貝葉斯統(tǒng)計原理在測量不確定度評定中的應用

貝葉斯統(tǒng)計原理在測量不確定度評定中的應用

1累積測量數(shù)據的測量不確定度評定是一個固定的現(xiàn)在，實驗室中對測量結果的不確定度評估越來越普遍，對測量不確定度評估方法和應用的研究也包括不同的方面。無論是校準實驗室還是檢測實驗室,在測量儀器的校準周期和檢定周期內,要為顧客提供多次的校準、檢測服務,可積累大量的測量數(shù)據,若按上述測量不確定度的評定方法,這些累積的測量數(shù)據在測量不確定度的評定中無法使用,而這些數(shù)據都是有效測量數(shù)據,能夠真實反映在校準周期和檢定周期內測量儀器真實測量狀態(tài),將這些測量數(shù)據棄之不用,是數(shù)據資源的浪費。在檢定周期或校準周期內,實驗室在嚴格的受控條件下,測量數(shù)據具有相同的統(tǒng)計特征,即認為這些數(shù)據來自同一分布總體,有相同的概率分布,所以利用在檢定周期內或校準周期內的所累積測量數(shù)據評定測量不確定度,能充分反映校準和檢測儀器的測量狀態(tài)。利用以前有效的測量數(shù)據,結合最新的測量數(shù)據評定測量不確定度,使數(shù)據資源充分利用,并能反映母體分布的數(shù)字特征。這一思路符合貝葉斯統(tǒng)計原理,張健等人對此已做了一些研究本文將根據貝葉斯統(tǒng)計原理,充分利用有效的先驗測量信息,結合最新的測量數(shù)據,解決校準實驗室和檢測實驗室中微小樣本測量不確定度評定問題。2后驗密度函數(shù)在本文中,先驗信息是指已知的有效測量結果,易從最新的校準證書、合格證書、檢測報告或其他資料中獲取,包括從初始的測量數(shù)據中獲取。假設x根據貝葉斯定理p(θ,ф/X)為基于當前測量值的θ和ф的后驗密度函數(shù);p(θ,ф)為θ和ф的聯(lián)合密度;l(θ,ue788/X)為給定θ和ue788時,當前測量值的似然估計。2.1公式，ue788，xP(ф)為ф的先驗分布,滿足自由度為ν式中:SP(θ/ф)為給定ф時θ的條件分布,其正態(tài)均值為2.1.2方程l，，x已知X來自正態(tài)分布N(θ,ф),其似然估計與給定和ue788時X的條件密度成比例S2.1.3后驗密度根據前面得到的l(θ,φ/X)與p(θ,ф)的公式,把式(2)和(3)代入式(1),則θ和ф的后驗密度為:2.2和的初始分布P(θ/X)為θ的后驗分布,也是式(4)中均值的邊緣分布。根據文獻[11]可知:定義:則:即θ~t2.2.2方差邊緣分布p(ф/X)為ф的后驗分布,也是式(4)中方差的邊緣分布。同樣可得到ф的后驗分布為:p(ф/X)是服從自由度為v的反χ2.3貝葉斯的公式根據式(6)和(7)可知:當給定ue788時θ滿足如果前提假設條件滿足,由式(5)和式(8)的結論可以推出基于后驗分布的統(tǒng)計特征值和測量不確定度評定公式,這些公式簡稱為貝葉斯方法,此方法由下列公式組成:1)已知信息,包括:先驗信息:2)過程計算公式:3)測量不確定度評定公式:這些公式看起來似乎很復雜,但過程計算的7個公式都是GUM中重復測量不確定度評定公式中的派生公式,依據已知的信息計算,是一些常規(guī)公式,公式雖多,但比較簡單,先驗信息是給定的或已知的,如(X珔3小樣品測量不確定度評價公式根據式(9)~(20),在已知先驗信息條件下,對測量次數(shù)只有1次、2次等微小樣本測量不確定度評定公式進行推證。3.1樣本體積為1的測量不確定度評估公式當前測量值為:x3.1.1與gum方法的比較由式(9)可得:現(xiàn)來證明式(21)與GUM方法是相等的:將x式(21)與合并樣本后的計算結果是相等的。但在實際應用中,由于n3.1.2單次測量標準偏差當樣本量為1時,由式(17)和(18)得單次測量標準偏差平方為:s現(xiàn)來證明式(23)與GUM推薦的頻率方法是相等的。將式(23)進行化簡:將x3.1.3先驗測量不確定度評定當只進行一次校準或檢測時,一般是直接引用先驗測量不確定度信息,即采用B類測量不確定度評定方法,若用式(24)進行評定,則比較麻煩。但由于n3.1.4首次校準測量不確定度評定在校準實驗室對某一電量參數(shù)進行校準,該電量參數(shù)的先驗信息為:(2.8406±0.1179)mV,k=1,v現(xiàn)利用式(21)、(23)、(25)和(26)來計算第一次校準的測量不確定度報告。根據先驗信息:現(xiàn)采用貝葉斯方法進行評定,即根據式(21)和式(24)進行評定。由式(21)得:由式(23)可計算單次測量標準偏差:由式(26)得:客戶首次校準測量不確定度評定報告:(2.8570±0.4414)mV,k=1。2種方法有|0.4567-0.4414|=0.0153mV的差值。同理類推,可計算出其他幾次校準的測量不確定度結果,具體如表1所示。根據表1數(shù)據作圖1,對貝葉斯方法和GUM的B類方法進行對比分析。從圖1可以直觀看出,當測量值只有1個時,GUM方法中B類評定只用了該電量參數(shù)進行校準時的先驗信息,所以測量不確定度是一個不變的量(一條直線),而貝葉斯方法不僅應用了先驗信息,而且結合當前的校準信息,對不確定度進行重新評定,前面一次的校準信息對下一次校準是先驗信息,從而在不斷積累校準信息的基礎上,使每一次的不確定度評定都會發(fā)生變化(變化的曲線),并且逐漸趨向于真實的情況,因而這種方法優(yōu)于GUM方法。3.2樣本體積為2的測量不確定度評估公式當前測量值為:x3.2.1與gum方法由式(9)可得:現(xiàn)來證明式(28)與GUM方法是相等的:將x式(28)與合并樣本后的計算結果是相等的。但在實際應用中,由于n3.2.2單次測量的標準偏差當樣本量為2時,由式(17)和式(18)得單次測量標準偏差平方為:3.2.3b類測量不確定度評定方法適用條件復雜當只進行二次校準或檢測測量時,傳統(tǒng)的評定方法都是直接引用先驗測量不確定度信息,即采用B類測量不確定度評定方法,若用式(31)進行評定,則比較復雜和煩瑣。但由于n3.2.4測量不確定度評定在校準實驗室對某一質量參數(shù)進行校準,該質量參數(shù)的先驗信息為:(2.8670±0.1233)mg,k=1,ν根據先驗信息:客戶首次校準測量不確定度評定報告:(3.0952±0.3260)mg,k=1。與用B類評定的有|0.3376-0.3260|=0.0116mg的差值。同理類推,可計算出其他幾次校準的測量不確定度結果,具體如表2所示。根據上表數(shù)據做圖2,對貝葉斯方法和GUM的B類方法進行對比分析。與圖1類似,從圖2可以直觀看出,當測量值只有2個時,用貝葉斯方法評定測量不確定度,綜合運用了先驗信息和當前的校準數(shù)據,對質量參數(shù)校準的不確定度進行評定,使不確定度接近其真實的情況,優(yōu)于GUM方法對不確定度評定的情況。3.3樣本體積為3的測量不確定度評估公式當前測量值為:x3.3.1測量不確度評定公式同理,可證明當測量次數(shù)只有3個時,根據式(16)~(19)等其他相關公式,可以導出樣本量只有3個時的測量不確定度結果,這些公式為:3.3.2測量不確定度計算及對比分析在校準實驗室對某一長度參數(shù)進行校準,該長度參數(shù)的先驗信息為:(28.81±1.32)mm,k=1,ν現(xiàn)利用上述公式來計算每次校準的測量不確定度,同時也用GUM的B類方法進行評定,計算結果如表3所示。根據表3數(shù)據做圖3,對貝葉斯方法和GUM的B類方法進行類比分析。同樣地,類似于圖1和圖2,從圖3可以直觀看出,當測量值只有3個時,用貝葉斯方法評定測量不確定度,在結合先驗信息和每一次校準數(shù)據的基礎上,使長度參數(shù)校準時的不確定度評定更接近其真實的情況,它也優(yōu)于只利用先驗信息進行不確定度評定的GUM方法。4測量不確定度評定的實現(xiàn)校準實驗室和檢測實驗室為客戶提供的測量服務通常都是微小樣本,GUM中的A類評定方法無法應用,只能用GUM中的B類方法,客戶的測量數(shù)據在測量不確定度評定中沒有用上,造成在校準周期、檢定周期內測量數(shù)據的浪費,而且不能有效反映出客戶測量結果的真實測量不確定度。無論是校準實驗室還是檢測實驗室,只要嚴格地控制實驗室的測量環(huán)境并按校準規(guī)范或檢測程序進行校準或檢測活動,在檢定周期或校準周期內,保持和控制“人、機、料、法、環(huán)”條件相同,對同數(shù)量級的同類量進行的測量值都具有相同的統(tǒng)計特性,即這些測量數(shù)據都應服從相同的概率分布,雖然這些測量值來自于不同的客戶、來自于不同的時間。在校準周期或檢定周期內,這些測量值具有時序性和累積性,為客戶提供的校準和檢測服務,必須在規(guī)定的工作日內給出測量不確定報告,不可能等到整個校準或檢定周期結束后,用所有的客戶累積的測量數(shù)據評定測量不確定度,并給客戶提交測量不確定度評定報告?？蛻舻臏y量不確定度報告必須實時給出,所以應盡可能地利用以前累積的有效測量結果,即充分利用先驗自信,并利用為客戶提供的當前測量值,雖然是微小樣本,進行測量不確定度評定,才是科學合理的。本文基于貝葉斯理論推證的式(5)、(19)和(20),是解決上述問題的有效方法,尤其是解決了校準和檢測服務中微小樣本的測量不確定度評定問題。式中:X為當前測量值向量;2.1.1公式根據條件概率公式:則θ和ф的聯(lián)合密度為:式中:2.2.1貝葉斯頻率評定當前信息為當前的測量值:(x樣本量為1,即:當樣本量為1時,有:式(23)與式(24)是相等的。但在實際應用中,由于s若用GUM方法,只能進行B類評定,其結果為:樣本量為2,即:當樣本量為2時