空間點、直線、平面之間的位置關系高一下數(shù)學人教A版（2019）必修2

空間點、直線、平面之間的位置關系8.4.2第八章立體幾何初步空間中直線與直線的位置關系1平面內(nèi)的兩條直線只有兩種關系：平行或相交，那么在空間中呢？觀察你所在的教室.(1)教室內(nèi)同一列的燈管所在的直線是什么位置關系？問題一提示平行.觀察你所在的教室.(2)教室內(nèi)某燈管所在的直線和黑板左右兩側(cè)所在的直線是平行直線嗎？是相交直線嗎？問題一提示既不是平行直線，也不是相交直線.知識梳理1.異面直線的定義和畫法(1)定義：

的兩條直線叫做異面直線.(2)畫法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個

襯托.不同在任何一個平面內(nèi)平面2.空間中直線與直線的位置關系位置關系是否在同一平面內(nèi)公共點個數(shù)共面直線相交直線____1平行直線是0異面直線____0是否知識梳理例1利用長方體的性質(zhì)(1)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，①直線A1B與直線D1C的位置關系是______；平行解析

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.例1②直線A1B與直線B1C的位置關系是______；異面解析

直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).例1③直線D1D與直線D1C的位置關系是______；解析

直線D1D與直線D1C相交于點D1.相交例1④直線AB與直線B1C的位置關系是______.異面解析

直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).例1(2)如圖，AB∩α＝B，A?α，a?α，B?a.直線具有怎樣的位置關系？為什么？解

直線AB與a異面.理由如下：若直線AB與直線a不是異面直線，則它們相交或平行.設它們確定的平面為β，則B∈β，a?β.由于經(jīng)過點B與直線a有且僅有一個平面α，因此平面α與β重合，從而AB?α，進而A∈α，這與A?α矛盾.所以直線AB與a是異面直線.直接用定義可以嗎？反思感悟判斷空間兩條直線位置關系的決竅(1)建立空間觀念全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系，特別關注異面直線.(2)重視長方體、正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關系.(3)例1(2)告訴我們一種判斷異面直線的方法：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線.跟蹤訓練1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是A.平行

B.異面C.相交

D.平行、相交或異面√解析

可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面.空間中直線與平面的位置關系2一支筆所在的直線與桌面所在的平面有哪些位置關系呢？問題二提示(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點.(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點.(3)直線與平面平行——沒有公共點.知識梳理位置關系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有______公共點

公共點

公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示無數(shù)個有且只有一個沒有例2(1)若直線上有一點在平面外，則下列結論正確的是A.直線上所有的點都在平面外B.直線上有無數(shù)多個點都在平面外C.直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D.直線上至少有一個點在平面內(nèi)解析

直線上有一點在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點在平面外.√例2(2)(多選)若a，b表示直線，α表示平面，則以下命題中假命題是A.若a∥b，b?α，則a∥αB.若a∥α，b∥α，則a∥bC.若a∥b，b∥α，則a∥αD.若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面解析

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，故A錯誤；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1與B1C1相交，故B錯誤；√√√例2(2)(多選)若a，b表示直線，α表示平面，則以下命題中假命題是A.若a∥b，b?α，則a∥αB.若a∥α，b∥α，則a∥bC.若a∥b，b∥α，則a∥αD.若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面√√√解析

AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，故C錯誤；因為a∥α，所以a與α無公共點，又b在α內(nèi)，所以a與b無公共點，所以a∥b或a與b異面.反思感悟判斷直線與平面的位置關系在判斷直線與平面的位置關系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷.跟蹤訓練2下列命題中正確的個數(shù)是①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.A.0

B.1

C.2

D.3√解析

如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；跟蹤訓練2下列命題中正確的個數(shù)是①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.A.0

B.1

C.2

D.3解析

假設b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即命題③正確.故選B.√空間中平面與平面的位置關系3拿出一本書看作一個平面，隨意上下、左右移動和翻轉(zhuǎn)，它和桌面所在平面的位置關系有幾種？有什么特點？問題三提示有兩種，平行、相交.知識梳理位置關系兩平面平行兩平面相交公共點

公共點有

個公共點(在一條直線上)符號表示______________圖形表示

沒有無數(shù)α∩β＝lα∥β例3(多選)以下四個命題中，正確的有A.在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行B.在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行C.平面α內(nèi)△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離

相等且不為0，那么這兩個平面平行D.平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩

個平面平行或相交√√解析

當兩個平面相交時，一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行于另一個平面，所以AB錯誤.反思感悟判定兩平面位置關系的方法利用正方體(或長方體)這個“百寶箱”能有效地判斷與兩個平面的位置關系有關命題的真假，另外先假設所給定的結論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關系的有效方法.跟蹤訓練3(1)已知兩直線m，n，兩平面α，β，若m?α，n?β，α∥β，則m與n的位置關系是A.平行

B.相交

C.異面

D.平行或異面√解析

因為α∥β，所以α與β沒有公共點，又m?α，n?β，所以m與n沒有公共點，則m與n的關系為平行或異面.跟蹤訓練3(2)如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是A.平行

B.相交C.平行或相交

D.無法確定√解析

根據(jù)題意作圖，把自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，即可得出兩平面的位置關系，如圖所示.1.知識清單：(1)兩直線的位置關系.(2)直線與平面的位置關系.(3)平面與平面的位置關系.2.方法歸納：舉反例、特例.3.常見誤區(qū)：異面直線的判斷.課堂小結隨堂演練4解析√若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是A.共面

B.平行

C.異面

D.平行或異面若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.解析√若直線l∥平面α，直線a?α，則A.l∥a

B.l與a異面C.l與a相交

D.l與a沒有公共點若直線l∥平面α，直線a?α，則l∥a或l與a異面，故l與a沒有公共點，故選D.解析√(多選)兩平面α，β平行，a?α，則下列四個命題正確的是A.a與β內(nèi)的所有直線平行B.a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行C.a與β至少有一個公共點D.a與β沒有公共點a不是與β內(nèi)的所有直線平行，而是與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行，有一些是異面，A錯誤，B正確；根據(jù)定義，a與β沒有公共點，C錯誤，D正確.√解析如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有A中，GH∥MN.B中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直