空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系高一下數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修2

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.2第八章立體幾何初步空間中直線與直線的位置關(guān)系1平面內(nèi)的兩條直線只有兩種關(guān)系：平行或相交，那么在空間中呢？觀察你所在的教室.(1)教室內(nèi)同一列的燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？問題一提示平行.觀察你所在的教室.(2)教室內(nèi)某燈管所在的直線和黑板左右兩側(cè)所在的直線是平行直線嗎？是相交直線嗎？問題一提示既不是平行直線，也不是相交直線.知識梳理1.異面直線的定義和畫法(1)定義：

的兩條直線叫做異面直線.(2)畫法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個

襯托.不同在任何一個平面內(nèi)平面2.空間中直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系是否在同一平面內(nèi)公共點個數(shù)共面直線相交直線____1平行直線是0異面直線____0是否知識梳理例1利用長方體的性質(zhì)(1)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是______；平行解析

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.例1②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是______；異面解析

直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).例1③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是______；解析

直線D1D與直線D1C相交于點D1.相交例1④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是______.異面解析

直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).例1(2)如圖，AB∩α＝B，A?α，a?α，B?a.直線具有怎樣的位置關(guān)系？為什么？解

直線AB與a異面.理由如下：若直線AB與直線a不是異面直線，則它們相交或平行.設(shè)它們確定的平面為β，則B∈β，a?β.由于經(jīng)過點B與直線a有且僅有一個平面α，因此平面α與β重合，從而AB?α，進(jìn)而A∈α，這與A?α矛盾.所以直線AB與a是異面直線.直接用定義可以嗎？反思感悟判斷空間兩條直線位置關(guān)系的決竅(1)建立空間觀念全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系，特別關(guān)注異面直線.(2)重視長方體、正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系.(3)例1(2)告訴我們一種判斷異面直線的方法：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線.跟蹤訓(xùn)練1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是A.平行

B.異面C.相交

D.平行、相交或異面√解析

可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面.空間中直線與平面的位置關(guān)系2一支筆所在的直線與桌面所在的平面有哪些位置關(guān)系呢？問題二提示(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點.(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點.(3)直線與平面平行——沒有公共點.知識梳理位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有______公共點

公共點

公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示無數(shù)個有且只有一個沒有例2(1)若直線上有一點在平面外，則下列結(jié)論正確的是A.直線上所有的點都在平面外B.直線上有無數(shù)多個點都在平面外C.直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D.直線上至少有一個點在平面內(nèi)解析

直線上有一點在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點在平面外.√例2(2)(多選)若a，b表示直線，α表示平面，則以下命題中假命題是A.若a∥b，b?α，則a∥αB.若a∥α，b∥α，則a∥bC.若a∥b，b∥α，則a∥αD.若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面解析

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，故A錯誤；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1與B1C1相交，故B錯誤；√√√例2(2)(多選)若a，b表示直線，α表示平面，則以下命題中假命題是A.若a∥b，b?α，則a∥αB.若a∥α，b∥α，則a∥bC.若a∥b，b∥α，則a∥αD.若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面√√√解析

AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，故C錯誤；因為a∥α，所以a與α無公共點，又b在α內(nèi)，所以a與b無公共點，所以a∥b或a與b異面.反思感悟判斷直線與平面的位置關(guān)系在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷.跟蹤訓(xùn)練2下列命題中正確的個數(shù)是①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.A.0

B.1

C.2

D.3√解析

如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；跟蹤訓(xùn)練2下列命題中正確的個數(shù)是①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.A.0

B.1

C.2

D.3解析

假設(shè)b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即命題③正確.故選B.√空間中平面與平面的位置關(guān)系3拿出一本書看作一個平面，隨意上下、左右移動和翻轉(zhuǎn)，它和桌面所在平面的位置關(guān)系有幾種？有什么特點？問題三提示有兩種，平行、相交.知識梳理位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點

公共點有

個公共點(在一條直線上)符號表示______________圖形表示

沒有無數(shù)α∩β＝lα∥β例3(多選)以下四個命題中，正確的有A.在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行B.在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行C.平面α內(nèi)△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離

相等且不為0，那么這兩個平面平行D.平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩

個平面平行或相交√√解析

當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行于另一個平面，所以AB錯誤.反思感悟判定兩平面位置關(guān)系的方法利用正方體(或長方體)這個“百寶箱”能有效地判斷與兩個平面的位置關(guān)系有關(guān)命題的真假，另外先假設(shè)所給定的結(jié)論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關(guān)系的有效方法.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知兩直線m，n，兩平面α，β，若m?α，n?β，α∥β，則m與n的位置關(guān)系是A.平行

B.相交

C.異面

D.平行或異面√解析

因為α∥β，所以α與β沒有公共點，又m?α，n?β，所以m與n沒有公共點，則m與n的關(guān)系為平行或異面.跟蹤訓(xùn)練3(2)如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系一定是A.平行

B.相交C.平行或相交

D.無法確定√解析

根據(jù)題意作圖，把自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，即可得出兩平面的位置關(guān)系，如圖所示.1.知識清單：(1)兩直線的位置關(guān)系.(2)直線與平面的位置關(guān)系.(3)平面與平面的位置關(guān)系.2.方法歸納：舉反例、特例.3.常見誤區(qū)：異面直線的判斷.課堂小結(jié)隨堂演練4解析√若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關(guān)系是A.共面

B.平行

C.異面

D.平行或異面若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.解析√若直線l∥平面α，直線a?α，則A.l∥a

B.l與a異面C.l與a相交

D.l與a沒有公共點若直線l∥平面α，直線a?α，則l∥a或l與a異面，故l與a沒有公共點，故選D.解析√(多選)兩平面α，β平行，a?α，則下列四個命題正確的是A.a與β內(nèi)的所有直線平行B.a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行C.a與β至少有一個公共點D.a與β沒有公共點a不是與β內(nèi)的所有直線平行，而是與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行，有一些是異面，A錯誤，B正確；根據(jù)定義，a與β沒有公共點，C錯誤，D正確.√解析如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有A中，GH∥MN.B中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直