【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 25.3 解直角三角形 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)25.3解直角三角形同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·西山模擬）以下是某數(shù)學(xué)興趣小組開展的課外探究活動(dòng)，探究目的：測量小河兩岸的距離，探究過程：在河兩岸選取相對(duì)的兩點(diǎn)P、A，在小河邊取的垂線上的一點(diǎn)C，測得米，，則小河寬等于（）

A．米B．米C．米D．米

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：由題意得，

∵米，

∴PA=米，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)解直角三角形的知識(shí)即可直接求解。

2．（2023·富陽模擬）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，則tanA＝（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，

在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，

∴，

設(shè)AC=4x，則AB=5x，由勾股定理得BC=3x，

∴.

故答案為：B.

【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的定義得，設(shè)AC=4x，則AB=5x，由勾股定理得BC=3x，進(jìn)而再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出答案.

3．（2023·鹿城模擬）如圖是一款汽車千斤頂，其主要部件為四根連桿組成的菱形和螺旋桿，當(dāng)，時(shí)，A，C兩點(diǎn)的距離為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：連接AC交BD于O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴，且，，

則在中，，

∴，

故答案為：C.

【分析】連接AC交BD于O，由菱形的對(duì)角線互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函數(shù)定義得可求出AC的長.

4．（2023·文成模擬）一張小凳子的結(jié)構(gòu)如圖所示，，，，則等于（）.

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.

∵，

∴.

∵，，

∴，AB=2BD.

在中，，即，

∴，

∴.

故答案為：B.

【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由鄰補(bǔ)角定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的三線合一得∠2的度數(shù)及AB=2BD，在Rt△BCD中，利用∠2的余弦函數(shù)的定義可求出BD的長，從而即可求出AB的長.

5．（2023九上·寧波期末）如圖，在中，，，則的值為（）

A．2B．3C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：在中，，，

∴，

∴可設(shè)，則，

∴，

∴，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義得，設(shè)AC=x，則AB=3x，根據(jù)勾股定理表示出BC，進(jìn)而再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出答案.

6．（2023·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，連接OC，設(shè)OC1交BC于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，

∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，

又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，

∴四邊形OABF與OFCD都是矩形，

∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，

∴∠ABO=∠FOB，

由折疊得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，

∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，

∴，即，

解得AB=2，

∴OF=CD=2，

在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，

∴FC1=OC1-OF=，

設(shè)CE=C1E=x，則EF=4-x，

在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，

解得x=，

∴EF=，

∵點(diǎn)E在第三象限，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

故答案為：D.

【分析】連接OC，設(shè)OC1交BC于點(diǎn)F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四邊形OABF與OFCD都是矩形，由矩形的性質(zhì)得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行線的性質(zhì)得∠ABO=∠FOB，由折疊性質(zhì)得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，進(jìn)而根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定義，據(jù)此可求出AB的長，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，設(shè)CE=C1E=x，則EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)E所在的象限可得出點(diǎn)E的坐標(biāo).

7．（2023·杭州）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OB，∠ABC=90°，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠BAO=60°，

∴，

∴.

故答案為：D.

【分析】由矩形的性質(zhì)得OA=OB，∠ABC=90°，然后根據(jù)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形得△AOB是等邊三角形，則∠BAO=60°，進(jìn)而根據(jù)∠BAO的正切函數(shù)定義及特殊銳角三角函數(shù)值可求出的值，從而此題得解.

8．（2023·揚(yáng)州）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是（）

A．1B．2C．6D．8

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：作△ABC的高AD，CE，

∵△ABC是銳角三角形，

∴AD，CE在△ABC的內(nèi)部，BC＞BD，AB＞BE，

∵∠B=60°，AB=4，

∴BD=AB·cos∠B=4×cos60°=4×=2，

∴BC＞2，

在Rt△BCE中，

，

∴2＜BC＜8，

∴BC的長可以是6.

故答案為：C

【分析】作△ABC的高AD，CE，利用已知△ABC是銳角三角形，可得到AD，CE在△ABC的內(nèi)部，BC＞BD，AB＞BE，利用解直角三角形求出BD的長，可得到BC＞2，再利用解直角三角形可得到BC＜8，即可得到BC的取值范圍，觀察各選項(xiàng)可得答案.

二、填空題

9．（2023九上·扶溝期末）如圖，測得某醫(yī)院的自動(dòng)扶梯的長為m，自動(dòng)扶梯與地面所成的角為α，則該自動(dòng)扶梯到達(dá)的高度n為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：，

，

故答案為：.

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得，據(jù)此即可得出答案.

10．（2023·明水模擬）在中，，，，為中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)構(gòu)成的四邊形有一組鄰邊相等時(shí)，則的長可以是．

【答案】2或3或（其中一個(gè)即可）

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，

∴AB=2BC，

∴∠A=30°，

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴AD=CD=；

當(dāng)構(gòu)成的四邊形有一組鄰邊相等時(shí)，

當(dāng)BC=BE=2時(shí)，

∴AE=AB-BE=4-2=2；

當(dāng)CD=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∴CD=DE=AD=，

∴AF=EF=AE，

在Rt△ADF中，，

解之：

∴AE=2AF=3；

當(dāng)BE=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∴BF=AB-AF=，

設(shè)EF=x，則，

在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2即，

解之：

∴，

∴AE的長可以為2或3或

故答案為：2或3或

【分析】利用勾股定理求出AB的長，利用解直角三角形可得到∠A=30°，同時(shí)可求出AD的長；再分情況討論：當(dāng)BC=BE=2時(shí)，根據(jù)AE=AB-BE，代入計(jì)算求出AE的長；當(dāng)CD=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，可得到AD、AF的長，根據(jù)AE=2AF，可求出AE的長；當(dāng)BE=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，可得到BF的長，設(shè)EF=x，可表示出BE的長，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的長，即可求解.

11．（2023·濟(jì)寧）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AH⊥CB于點(diǎn)H，如圖所示：

∵△ABC為等邊三角形，且邊長為6，

∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，

∴∠HAB=30°，

∴∠HAD+∠DAB=30°，

∵，

∴∠CAE+∠DAB=30°，

∴∠CAE=∠DAH，

∴

∵BH=3，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案為：

【分析】過點(diǎn)A作AH⊥CB于點(diǎn)H，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，進(jìn)而根據(jù)題意即可得到∠HAB=30°，從而證明∠CAE=∠DAH，再運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)求出DH即可求解。

12．（2023·武漢）如圖，將的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為cm

（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】2.7

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，

∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，

∴四邊形BDEC是矩形，

∴BD=EC，

在Rt△BOD中，∠BOD=45°，

由題意可知CE=BD=2，

在Rt△OCE中，∠COE=37°，

即，

解之：OE=2.7，

∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為2.7cm.

故答案為：2.7

【分析】過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，易證四邊形BDEC是矩形，利用矩形的性質(zhì)可得到BD=EC；利用已知可得到CE的長，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的長即可.

13．（2023·石家莊月考）如圖，在等腰直角三角形中，，，于點(diǎn)，中線與相交于點(diǎn)，則

（1）的值為；

（2）．

【答案】（1）

（2）

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：（1）如圖所示：過點(diǎn)E作EM//AB交OC于點(diǎn)M，

∵中線AE與CO相交于點(diǎn)F，

∴

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OA=OB，

∵EM//AB，

∴∠B=∠MEC，∠BOC=∠EMC，

∴△OCE△CBO，

∴，

同理可得：，

∵OA=OB，

∴，

故答案為：.

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，

∴OC是△ABC斜邊AB上的中線，

∴OA=OC，

∵AE是△ABC的中線，

∴點(diǎn)F是△ABC的重心，

∴，

∴tan∠OAF=，

故答案為：.

【分析】（1）根據(jù)題意先求出，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算求解即可；

（2）根據(jù)題意先求出OC是△ABC斜邊AB上的中線，再求出點(diǎn)F是△ABC的重心，最后利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。

三、解答題

14．（2023·吉林）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測量校園內(nèi)一棵古樹的高度，王朵同學(xué)帶領(lǐng)小組成員進(jìn)行此項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：

填寫人：王朵綜合實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告時(shí)間：2023年4月20日

活動(dòng)任務(wù)：測量古樹高度

活動(dòng)過程

【步驟一】設(shè)計(jì)測量方案小組成員討論后，畫出如圖①的測量草圖，確定需測的幾何量．

【步驟二】準(zhǔn)備測量工具自制測角儀，把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)小重物，制成一個(gè)簡單的測角儀，利用它可以測量仰角或俯角，如圖②所示準(zhǔn)備皮尺．

【步驟三】實(shí)地測量并記錄數(shù)據(jù)如圖③，王朵同學(xué)站在離古樹一定距離的地方，將這個(gè)儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)古樹的最高點(diǎn)．如圖④，利用測角儀，測量后計(jì)算得出仰角．測出眼睛到地面的距離．測出所站地方到古樹底部的距離．．．．

【步驟四】計(jì)算古樹高度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）

請(qǐng)結(jié)合圖①、圖④和相關(guān)數(shù)據(jù)寫出的度數(shù)并完成【步驟四】．

【答案】解：測角儀顯示的度數(shù)為，∴，

∵，，，

∴，

∴四邊形是矩形，，

在中，，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【分析】先根據(jù)題意即可得到，進(jìn)而得到四邊形是矩形，，，再結(jié)合解直角三角形的知識(shí)即可求出CE，進(jìn)而結(jié)合題意求解。

15．（2023八下·東麗期中）在中，，，，求的長．

【答案】解：過點(diǎn)作，

，

，

，

，

，

，

，

．

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【分析】過點(diǎn)作，易得△BDC為等腰直角三角形，可得BD=BC=4，根據(jù)tanA=可求出AD的長，利用AB=AD+BD即可求解.

四、作圖題

16．（2023·廣東）如圖，在中，．

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)作邊上的高；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，，，求的長．

【答案】（1）解：依題意作圖如下，則即為所求作的高：

（2）∵，，是邊上的高，

∴，即，

∴．

又∵，

∴，

即的長為．

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形；作圖-垂線

【解析】【分析】（1）利用過一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法，利用尺規(guī)作圖作出AB邊上的高.

（2）利用解直角三角形求出AE的長，根據(jù)BE=AB-AE，代入計(jì)算求出BE的長.

五、綜合題

17．（2023·蘭州）如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，直線是線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)F，G，連接．

（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（2）當(dāng)時(shí)，求的長．

【答案】（1）證明：四邊形是菱形，理由如下，

∵矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，

∴，

∵直線是線段的垂直平分線，

∴，，

∴，即是等邊三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∴四邊形是菱形；

（2）解：∵直線是線段的垂直平分線，且，

∴，，

由（1）得四邊形是菱形，

∴，

在中，，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【分析】（1）四邊形是菱形，理由如下：先根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，即是等邊三角形，從而根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到，，再證明是等邊三角形即可得到，最后運(yùn)用菱形的判定即可求解；

（2）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到，，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)即可得到FG，進(jìn)而根據(jù)即可求解。

18．（2023·日照）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，且．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，求四邊形的面積．

【答案】（1）證明：如圖所示，連接與交于O，

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴平行四邊形是菱形；

（2）解：∵四邊形是菱形，

∴，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴（負(fù)值舍去），

∴，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【分析】（1）連接與交于O，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明即可得到，再證明即可得到，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定即可求解；

（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到，進(jìn)而根據(jù)解直角三角形的知識(shí)即可得到，再運(yùn)用勾股定理即可求出OA，進(jìn)而即可求出AC和BD，從而根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求解。

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)25.3解直角三角形同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·西山模擬）以下是某數(shù)學(xué)興趣小組開展的課外探究活動(dòng)，探究目的：測量小河兩岸的距離，探究過程：在河兩岸選取相對(duì)的兩點(diǎn)P、A，在小河邊取的垂線上的一點(diǎn)C，測得米，，則小河寬等于（）

A．米B．米C．米D．米

2．（2023·富陽模擬）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，則tanA＝（）

A．B．C．D．

3．（2023·鹿城模擬）如圖是一款汽車千斤頂，其主要部件為四根連桿組成的菱形和螺旋桿，當(dāng)，時(shí)，A，C兩點(diǎn)的距離為（）

A．B．C．D．

4．（2023·文成模擬）一張小凳子的結(jié)構(gòu)如圖所示，，，，則等于（）.

A．B．C．D．

5．（2023九上·寧波期末）如圖，在中，，，則的值為（）

A．2B．3C．D．

6．（2023·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

7．（2023·杭州）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則（）

A．B．C．D．

8．（2023·揚(yáng)州）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是（）

A．1B．2C．6D．8

二、填空題

9．（2023九上·扶溝期末）如圖，測得某醫(yī)院的自動(dòng)扶梯的長為m，自動(dòng)扶梯與地面所成的角為α，則該自動(dòng)扶梯到達(dá)的高度n為.

10．（2023·明水模擬）在中，，，，為中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)構(gòu)成的四邊形有一組鄰邊相等時(shí)，則的長可以是．

11．（2023·濟(jì)寧）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則．

12．（2023·武漢）如圖，將的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為cm

（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：，，）

13．（2023·石家莊月考）如圖，在等腰直角三角形中，，，于點(diǎn)，中線與相交于點(diǎn)，則

（1）的值為；

（2）．

三、解答題

14．（2023·吉林）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測量校園內(nèi)一棵古樹的高度，王朵同學(xué)帶領(lǐng)小組成員進(jìn)行此項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：

填寫人：王朵綜合實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告時(shí)間：2023年4月20日

活動(dòng)任務(wù)：測量古樹高度

活動(dòng)過程

【步驟一】設(shè)計(jì)測量方案小組成員討論后，畫出如圖①的測量草圖，確定需測的幾何量．

【步驟二】準(zhǔn)備測量工具自制測角儀，把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)小重物，制成一個(gè)簡單的測角儀，利用它可以測量仰角或俯角，如圖②所示準(zhǔn)備皮尺．

【步驟三】實(shí)地測量并記錄數(shù)據(jù)如圖③，王朵同學(xué)站在離古樹一定距離的地方，將這個(gè)儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)古樹的最高點(diǎn)．如圖④，利用測角儀，測量后計(jì)算得出仰角．測出眼睛到地面的距離．測出所站地方到古樹底部的距離．．．．

【步驟四】計(jì)算古樹高度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）

請(qǐng)結(jié)合圖①、圖④和相關(guān)數(shù)據(jù)寫出的度數(shù)并完成【步驟四】．

15．（2023八下·東麗期中）在中，，，，求的長．

四、作圖題

16．（2023·廣東）如圖，在中，．

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)作邊上的高；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，，，求的長．

五、綜合題

17．（2023·蘭州）如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，直線是線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)F，G，連接．

（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（2）當(dāng)時(shí)，求的長．

18．（2023·日照）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，且．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，求四邊形的面積．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：由題意得，

∵米，

∴PA=米，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)解直角三角形的知識(shí)即可直接求解。

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，

在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，

∴，

設(shè)AC=4x，則AB=5x，由勾股定理得BC=3x，

∴.

故答案為：B.

【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的定義得，設(shè)AC=4x，則AB=5x，由勾股定理得BC=3x，進(jìn)而再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出答案.

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：連接AC交BD于O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴，且，，

則在中，，

∴，

故答案為：C.

【分析】連接AC交BD于O，由菱形的對(duì)角線互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函數(shù)定義得可求出AC的長.

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.

∵，

∴.

∵，，

∴，AB=2BD.

在中，，即，

∴，

∴.

故答案為：B.

【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由鄰補(bǔ)角定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的三線合一得∠2的度數(shù)及AB=2BD，在Rt△BCD中，利用∠2的余弦函數(shù)的定義可求出BD的長，從而即可求出AB的長.

5．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：在中，，，

∴，

∴可設(shè)，則，

∴，

∴，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義得，設(shè)AC=x，則AB=3x，根據(jù)勾股定理表示出BC，進(jìn)而再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出答案.

6．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，連接OC，設(shè)OC1交BC于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，

∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，

又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，

∴四邊形OABF與OFCD都是矩形，

∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，

∴∠ABO=∠FOB，

由折疊得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，

∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，

∴，即，

解得AB=2，

∴OF=CD=2，

在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，

∴FC1=OC1-OF=，

設(shè)CE=C1E=x，則EF=4-x，

在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，

解得x=，

∴EF=，

∵點(diǎn)E在第三象限，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

故答案為：D.

【分析】連接OC，設(shè)OC1交BC于點(diǎn)F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四邊形OABF與OFCD都是矩形，由矩形的性質(zhì)得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行線的性質(zhì)得∠ABO=∠FOB，由折疊性質(zhì)得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，進(jìn)而根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定義，據(jù)此可求出AB的長，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，設(shè)CE=C1E=x，則EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)E所在的象限可得出點(diǎn)E的坐標(biāo).

7．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OB，∠ABC=90°，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠BAO=60°，

∴，

∴.

故答案為：D.

【分析】由矩形的性質(zhì)得OA=OB，∠ABC=90°，然后根據(jù)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形得△AOB是等邊三角形，則∠BAO=60°，進(jìn)而根據(jù)∠BAO的正切函數(shù)定義及特殊銳角三角函數(shù)值可求出的值，從而此題得解.

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：作△ABC的高AD，CE，

∵△ABC是銳角三角形，

∴AD，CE在△ABC的內(nèi)部，BC＞BD，AB＞BE，

∵∠B=60°，AB=4，

∴BD=AB·cos∠B=4×cos60°=4×=2，

∴BC＞2，

在Rt△BCE中，

，

∴2＜BC＜8，

∴BC的長可以是6.

故答案為：C

【分析】作△ABC的高AD，CE，利用已知△ABC是銳角三角形，可得到AD，CE在△ABC的內(nèi)部，BC＞BD，AB＞BE，利用解直角三角形求出BD的長，可得到BC＞2，再利用解直角三角形可得到BC＜8，即可得到BC的取值范圍，觀察各選項(xiàng)可得答案.

9．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形

【解析】【解答】解：，

，

故答案為：.

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得，據(jù)此即可得出答案.

10．【答案】2或3或（其中一個(gè)即可）

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，

∴AB=2BC，

∴∠A=30°，

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴AD=CD=；

當(dāng)構(gòu)成的四邊形有一組鄰邊相等時(shí)，

當(dāng)BC=BE=2時(shí)，

∴AE=AB-BE=4-2=2；

當(dāng)CD=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∴CD=DE=AD=，

∴AF=EF=AE，

在Rt△ADF中，，

解之：

∴AE=2AF=3；

當(dāng)BE=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∴BF=AB-AF=，

設(shè)EF=x，則，

在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2即，

解之：

∴，

∴AE的長可以為2或3或

故答案為：2或3或

【分析】利用勾股定理求出AB的長，利用解直角三角形可得到∠A=30°，同時(shí)可求出AD的長；再分情況討論：當(dāng)BC=BE=2時(shí)，根據(jù)AE=AB-BE，代入計(jì)算求出AE的長；當(dāng)CD=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，可得到AD、AF的長，根據(jù)AE=2AF，可求出AE的長；當(dāng)BE=DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，可得到BF的長，設(shè)EF=x，可表示出BE的長，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AE的長，即可求解.

11．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AH⊥CB于點(diǎn)H，如圖所示：

∵△ABC為等邊三角形，且邊長為6，

∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，

∴∠HAB=30°，

∴∠HAD+∠DAB=30°，

∵，

∴∠CAE+∠DAB=30°，

∴∠CAE=∠DAH，

∴

∵BH=3，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案為：

【分析】過點(diǎn)A作AH⊥CB于點(diǎn)H，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，進(jìn)而根據(jù)題意即可得到∠HAB=30°，從而證明∠CAE=∠DAH，再運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)求出DH即可求解。

12．【答案】2.7

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，

∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，

∴四邊形BDEC是矩形，

∴BD=EC，

在Rt△BOD中，∠BOD=45°，

由題意可知CE=BD=2，

在Rt△OCE中，∠COE=37°，

即，

解之：OE=2.7，

∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為2.7cm.

故答案為：2.7

【分析】過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，易證四邊形BDEC是矩形，利用矩形的性質(zhì)可得到BD=EC；利用已知可得到CE的長，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的長即可.

13．【答案】（1）

（2）

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：（1）如圖所示：過點(diǎn)E作EM//AB交OC于點(diǎn)M，

∵中線AE與CO相交于點(diǎn)F，

∴

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OA=OB，

∵EM//AB，

∴∠B=∠MEC，∠BOC=∠EMC，

∴△OCE△CBO，

∴，

同理可得：，

∵OA=OB，

∴，

故答案為：.

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，

∴OC是△ABC斜邊AB上的中線，

∴OA=