北師版選擇性必修·第二冊1.3等比數(shù)列 課件4份打包

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第2課時等比數(shù)列的概念及其通項公式(二)

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點等比中項

如果在a與b之間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成________數(shù)列，那么稱G＝________為a，b的等比中項．

等比

±

狀元隨筆(1)若G是a與b的等比中項，則＝，所以G2＝ab，G＝±.

(2)等比中項與“任意兩個實數(shù)a，b都有唯一的等差中項A＝”不同，只有當a、b同號時a、b才有等比中項，并且有兩個等比中項，分別是與－；當a，b異號時沒有等比中項．

(3)在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項．

[基礎自測]

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)若G是a與b的等比中項，則G＝.()

(2)若a，G，b滿足G2＝ab，則a，G，b一定是等比數(shù)列．()

(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列．()

(4)等比數(shù)列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比數(shù)列．()

×

×

×

√

2．若三個正數(shù)1，b，16成等比數(shù)列，則b的值為()

A．－4B．4

C．8D．±4

答案：B

解析：由等比中項知b2＝16，又b>0，∴b＝4.

故選B.

3．在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，則a2a6的值為()

A．4B．8

C．36D．32

答案：C

解析：∵{an}是等比數(shù)列，∴a2a6＝＝36.

故選C.

4．若三個數(shù)3－，x，3＋成等比數(shù)列，則x＝________.

±2

解析：由等比中項知：x2＝(3－)(3＋)＝4.

∴x＝±2.

題型探究·課堂解透

題型一等比中項

例1(1)(多選題)等比數(shù)列{an}中，a1＝，q＝2，則a4與a8的等比中項可能是()

A．－B．

C．－4D．4

答案：CD

解析：由題意知an＝·2n－1＝2n－4>0

∴a4＝1，a8＝16

∴a4·a8＝16

∴a4與a8的等比中項是±4.

故選CD.

(2)在兩個數(shù)a，b(ab>0)之間插入三個數(shù)，使它們成等比數(shù)列，則正中間的一個數(shù)是____________．

或－

解析：由題意知，所求的中間項是a與b的等比中項，

設此數(shù)為G，則G2＝ab，故G＝±.

方法歸納

應用等比中項解題策略

(1)如果出現(xiàn)等比數(shù)列兩項的乘積時，就要注意考慮是否能轉(zhuǎn)化為等比中項表示；

(2)等比中項一般不唯一，但是如果在等比數(shù)列中，還要考慮與項的關系，如a4是a2，a6的等比中項，而a4＝a2q2，因此a4與a2的符號相同．

跟蹤訓練1如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()

A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9

答案：B

解析：∵－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，

∴b2＝(－1)×(－9)＝9

∵b0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

解析：(1)在等比數(shù)列{an}中，因為a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a5＝.

(2)根據(jù)等比中項，化簡條件得

＝25，即(a3＋a5)2＝25，

∵an>0，∴a3＋a5＝5.

(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)

＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]

＝log395＝10.

方法歸納

運用等比數(shù)列性質(zhì)計算的策略

運用等比數(shù)列的性質(zhì)，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，則aman＝apaq；特別地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)則＝”，這樣大大的簡化了運算，因此在解決數(shù)列問題時，首先要有運用數(shù)列性質(zhì)的意識，然后仔細觀察各項序號之間的關系，以尋求滿足數(shù)列性質(zhì)的條件．

跟蹤訓練2(1)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a3＝3，a11＝27，求a7.

(2)已知{an}為等比數(shù)列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.

解析：(1)法一：相除得q8＝9.

所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.

法二：因為＝a3a11＝81，所以a7＝±9，

又因為a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.

(2)因為a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，

所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.

所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.

題型三等比數(shù)列的實際應用

例3某人買了一輛價值10萬元的新車，專家預測這種車每年按10%的速度貶值．

(1)用一個式子表示第n(n∈N＋)年這輛車的價值；

(2)如果他打算用滿3年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？

解析：(1)從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設為：a1，a2，a3，…，an，

由題意得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，

a3＝10(1－10%)2，….

由等比數(shù)列定義知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，

所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.

所以第n年車的價值為an＝10×0.9n－1萬元．

(2)當他用滿3年時，車的價值為a4＝10×0.94－1

＝7.29(萬元)．

所以用滿3年賣掉時，他大概能得7.29萬元．

方法歸納

等比數(shù)列應用題的兩種常見類型

(1)數(shù)學應用問題：解答數(shù)學應用題的核心是建立數(shù)學模型，如有關平均增長率、利率(復利)以及數(shù)值增減等實際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學模型．

(2)增長率問題：需要構建的是等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的通項公式解決．

跟蹤訓練3一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒開始時占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機后________分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB＝210KB)．

45

解析：由題意可得每3分鐘病毒占據(jù)的內(nèi)存容量構成一個等比數(shù)列，令病毒占據(jù)64MB時自身復制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，從而復制的時間為15×3＝45分鐘．

易錯辨析忽略等比數(shù)列各項的符號規(guī)律致錯

例4在等比數(shù)列{an}中，a5＝1，a9＝81，則a7＝()

A．9或－9B．9

C．27或－27D．－27

答案：B

解析：由等比中項的性質(zhì)得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比數(shù)列中的奇數(shù)項的符號相同，所以a7＝9，故選B.

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

沒有弄清等比數(shù)列各項的符號規(guī)律，直接由等比中項得a7＝±9，錯選A.在等比數(shù)列中，奇數(shù)項的符號相同，偶數(shù)項的符號相同．解此類題時要小心謹慎，以防上當．

[課堂十分鐘]

1．在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝18，則a5為()

A．4B．6

C．±6D．±4

答案：B

解析：∵等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝18，

a3a7，a5

故選B.

2．已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，a3＝，則a5等于()

A．±B．－

C．D．±

解析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5＝.故選C.

答案：C

3．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a40a50a60的值為()

A．32B．64

C．256D．±64

答案：B

解析：由題意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故選B.

4．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11的值為________.

25

解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.

5．已知等比數(shù)列的前三項和為168，a2－a5＝42，求a5與a7的等比中項．

解析：設該等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，

因為a2－a5＝42，所以q≠1，

由已知得，所以

因為1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，所以由②除以①，得q(1－q)＝.

所以q＝.所以a1＝＝96.

若G是a5，a7的等比中項，則應有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9，

所以a5與a7的等比中項為±3.(共34張PPT)

第1課時等比數(shù)列的概念及其通項公式(一)

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點一等比數(shù)列的概念

文字語言如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值都是同一個常數(shù)，那么稱這樣的數(shù)列為等比數(shù)列，稱這個常數(shù)為等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)

符號語言若＝q(n≥2，q是常數(shù)且q≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列

狀元隨筆

(1)由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列除末項外的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此公比也不為0，由此可知，若數(shù)列中有“0”項存在，則該數(shù)列不可能是等比數(shù)列．

(2)“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”，同時注意公比是每一項與其前一項之比，前后次序不能顛倒．

(3)定義中的“同一個常數(shù)”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略．

要點二等比數(shù)列的通項公式

若首項是a1，公比是q，則等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝________(a1≠0，q≠0)．

狀元隨筆(1)已知首項a1和公比q，可以確定一個等比數(shù)列．

(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四個量，已知其中任意三個量，可以求得第四個量，其中a1，q為兩個基本量．

(3)對于等比數(shù)列{an}，若q0，則數(shù)列{an}各項同號．從而等比數(shù)列奇數(shù)項必同號；偶數(shù)項也同號．

a1qn－1

[基礎自測]

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列．()

(2)數(shù)列－1，1，1，－1，…是等比數(shù)列．()

(3)等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零．()

(4)常數(shù)列一定為等比數(shù)列．()

×

×

×

×

2．(多選題)下列數(shù)列不是等比數(shù)列的是()

A．2，22，3×22，…

B．，…

C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…

D．0，0，0，…

答案：ACD

解析：≠，A不是等比數(shù)列；＝＝…，B是等比數(shù)列；當s＝1時，不是等比數(shù)列；當s≠1時，是等比數(shù)列，所以C不是等比數(shù)列；D顯然不是等比數(shù)列．故選ACD.

3．已知{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a4＝2，則a3＝()

A．±2B．2

C．－2D．4

答案：B

解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則有1×q3＝2＝()3，

∴q＝，∴a3＝＝2，故選B.

4．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，則an＝__________．

－2n或(－2)n

解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.

題型探究·課堂解透

題型一等比數(shù)列的基本運算

例1在等比數(shù)列{an}中

(1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

解析：(1)因為所以

由得q3＝4，從而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.

(2)方法一：由已知可得

由得q＝，從而a1＝32.

又因為an＝1，所以32×＝1，

即26－n＝20，所以n＝6.

方法二：因為a3＋a6＝q(a2＋a5)，

所以q＝.

由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.

由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.

狀元隨筆

(1)由＝q3便可求出q，再求出a1，則an＝a1qn－1

(2)兩個條件列出關于a1，q的方程組，求出a1，q后再由an＝1求n；也可以直接先由q＝入手．

方法歸納

等比數(shù)列通項公式的求法

(1)根據(jù)已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．

(2)充分利用各項之間的關系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．

跟蹤訓練1(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q等于()

A．－2B．1或－2

C．1D．1或2

答案：B

解析：a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，

即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2，故選B.

(2)在等比數(shù)列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，則a2等于()

A．12B．18

C．24D．36

答案：B

解析：設公比為q，

由已知得6＋6q＋6q2＝78，

即q2＋q－12＝0

解得q＝3或q＝－4(舍去)．

∴a2＝6q＝6×3＝18.故選B.

題型二等比數(shù)列與函數(shù)

例2已知是等比數(shù)列{an}圖象上的兩點，求數(shù)列{an}的通項公式并判斷{an}的單調(diào)性．

解析：由題意知a2＝，a5＝

∴q3＝＝

∴q＝

∴an＝a2·qn－2＝＝3×

∴a1＝3

∵a1>0，00，q>1或a10，01時，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；

(3)當q＝1時，數(shù)列{an}是常數(shù)列；

(4)當q0這一隱含條件致錯

例4若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比q＝________．

4

解析：由題意知a1a2＝16，a2a3＝162，

∴q2＝＝16，

∴q＝±4.

又∵此等比數(shù)列中隱含相鄰的項同號，

∴q>0，

∴q＝4.

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

沒考慮到此等比數(shù)列中隱含相鄰的項同號，致使錯填為：±4.在處理等比數(shù)列的項或公比問題時，一定要注意數(shù)列的首項及公比的正負情況，總之要養(yǎng)成檢驗意識．

[課堂十分鐘]

1．觀察下面幾個數(shù)列，其中一定是等比數(shù)列的是()

A．數(shù)列1，2，6，18，54，…

B．數(shù)列{an}中，已知＝2，＝2

C．數(shù)列{an}中，＝n，其中n∈N＋

D．數(shù)列{an}中，＝－1，其中n∈N＋

答案：D

解析：A選項不符合等比數(shù)列的定義，故不是等比數(shù)列；B選項不一定是等比數(shù)列，當數(shù)列只有三項時，它是等比數(shù)列；當數(shù)列多于3項時，不一定也等于2，故它不一定是等比數(shù)列；C選項不是等比數(shù)列，n不是定值；D選項是等比數(shù)列，滿足等比數(shù)列的定義．故選D.

2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于()

A．－B．－2

C．2D．

答案：D

解析：由a2＝2，a5＝，

知q3＝＝＝，

∴q＝.

故選D.

3．在等比數(shù)列{an}中，如果公比為q，且q0，所以λ的取值范圍為(0，1].

若選②，∵a2＋b3＝0，∴b3＝－a2＝－3，

∴q＝－1，b1＝－3，∴當n為偶數(shù)時，Tn＝0，則λ>0；

當n為奇數(shù)時，Tn＝－3，由λ|Tn|<12得λ<4.

綜上得λ的取值范圍為(0，4)．

若選③，由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1.

∴q＝＝3.

∴Tn＝＝，

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知Tn無最大值，

∴不存在正數(shù)λ，使得λ|Tn|<12.

[課堂十分鐘]

1．已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則＝()

A．