2023屆山東省青島市高三下學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省青島市高三下學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題1.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：交集答案：A解析：，，

所以故選A.2.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，，分別表示向量，，，若，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)數(shù)及平面向量向量坐標(biāo)與向量的數(shù)量積用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量垂直的條件答案：C解析：由題意可得，，所以，

又，所以，所以，

則

故選C.3.已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（

）

A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)奇、偶性的圖象特征函數(shù)圖象的識(shí)別答案：D解析：，的定義域均為，且,，所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù)

由圖易知其為奇函數(shù)，而與為非奇非偶函數(shù)，故排除AB，當(dāng)時(shí)，，排除C，

故選D．4.某教育局為振興鄉(xiāng)村教育，將名教師安排到所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，若每名教師僅去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排名教師，則不同的安排情況有（

）A.

種

B.

種

C.

種

D.

種知識(shí)點(diǎn)：排列組合中的分組分配答案：D解析：由于每所學(xué)校至少安排名教師，則不同的安排情況有種故選D.5.在邊長為的小正方形組成的網(wǎng)格中，如圖所示，則（

）

A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合應(yīng)用答案：A解析：依題意，，，

由余弦定理，即，

解得，顯然為銳角，所以，

所以

故選A.6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，與及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若，，則的面積是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的綜合應(yīng)用拋物線的定義答案：B解析：過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，

設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，

如圖，

則，，

在中，，所以，所以，

在中，，

所以，所以

又軸，，所以

又拋物線，則,

所以，所以拋物線，點(diǎn)

因?yàn)?，所以直線的斜率，

則直線，

與拋物線方程聯(lián)立,消并化簡得,

設(shè)點(diǎn)，則，

則

又直線可化為，

則點(diǎn)到直線的距離,

所以

故選:B.7.三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依據(jù)三面角是由有公共端點(diǎn)且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線間的平面部分所組成的圖形，設(shè)，，，平面與平面所成的角為，由三面角余弦定理得在三棱錐中，，，，，，則三棱錐體積的最大值為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：立體幾何中的探索問題二面角棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積答案：C解析：由題意得：

，，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，的最大值為，

故選C.

8.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（例如：，），則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)答案：B解析：當(dāng)時(shí)，，即，共有個(gè)

因?yàn)?，?/p>

，

設(shè)，①

則，②

①②，得

，

所以

所以

故選B.9.底面為菱形的直棱柱各棱長均為，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A.

直線與為異面直線

B.

直線平面C.

存在點(diǎn)，使

D.

直線與所成的角為知識(shí)點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直用空間向量判斷兩直線為異面直線用空間向量研究兩條直線所成的角用空間向量研究空間中直線、平面的平行答案：A；B；C解析：設(shè)交于，交于，

因?yàn)闉橹崩庵?，且底面為菱形，所以兩兩垂直?/p>

以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

因?yàn)楦骼忾L均為，，

所以，，，，，，，

又因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，，

選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，令，無解，所以直線與為異面直線，正確；

選項(xiàng)B：，，，

設(shè)平面的法向量，則，

令得平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?，所以直線平面，正確；

選項(xiàng)C：，，令解得，

所以存在點(diǎn)，使，正確；

選項(xiàng)D：，，因?yàn)椋?/p>

所以直線與所成的角不為，錯(cuò)誤；

故選：ABC10.天宮課堂是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教育品牌為了解學(xué)生對(duì)天宮課堂的喜愛程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則（

）

喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂男生女生參考公式及數(shù)據(jù)：①，

②當(dāng)時(shí)，.A.

從這名學(xué)生中任選人，已知選到是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為B.

用樣本的頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中任選人，恰有人不喜歡天宮課堂的概率為C.

根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)D.

對(duì)抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生進(jìn)行天文知識(shí)測(cè)試，男生的平均成績?yōu)?，女生的平均成績?yōu)?，則參加測(cè)試的學(xué)生成績的均值為知識(shí)點(diǎn)：古典概型的應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用答案：B；C解析：對(duì)于A：從這名學(xué)生中任選人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：樣本中喜歡天宮課堂的頻率，從全校學(xué)生中任選人，

恰有人不喜歡天宮課堂的概率，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)椋?/p>

所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)，故C正確；

對(duì)于D：抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生男、女生人數(shù)分別為、，

又男生平均成績?yōu)?，女生的平均成績?yōu)椋詤⒓訙y(cè)試的學(xué)生成績的均值為，故D錯(cuò)誤；

故選BC.11.年法國數(shù)學(xué)家傅里葉指出任何音樂聲都是形如的純音合成的復(fù)合音若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（

）A.

的最小正周期為B.

的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.

在區(qū)間上單調(diào)遞增D.

當(dāng)時(shí)，最小值為，則知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)綜合答案：B；D解析：由題意，函數(shù)，

對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?/p>

所以不是函數(shù)的最小正周期，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，因，

，

所以直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?/p>

當(dāng)，單調(diào)遞增，且，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)在區(qū)間先增后減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，最小值為，則，

故選項(xiàng)D正確，

故選：BD.12.已知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則（

）A.

B.

C.

D.

若，則知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題答案：B；C；D解析：由題意知有四個(gè)不同的根，顯然，即，

令，即，即．

另外，，

令得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，如圖所示：

根據(jù)題意知存在兩根，，不妨設(shè)，

則滿足，．

即有，，

則由圖象可知，所以，故A不正確；

由于方程的兩根，滿足，所以，解得，故B正確；

由，，得，

兩邊取自然對(duì)數(shù)得，故C正確；

由，兩邊取自然底數(shù)得

若，則，所以

，

令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，故正確

故選：．13.某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，已知，若寫出一個(gè)符合條件的的值為

?.知識(shí)點(diǎn)：正態(tài)曲線的性質(zhì)答案：（或

（中的任意一個(gè)數(shù)均可））解析：因?yàn)?，且，則，且，故若，則故答案為（中的任意一個(gè)數(shù)均可）.14.與曲線和圓都相切的直線的方程為

?.知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的綜合應(yīng)用直線和圓相切答案：解析：如圖，

由題意得，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，

當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍芯€與圓相切，所以圓心到切線的距離等于半徑，

即，化簡得

又因?yàn)榍芯€和曲線相切，聯(lián)立方程組，

消去得，即，

則，即

所以，解得或

當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，

所以切線方程為，即

故答案為：15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與交于點(diǎn)、，直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線若，，則

?.知識(shí)點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱性橢圓的定義答案：解析：如圖所示：

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，

因?yàn)?，且?/p>

所以，所以，

可得，則，

所以，故

故答案為：.16.已知?jiǎng)訄A和定圓的半徑均為，動(dòng)圓自初始位置（如圖，圓心的坐標(biāo)為，圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，逆時(shí)針沿圓滾動(dòng)，則在滾動(dòng)過程中，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為

?

知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與最值與圓有關(guān)的最值問題答案：解析：如圖所示，設(shè)圓繞圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)的弧長為，對(duì)應(yīng)的圓心角為，

因?yàn)閳A和圓的半徑都是，所以，即，且，

過點(diǎn)作軸，再過點(diǎn)作，垂足為，可得,

設(shè)，則，不妨設(shè)，

設(shè)，可得，

令，即，解得或，

當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，

即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為

故答案為：

17.如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿，向上翻折，使點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，且平面，平面均與平面垂直（如圖）

(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)求直線與平面所成角的正弦值知識(shí)點(diǎn)：立體幾何中的四點(diǎn)共面、三點(diǎn)共線立體幾何中的折疊問題用空間向量研究直線與平面所成的角答案：(1)分別取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)椋?/p>

因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?/p>

所以平面

同理可得平面，所以

在中，，所以，同理，

所以四邊形是平行四邊形，所以

因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以，

所以，，，四點(diǎn)共面.(2)在圖（）中，，所以，所以

取的中點(diǎn)，連接，則，所以

由（），兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)椋?/p>

則，令，可得

又因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，

所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.解析：(1)略(2)略18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求；(2)若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，設(shè)，將的面積表示為的函數(shù)，并求的取值范圍知識(shí)點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用解三角形中的最值（范圍）問題答案：(1)因?yàn)?，所以?/p>

即，所以

因?yàn)椋?(2)由及可知為等邊三角形

又因?yàn)?，，所?/p>

在中，，

由正弦定理可得,，即

在中，，

由正弦定理可得，，即

所以

因?yàn)?/p>

，

因?yàn)椋裕?/p>

所以，所以

所以，所以，

所以

所以的取值范圍為.解析：(1)略(2)略19.已知數(shù)列為：，，，，，，，，，，，，，，即先取，接著復(fù)制該項(xiàng)粘貼在后面作為，并添加后繼數(shù)作為；再復(fù)制所有項(xiàng)，，并粘貼在后面作為，，，并添加后繼數(shù)作為，依次繼續(xù)下去記表示數(shù)列中首次出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的定義與證明分組求和法答案：(1)由題意知：，即，且，

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

所以，則.(2)由（）可知，，所以在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，

所以.解析：(1)略(2)略20.為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會(huì)在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建悅讀小屋自年以來，某村一直在組織開展悅讀小屋讀書活動(dòng)下表是對(duì)年以來近年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：年份年份代碼年借閱量（冊(cè)）

（參考數(shù)據(jù)：）(1)在所統(tǒng)計(jì)的個(gè)年借閱量中任選個(gè)，記其中低于平均值的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①和②兩種模型作為年借閱量關(guān)于年份代碼的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，求出模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并用殘差平方和比較哪個(gè)模型擬合效果更好知識(shí)點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用超幾何分布線性回歸模型的最小二乘法殘差答案：(1)由題知，年的借閱量的平均數(shù)為：，又，則

所以低于平均值的有個(gè)，所以服從超幾何分布，，

所以，，，

所以的分布列為：

所以；(2)因?yàn)椋?/p>

所以，即

所以模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，

根據(jù)模型①的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得：，

根據(jù)模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得：

因?yàn)????，且

所以模型①的殘差平方和大于模型②的殘差平方和，所以模型②的擬合效果更好.解析：(1)略(2)略21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，的周長等于，.(1)求的方程；(2)過圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，證明：直線與橢圓相切于點(diǎn)，且知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的綜合應(yīng)用直線與雙曲線的綜合應(yīng)用雙曲線的定義圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題答案：(1)由題意知，，

又因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，又因?yàn)椋裕?/p>

所以的方程為：.(2)設(shè)，則，

，，

設(shè)切線的斜率分別為，設(shè)的方程為：，

因?yàn)椋裕?/p>

所以，

所以

（）

因?yàn)?，整理得?/p>

即，所以，同理：，

因?yàn)榍芯€均過點(diǎn)，同理根據(jù)上面可知，

為的兩解，所以，

所以，為直角三角形，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，同理：，

所以直線的方程為：，

將直線：，代入橢圓的方程：可得：

，即，

所以，，

所以直線與橢圓相切，切點(diǎn)，

所以，所以，

所以

解析：(1)略(2)略22.已知函數(shù)，.(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)①證明：；②若，且，證明：知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移（雙變量問題）答案：(1)由題知，

設(shè)函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，開口向上，，

所以，在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在