《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案 第三章

??#?解2設(shè)Y的分布函數(shù)為F(y)，則F(y)=P(Y<y)=PY<y)-P(3X>1—y)-1—P(X<(1—y)3)=1—F{(1—y)3}，X所以f(y)=f((1—y)3)x3(1—y)2Y3(1—y尸28．設(shè)X?U(0,1)，求兀(1+(1—y)6)1)Y=eX的概率密度；—g<y<+s。(2)Y=—2InX的概率密度。X的密度為0<x<1,0<x<1,1)「1,/(x)=<

X10,y=ex在(0,1)上單調(diào)增，反函數(shù)為h(y)=ln其它.y，所以Y的密度為1<y1<y<e,其他.fY(y)=<y0,(2)y=—2lnx在(0,1)上單調(diào)減，反函數(shù)為h(y)=e—2，所以Y的密度為一1-y—e2,y>0,f(y)={2Y0,y<0.29.設(shè)X?N(0,1)，求Y=|XI的概率密度。解函數(shù)y=|xI在(-8,0)上單調(diào)減，反函數(shù)為h(y)=—y，11在［0,+8)上單調(diào)增，反函數(shù)為h(y)=y，(h')yi(h')yiy>)i,2y<0.0,f(h(y(y)=X1Y0,*-/e2,(y)=Y0,))h〔y(+)fIhy1X2y>0,y<0.30.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證Y=1—e-2X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布。［證］只須證明Y的分布函數(shù)為

0,y<0fy(y)=<y,0<y<i,、1,yn1.[0,y<0F(y)=P(Y<y)=P{1-e-2X<y}=JP{e-2x>1-y},0<y<1,Y1,y>1f0,y<0,|P(-2X>ln(1-y)),0<y<1,1,y>1.f0,1y<0,I<P(X<ln(1-y)-2).I0<y<1,、0,y>1.f0,I-F(ln(1-y)-2),XI0<y<1,1-e-2ln(1-y)1,y<00<y<1y>11,y>1.f0,y<0,=<y,0<y<1,1,y>1.31．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為2x,0<X<K,f(X)十20,其它?求Y=sinX的概率密度.解1函數(shù)ysinx在(0,—]上單調(diào)增'反函數(shù)為h(y)=arcsiny21在C-,K)上單調(diào)減,2反函數(shù)為h(y)=K-arcsiny.2Y的概率密度為：f(y)=Y1f(arcsiny)-f2arcsinyn20<y<1,一y21-y2其他.0<y<1,其他.解2設(shè)Y的分布函數(shù)為F(y)，貝I解2Y>兀一arcsiny)F(y)=P(Y<y)=P(sinX<y)=P>兀一arcsiny)Y=P(X<arcsiny)+1一P(X<n一arcsiny)=F(arcsiny)+1—F(n—arcsiny)X所以fY(y)f(arcsin11y)-+f(n—fY(y)f(arcsin1—y20<y<1,n\：1一y2其他.32．設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加，求Y=F(X)的概率密度.解設(shè)Y的分布函數(shù)為F(y)，則YF(F(y)=P(YY當(dāng)