流體動力學(xué)微分形式的基本方程

流體動力學(xué)微分形式的基本方程第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1連續(xù)性方程與流函數(shù)

1.

連續(xù)性方程（1）方程的推導(dǎo)第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月液體三元流動的連續(xù)性方程第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月液體三元流動的連續(xù)性方程第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

依據(jù)質(zhì)量守恒定律：

x向質(zhì)量凈通率：y、z向質(zhì)量凈通率分別為：和第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

體積內(nèi)的質(zhì)量減少率：則有：第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

除以體積ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取極限，得到直角坐標(biāo)下的連續(xù)性方程：或第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

或

柱坐標(biāo)下的不可壓縮流體連續(xù)性方程：

對于不可壓縮流體：（2）方程的簡化

對于恒定流動：第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

（3）連續(xù)性方程的應(yīng)用

判別流動能否發(fā)生。

求解某一未知速度分量。

與運動微分方程聯(lián)立求解。第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2.流函數(shù)ψ(1)定義二維不可壓縮流體連續(xù)性方程為：當(dāng)定義和，連續(xù)性方程自然滿足。稱ψ為流函數(shù)。第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)物理意義常數(shù)時，則得到不同流線。

為流線，當(dāng)取不同

兩條流線的流函數(shù)數(shù)值之差等于這兩條流線間所通過的單寬流量。第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

公式表明，兩條流線間所通過的單寬流量等于兩個流函數(shù)數(shù)值之差。且，引入ψ后可將求ux，uy的問題化為求ψ的問題。第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.2運動微分方程1.

應(yīng)力形式的運動微分方程（1）運動流體一點處的應(yīng)力狀態(tài)第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

雙下標(biāo)含義：

第一個下標(biāo)：作用面的外法線方向，

第二個下標(biāo)：應(yīng)力的方向。

正的應(yīng)力：正面、正力或負(fù)面、負(fù)力。

負(fù)的應(yīng)力：正面、負(fù)力或負(fù)面、正力。第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

依據(jù)牛頓第二定律。

六面體流體元中心點M的坐標(biāo)為x，y，z，應(yīng)力狀態(tài)為σ，可求出各面中心點的應(yīng)力。（2）方程的推導(dǎo)

外力的x

向分量Fx

：

質(zhì)量力的x向分量：以x方向為例：第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

表面力的x

向分量：

加速度的x

向分量ax：

質(zhì)量m：第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

除以ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取極限，得出同理可得y、z向方程。第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

應(yīng)力形式的運動微分方程為存在問題：方程組不閉合（4個方程，9個未知量）。第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.不可壓縮流體的應(yīng)力與應(yīng)變率關(guān)系第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.

納維－斯托克斯方程（N－S方程）第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月寫成矢量形式：方程各項的含義：左端：慣性力右端：質(zhì)量力、壓力（壓強(qiáng)梯度力）、粘性力第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3N－S

方程組求解的分析1.

N－S方程組矢量式：第23頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月分量式：第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月給出定解條件初始條件邊界條件理論上，方程組可解。第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

N－S方程組的特點

非線性

二階偏微分方程組一般情況下，N－S方程組難于求解。第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月3.主要解法

（1）層流精確解對于某些簡單流動，非線性項為零，可求得精確解。例如：①平行平板間的二維恒定層流運動第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月②斜面上具有等深自由面的二維恒定層流運動第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月③等直徑圓管恒定層流運動第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）近似解為什么要求近似解？由于僅在少數(shù)簡單流動情況下才能得到精確解，為此求近似解。僅在兩種極端雷諾數(shù)情形下，通過略去N－S方程中的個別項，才能求得近似解。第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月①小雷諾數(shù)流動－蠕動流

Re<<

1慣性力<<

粘性力斯托克斯解：全部略去慣性力，得出斯托克斯阻力公式。奧森解：部分略去慣性力，得出奧森解。兩個解成為低雷諾數(shù)流體動力學(xué)的基礎(chǔ)。第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月蠕動流的例子：小球在極粘流體中的沉降第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月②大雷諾數(shù)流動

Re>>

1慣性力>>

粘性力當(dāng)全部略去粘性項，會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？

N－S方程組歐拉方程組（理想流體）計算結(jié)果不適用于固體壁面附近適用于遠(yuǎn)離固體壁面的流場第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月為什么不適用于固體壁面附近？計算結(jié)果與實際不符合：邊界條件不符合阻力規(guī)律不符合流型不符合第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

1904年，普朗特提出邊界層概念，將微粘流體的廣大流場劃分為邊界層和外流區(qū)，分別用邊界層理論和勢流理論求解。第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）數(shù)值解屬于計算流體力學(xué)范疇。（4）實驗解屬于實驗流體力學(xué)范疇。第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4層流精確解舉例1.平行平板間的二維恒定層流運動重力作用下的兩無限寬水平平行平板間的二維恒定不可壓縮流體的層流運動。平板間距為a，流體的密度為ρ，動力粘度為μ，上板沿x

方向移動的速度U為常量，試求平板間流體的速度分布。第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月求解步驟：

繪圖并選取坐標(biāo)系及坐標(biāo)取向。

依據(jù)題中條件，簡化N－S方程組。

依據(jù)題意，給出邊界條件。

解方程組。第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）選直角坐標(biāo)系取x軸沿下板，z軸垂直于平板。（2）簡化N－S方程組①由二維流動可知uy＝0，且各量與y無關(guān)；

②由流體作平行于x軸的流動，可知uz＝0，故僅有ux；③由恒定流可知；第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月④

由不可壓縮流體的連續(xù)性方程和即ux僅是z的函數(shù)；可知和第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月⑤由重力場可知單位質(zhì)量力即X=

Y=

0，Z=

-g。于是N－S方程組簡化為（1）（2）第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）邊界條件z＝0，ux＝0；z＝a，ux＝U（3）（4）（4）解方程組

先解（2）式，得（5）求得（6）表明與z無關(guān)，對z積分解（1）式時，可作為常量看待。第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

對（1）式積分二次得到則流速分布為利用邊界條件（3）、（4）求得（8）（7）第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）討論①當(dāng)，得出

，為科耶特流動。第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月，為泊肅葉流動。②當(dāng)?shù)贸鯱=0第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月最大流速

：單寬流量:斷面平均流速與最大流速之比：斷面平均流速：第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2.斜面上具有等深自由面的二維恒定層流運動重力作用下的無限寬斜面上具有等深自由面的二維恒定不可壓縮流體的層流運動。若深度H為常量，斜面傾角為α，流體的密度為ρ，動力粘度為μ，液面壓強(qiáng)pa為常量，且不計液面與空氣之間的粘性切應(yīng)力，試求流體的壓強(qiáng)分布、速度分布、斷面平均流速及作用于斜面上的粘性切應(yīng)力。第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）選直角坐標(biāo)系取x軸沿斜面，z軸垂直于斜面。（2）簡化N－S方程組（1）（2）得出第49頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）邊界條件z＝0，ux＝0；（3）（5）（4）第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）解方程組

先解（2）式，得出利用邊界條件（5）式，確定，得出壓強(qiáng)分布：（6）第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月則流速分布為：

利用邊界條件（3）、（4）求得（7）該式表明：p與z成線性關(guān)系，與x無關(guān)。對（1）式積分二次，得到第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（10）最大流速（z=H）：（8）單寬流量:（9）斷面平均流速：

進(jìn)而，求得：U斷面平均流速與最大流速之比：（11）U第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（12）粘性切應(yīng)力分布：斜面上的粘性切應(yīng)力：（13）需要指出，在實際應(yīng)用中，對于寬淺河道，由于河寬B遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水深H，可按二維明渠水流計算。當(dāng)水流為二維明渠均勻?qū)恿鲿r，可直接應(yīng)用本例計算結(jié)果。第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月3.

等直徑圓管恒定層流運動重力作用下的等直徑圓管中的恒定不可壓縮流體的層流運動。若圓管半徑為r0

，流體的密度為ρ，動力粘度為μ，試求流體的速度分布、斷面平均流速及作用于管壁上的粘性切應(yīng)力。第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）選用圓柱坐標(biāo)系取z軸與管軸重合，r垂直于管軸和管壁，θ沿周向，h表示鉛直方向。（2）簡化N－S方程組得出：（1）第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）邊界條件（4）解方程組

將（1）式化為：r＝0，uz＝有限值；r＝r0，uz＝0（2）（3）（4）第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）

利用邊界條件（2）、（3）求得由（4）式可知（p

+ρgh）與r和θ無關(guān)，僅為z的函數(shù)，對r積分求uz時，可將作為常量看待，則得出第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月則流速分布為：（6）

進(jìn)而，求得：最大流速（r＝0）：（7）第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月流量:（8）斷面平均流速與最大流速之比：（10）U斷面平均流速：（9）U第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月管壁上的粘性切應(yīng)力：（12）粘性切應(yīng)力分布：（11）需要說明：上述計算結(jié)果只適用于充分發(fā)展的均勻流動區(qū)，對于管道進(jìn)口段則不適用。第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月1.

蠕動流概念當(dāng)慣性力可被完全忽略而雷諾數(shù)趨近于零時，就會出現(xiàn)層流運動的極端情況，即蠕動流。小球在極粘流體中沉降以及液體穿過孔隙介質(zhì)的流動（即滲流）均可作為蠕動流處理。4.5

蠕動流方程第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月忽略慣性力的條件意味著運動非常緩慢，遷移加速度沒有明顯的慣性作用及非恒定性可以忽略不計。第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

蠕動流方程略去慣性項后，重力場中不可壓縮流體的N－S方程化為（1）或（2）第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月對（2）式兩端取散度，并考慮到：對于不可壓縮流體蠕動流問題可化為：在一定邊界條件下求解拉普拉斯方程的問題。得出（3）及第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月1.層流與紊流

粘性流動中的兩種流態(tài)：層流與紊流（湍流）1839年哈根通過圓管試驗首次發(fā)現(xiàn)這兩種流態(tài)。1883年雷諾通過圓管流動試驗，清楚地演示這兩種流態(tài)，如圖所示。4.6

紊流基本概念第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月圓管流動的臨界雷諾數(shù)：U（a）層流（b）紊流第68頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2.雷諾方程（1）

求時均的規(guī)則紊流為相當(dāng)復(fù)雜的流動型態(tài)。流體質(zhì)點激烈混摻，導(dǎo)致運動要素隨時間作隨機(jī)變化。第69頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月大量的實驗表明：無論瞬時值如何變化，只要取足夠長的時段，其時間平均值（簡稱時均值）就是確定的。時均值可定義為瞬時值＝時均值＋脈動值，則有第70頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月容易證明：若可利用這些關(guān)系式推導(dǎo)紊流基本方程。則得出第71頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）

雷諾方程的推導(dǎo)①

N－S方程組為粘性流體的基本方程組，既適用于層流，也適用于紊流的瞬時值。②

將“瞬時值”表示為“時均值＋脈動值”，并用求時均規(guī)則，可以導(dǎo)出雷諾方程：第72頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月雷諾方程中增加了由雷諾應(yīng)力：構(gòu)成的附加項。雷諾應(yīng)力為二階對稱張量。

由于雷諾應(yīng)力分量均未知，雷諾方程組不閉合，必須補(bǔ)充方程后才能求解。第74頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月3.關(guān)于紊流的求解（1）

半經(jīng)驗理論利用部分得到證明的假設(shè)，去建立雷諾應(yīng)力與時均量之間的關(guān)系，以解決紊流基本方程的封閉問題。主要有：

布辛涅斯克渦粘性系數(shù)；普朗特混和長度理論；泰勒渦量傳遞理論；卡門相似理論等?？蓺w入一階封閉模式或零方程模型范圍。第75頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）

二階封閉模式的紊流模型主要有：雷諾應(yīng)力模型（微分模型，RSM）；代數(shù)應(yīng)力模型（k-ε-A模型