點重合的一個動點．過點作直線、直線的垂線，垂足分別為點、點．連結，在點的運動過程中，的最小值等于．

16．如圖，菱形的對角線相交于點，于點，連接，，若，，則的長為．

17．如圖，是邊長為1的等邊三角形，，為線段上兩動點，且，過點，分別作，的平行線相交于點，分別交，于點，．現有以下結論：①；②當點與點重合時，；③；④當時，四邊形為菱形．則其中正確的結論的序號是．

18．已知菱形的邊長為8，其中一條對角線，則另一條對角線的長為．

三．解答題

19．如圖，的對角線，相交于點，且，，．

（1）求證：為菱形；

（2）過點作于點．求的長．

20．【問題原型】如圖，在平行四邊形中，對角線的垂直平分線交于點，交于點，交于點．求證：四邊形是菱形．

【甲同學的證法】：

證明：是的垂直平分線，

，（第一步），（第二步）

四邊形是平行四邊形．（第三步）

（第四步）

平行四邊形是菱形（第五步）

【老師評析】甲同學想先利用對角線互相平分證明四邊形是平行四邊形，再利用對角線互相垂直證明它是菱形，可惜有一步錯了．

【挑錯改錯】：

（1）甲同學的證明過程在第步出現了錯誤．

（2）請你根據甲同學的證題思路寫出此題的正確解答過程．

21．如圖，在中，是邊上一點，，延長交的延長線于點，過點作交的延長線于點．求證：四邊形是菱形．

22．如圖，在中，，分別是，的中點．

（1）求證：；

（2）連接，當線段與滿足什么條件時，四邊形是菱形？并說明理由．

23．如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求的長．

24．如圖，在中，對角線的垂直平分線分別交、于點、，點為垂足，連接，．求證：四邊形是菱形．

25．如圖，在平行四邊形中，點，分別為，邊上的點，，．求證：平行四邊形是菱形．

26．如圖，在平行四邊形中，平分．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接交于點，延長到點，在的內部作射線，使得，過點作于點．若，，求的度數及的長．

2023-2024學年北師大版數學九年級上冊重點題型全歸納

1.1菱形的性質與判定【過關練習】

學習目標

1.理解菱形的定義，探究歸納菱形的性質

2.掌握菱形的判定方法。

3.能運用菱形的性質和判定進行簡單的計算與證明

學習重點

理解菱形的定義，探究歸納菱形的性質，掌握菱形的判定方法。

一．選擇題

1．兩張全等的矩形紙片，按如圖方式交叉疊放在一起，，，若，，則圖中重疊（陰影）部分的面積為

A．2B．C．D．

【答案】

【分析】設交于點，交于點，先證明，則，由，得，則，所以，于是得到問題的答案．

【解答】解：設交于點，交于點，

矩形與矩形全等，

，，，，

，，

四邊形是平行四邊形，

在和中，

，

，

，

，且，

，

解得，

，

故選：．

2．如圖，過的對角線的中點作兩條互相垂直的直線，分別交，，，于，，，四點，連接，，，，下列結論正確的是

A．

B．

C．

D．四邊形是菱形

【答案】

【分析】由于，，，點不是定點，故可判斷；由于，，，點不一定是四邊中點，可得出不一定等于，故可判斷；，不一定是，邊中點，故可得不一定等于，故可判斷；連接，先根據證明，再根據可判斷．

【解答】解：，，，點不是定點，

不一定等于，故選項說法錯誤；

，，，點不一定是四邊中點，

不一定等于，故選項說法錯誤；

，不一定是，邊中點，故可得不一定等于，故選項說法錯誤；

連接，則，必過，

四邊形是平行四邊形，

，

，

在和中，

，

，

，

同理，

又，

四邊形是菱形，故正確，

故選：．

3．如圖，在菱形中，，，點、分別在邊、上，且，則的最小值是

A．2B．3C．D．

【答案】

【分析】連接，作于點，可證明和都是等邊三角形，則，，，根據勾股定理得，則的最小值是，再證明，得，，可推導出，則是等邊三角形，所以，則的最小值為，于是得到問題的答案．

【解答】解：連接，作于點，則，

四邊形是菱形，，，

，，

和都是等邊三角形，

，，，

，

，

，

的最小值是，

在和中，

，

，

，，

，

是等邊三角形，

，

的最小值為，

故選：．

4．小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為圖1所示菱形，并測得，對角線，接著活動學具成為圖2所示正方形，則圖2中對角線的長為

A．B．C．D．

【答案】

【分析】如圖1，圖2中，連接．在圖1中，證是等邊三角形，得出．在圖2中，由勾股定理求出即可．

【解答】解：如圖1，圖2中，連接．

圖1中，四邊形是菱形，

，

，

是等邊三角形，

，

在圖2中，四邊形是正方形，

，，

是等腰直角三角形，

；

故選：．

5．如圖，已知某廣場菱形花壇的周長是24米，，則花壇對角線的長等于米．

A．B．C．D．

【答案】

【分析】由四邊形是菱形，，得于點，，，則，，所以是等邊三角形，因為菱形的周長是24米，所以米，則米，米，由勾股定理求得米，則米，于是得到問題的答案．

【解答】解：四邊形是菱形，它的兩條對角線交于點，，

，于點，，，

，，

是等邊三角形，

菱形的周長是24米，

（米，

米，

（米，

（米，

（米，

花壇對角線的長等于米，

故選：．

6．如圖，線段與分別為的中位線與中線．在下列條件中，不能夠判定四邊形為菱形的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】菱形的判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，由此即可判斷．

【解答】解：與分別為的中位線與中線，

、、分別是、、的中點，

，是的中位線，

，，

四邊形是平行四邊形，

、，由、分別是、的中點，得到，因此四邊形是菱形，故不符合題意；

、，由是的中位線，得到，推出，因此四邊形是菱形，故不符合題意；

、，由，得到，推出，得到，因此四邊形是菱形，故不符合題意；

、，得不到四邊形是菱形，故符合題意．

故選：．

7．下列條件中，能判定平行四邊形是菱形的是

A．對角線互相垂直B．對角線相等

C．對角線互相平分D．有一個角是直角

【答案】

【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．

【解答】解：、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，說法正確，符合題意；

、對角線互相相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；

、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，說法錯誤，不符合題意；

、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；

故選：．

8．如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，添加下列條件不能判定平行四邊形是菱形的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】根據菱形的判定和矩形的判定對各個選項進行判斷即可．

【解答】解：、四邊形是平行四邊形，，

平行四邊形是菱形，故選項不符合題意；

、四邊形是平行四邊形，，

平行四邊形是菱形，故選項不符合題意；

、四邊形是平行四邊形，，

平行四邊形是矩形，故選項符合題意；

、四邊形是平行四邊形，

，

，

，

，

，

平行四邊形是菱形，故選項不符合題意；

故選：．

9．已知菱形的兩條對角線長分別是7和8，則菱形的面積是

A．56B．28C．15D．20

【答案】

【分析】由菱形的面積等于兩對角線長乘積的一半，即可計算．

【解答】解：菱形的兩條對角線長分別是7和8，

菱形的面積．

故選：．

10．如圖，在菱形中，對角線、相交于點，點、分別是、的中點，連接、．若，，則的長為

A．B．C．D．3

【答案】

【分析】根據菱形的性質和三角形中位線定理得出，進而利用勾股定理得出和即可．

【解答】解：四邊形是菱形，

，

點、分別是、的中點，

，，

，

在中，，

，

在中，，

，

故選：．

二．填空題

11．如圖，四邊形是菱形，，，于點，是中點，連接，則的長為．

【答案】．

【分析】連接，由菱形的性質及，，得，，，則，所以，而，則，因為是中點，所以，則，由，求得，，則，于是得到問題的答案．

【解答】解：連接，

四邊形是菱形，，，

，，，

，

，

于點，

，

，

是中點，

，

，

，

，

，

，

，

故答案為：．

12．如圖，將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形，若，，則，兩點間的距離為2．

【答案】2．

【分析】連接，證四邊形是菱形，得，再證是等邊三角形，得，即可得出結論．

【解答】解：如圖，連接，

將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形，

，四邊形是菱形，

，

是等邊三角形，

，

即，兩點間的距離為2，

故答案為：2．

13．如圖，菱形中，，，點是的中點，點在上，若，則線段的長為．

【答案】．

【分析】連接交于點，連接，由菱形的性質得，，，，因為，所以，則是等邊三角形，所以，，則，根據三角形的中位線定理得，，則，可求得，則，所以，于是得到問題的答案．

【解答】解：連接交于點，連接，

四邊形是菱形，，

，，，，

，

，

是等邊三角形，

，，

，

，

點是的中點，點是的中點，

，，

，

，

，

，

，

，

，

故答案為：．

14．如圖，在菱形中，，點在上，，則．

【答案】．

【分析】由菱形的性質可得，，，求出，，可得結論．

【解答】解：四邊形是菱形，

，，，，

，

，，

，

，

，

，

，

．

故答案為：．

15．如圖，在菱形中，，，點為線段上不與端點重合的一個動點．過點作直線、直線的垂線，垂足分別為點、點．連結，在點的運動過程中，的最小值等于7.8．

【答案】7.8．

【分析】連接交于點，連接，由菱形的性質和勾股定理得，再由三角形面積求出，即的值為定值4.8，然后得出當時，的最小值，即可解決問題．

【解答】解：如圖，連接交于點，連接，

四邊形是菱形，

，，，

在中，由勾股定理得：，

，

，，，

，

，

解得：，

即的值為定值4.8，

當最小時，有最小值，

當時，的最小值，

的最小值，

故答案為：7.8．

16．如圖，菱形的對角線相交于點，于點，連接，，若，，則的長為．

【答案】．

【分析】依據菱形的性質以及勾股定理，即可得到和的長；再根據菱形的面積，即可得到的長；再根據勾股定理進行計算，即可得到的長．

【解答】解：菱形的對角線相交于點，

是的中點，，

又于點，

中，，

，

中，，

，

，

，

中，，

故答案為：．

17．如圖，是邊長為1的等邊三角形，，為線段上兩動點，且，過點，分別作，的平行線相交于點，分別交，于點，．現有以下結論：①；②當點與點重合時，；③；④當時，四邊形為菱形．則其中正確的結論的序號是①②④．

【答案】①②④．

【分析】①利用三角形的面積公式計算即可；

②依題意畫出圖形，利用等邊三角形和平行線的性質求出即可；

③將繞點逆時針旋轉，得到，由“”可證，可得，在中，利用勾股定理可得，，的關系，可判斷③；

④先證，都是等邊三角形，可得，利用菱形的判定定理判定即可．

【解答】解：①過點作于點，如圖

是邊長為1的等邊三角形，，

，

，

．故①正確；

②當點與點重合時，，，三點重合，如圖

，，

是的平分線，

，

，

，

，

，

，

，

，

為等邊三角形，

，

即．故②正確；

③如圖3，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，過點作，交的延長線于，

，，，，

，

，

，

又，，

，

，

，

，，

，

，

，故③錯誤；

是等邊三角形，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，，

，，

，都是等邊三角形，

，，

，

，

，

是菱形，故④正確，

故答案為：①②④．

18．已知菱形的邊長為8，其中一條對角線，則另一條對角線的長為．

【答案】．

【分析】由菱形的性質推出，，，由勾股定理求出，即可得到．

【解答】解：四邊形是菱形，

，，，

，

，

，

，

．

故答案為：．

三．解答題

19．如圖，的對角線，相交于點，且，，．

（1）求證：為菱形；

（2）過點作于點．求的長．

【答案】（1）證明見解析；

（2）．

【分析】（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，則，再由菱形的判定即可得出結論；

（2）由菱形的性質得，，，再由菱形面積求出，然后由勾股定理即可得出結論．

【解答】（1）證明：，，，

，，

，

是直角三角形，，

，

為菱形；

（2）解：由（1）可知，為菱形，

，，，

，

，

即，

，

在中，由勾股定理得：．

20．【問題原型】如圖，在平行四邊形中，對角線的垂直平分線交于點，交于點，交于點．求證：四邊形是菱形．

【甲同學的證法】：

證明：是的垂直平分線，

，（第一步），（第二步）

四邊形是平行四邊形．（第三步）

（第四步）

平行四邊形是菱形（第五步）

【老師評析】甲同學想先利用對角線互相平分證明四邊形是平行四邊形，再利用對角線互相垂直證明它是菱形，可惜有一步錯了．

【挑錯改錯】：

（1）甲同學的證明過程在第二步出現了錯誤．

（2）請你根據甲同學的證題思路寫出此題的正確解答過程．

【答案】（1）二；

（2）證明見解析．

【分析】（1）由是對角線的垂直平分線得，，即可得出結論；

（2）證，得，再證四邊形是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結論．

【解答】（1）解：甲同學的證明過程在第二步出現了錯誤，

故答案為：二；

（2）證明：四邊形是平行四邊形，

．

，

是的垂直平分線，

，，

又，

，

，

又，

四邊形是平行四邊形．

．

平行四邊形是菱形．

21．如圖，在中，是邊上一點，，延長交的延長線于點，過點作交的延長線于點．求證：四邊形是菱形．

【答案】證明見解析．

【分析】先證四邊形是平行四邊形，再證，則，即可得出結論．

【解答】證明：四邊形是平行四邊形，

，，，

，

四邊形是平行四邊形，

，

，

，

，

，

，

，

平行四邊形是菱形．

22．如圖，在中，，分別是，的中點．

（1）求證：；

（2）連接，當線段與滿足什么條件時，四邊形是菱形？并說明理由．

【答案】（1）見解析；

（3）當時，四邊形是菱形，理由見解析．

【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到，，，求得，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）連接，交于，根據線段中點的定義得到，，根據平行四邊形的性質得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，根據菱形的判定定理即可得到結論．

【解答】（1）證明：在中，

，，，

又，分別是，的中點，

，

在與中，

，

；

（2）解：當時，四邊形是菱形，

理由：連接，交于，

，分別是，的中點，

，，

四邊形是平行四邊形，

，，

．，

四邊形是平行四