九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題17 平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換（解析版）

/專(zhuān)題17平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換1．如圖，是經(jīng)過(guò)某種變換得到的圖形，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，觀(guān)察點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問(wèn)題：（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)說(shuō)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)有哪些特征；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)也是通過(guò)上述變換得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求，的值．（3）求圖中的面積．【解答】解：（1）與；與；與．對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）由（1）可得，．解得，；（3）三角形的面積．2．與△在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖．（1）分別寫(xiě)出△各點(diǎn)的坐標(biāo)：；；（2）若點(diǎn)是△內(nèi)部一點(diǎn)，則其圖形變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）說(shuō)明△是由經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變換得到的？；（4）的面積．【解答】解：（1）觀(guān)察圖象可知，，，故答案為，，．（2）點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移2個(gè)單位得到，．故答案為．（3）向左平移4個(gè)單位向下平移2個(gè)單位得到△，故答案為：向左平移4個(gè)單位向下平移2個(gè)單位得到△．（4）．故答案為2．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，等邊三角形經(jīng)過(guò)平移或軸對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)都可以得到．（1）沿軸向右平移可得到，則平移的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度；與關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是；繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到，則旋轉(zhuǎn)角至少是．（2）連接，交于點(diǎn)，求的度數(shù)．【解答】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，沿軸向右平移2個(gè)單位得到；與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；為等邊三角形，，，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（2）如圖，等邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，即為等腰的頂角的平分線(xiàn)，垂直平分，．故答案為；2；軸；120．4．如圖，三角形是三角形經(jīng)過(guò)某種變換得到的圖形，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，觀(guān)察點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問(wèn)題：（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)說(shuō)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)有哪些特征；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)也是通過(guò)上述變換得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求，的值．【解答】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)；（2）由（1）得，，解得，，答：，．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的頂點(diǎn)、都在軸上，頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)，經(jīng)過(guò)平移或軸對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)都可以得到．（1）沿軸向右平移得到，則平移的距離是2個(gè)長(zhǎng)度單位；與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是；繞原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)角度可以是度．（2）連接，交于點(diǎn)，求的度數(shù)．【解答】解：（1）沿?cái)?shù)軸向右平移得到，則平移的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度；與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是軸；繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)角度至少是度，故答案為：2；軸；120；（2）和是能夠重合的等邊三角形，，，，．6．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，如圖①，將線(xiàn)段平移至線(xiàn)段，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，點(diǎn)在軸的正半軸上，連接、．（1）若、，，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、．請(qǐng)你探索是否存在以?xún)蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)、為端點(diǎn)的線(xiàn)段平行于線(xiàn)段且等于線(xiàn)段，若存在，求點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，在直線(xiàn)上有兩點(diǎn)、，分別引兩條射線(xiàn)、．，，射線(xiàn)、分別繞點(diǎn)，點(diǎn)以1度秒和3度秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為，在射線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得與平行？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的時(shí)間．【解答】解：（1）設(shè)，將線(xiàn)段平移至線(xiàn)段，、，，，，，，；（2）存在，理由：，，，，，點(diǎn)與的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為2，四邊形是平行四邊形，即，，解得：，或，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，或點(diǎn)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，當(dāng)，，，時(shí)，、、、四點(diǎn)均在軸上，不能構(gòu)成平行四邊形，舍去；，，，；（3）存在．分三種情況：，如圖①，與在的兩側(cè)時(shí)，，，，，要使，則，即，解得，此時(shí)，，②旋轉(zhuǎn)到與都在的右側(cè)時(shí)，，，，，要使，則，即，解得，此時(shí)，；③旋轉(zhuǎn)到與都在的左側(cè)時(shí)，，，，，要使，則，即，解得，此時(shí)，，此情況不存在．綜上所述，為5秒或95秒時(shí)，與平行．7．如圖，是經(jīng)過(guò)某種變換得到的圖形，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，觀(guān)察點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問(wèn)題：（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)說(shuō)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)有哪些特征；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)也是通過(guò)上述變換得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求、的值．【解答】解：（1）由圖象可知，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征為：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)；（2）由（1）可知，，，解得，．8．如圖，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．（1）寫(xiě)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△，寫(xiě)出，的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)作于，是等邊三角形，且，，由勾股定理得：，，，；（2）如圖2，，，與重合，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有，，，點(diǎn)、均在軸上，邊與軸交于點(diǎn)，連接，且是的角平分線(xiàn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（1）如圖1，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到△，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)、，使為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)作于．，，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，．（2）如圖2，連接，是等腰三角形，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，等腰三角形的頂角為，此時(shí)，綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為或或或．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知、，直線(xiàn)是繞著的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與軸相交于點(diǎn)，探究解決下列問(wèn)題：（1）如圖1所示，當(dāng)直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到與邊相交時(shí)，試用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)確定點(diǎn)的位置，使頂點(diǎn)、到直線(xiàn)的距離之和最大（保留作圖痕跡）；（2）當(dāng)直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到與軸的負(fù)半軸相交時(shí)，使頂點(diǎn)、到直線(xiàn)的距離之和最大，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)是．（可在圖2中分析）【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)即為所確定的點(diǎn)位置．理由如下：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．為定值．要使點(diǎn)、到直線(xiàn)的距離之和最大，即最大，只要使最小，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于點(diǎn)，此時(shí)即為最小值（此時(shí)，點(diǎn)、、重合）．與軸的交點(diǎn)即為所確定的點(diǎn)位置；（2）由（1）的解題過(guò)程知，如圖2所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，則，旋轉(zhuǎn)直線(xiàn)至于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)即為所確定的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，又直線(xiàn)于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：．11．如圖①，將邊長(zhǎng)為2的正方形如圖①放置，為原點(diǎn)．（Ⅰ）若將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖②，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖③，若將圖①中的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，，旋轉(zhuǎn)角為，，，，，；（2）連接，過(guò)作軸于，旋轉(zhuǎn)角為，，，，，，中，，，，．12．閱讀理解：我們知道，任意兩點(diǎn)關(guān)于它們所連線(xiàn)段的中點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)，、，的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，．觀(guān)察應(yīng)用：（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)、的對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）另取兩點(diǎn)、．有一電子青蛙從點(diǎn)處開(kāi)始依次關(guān)于點(diǎn)、、作循環(huán)對(duì)稱(chēng)跳動(dòng)，即第一次跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處，接著跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處，第三次再跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處，第四次再跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、．拓展延伸：（3）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出在軸上與點(diǎn)，點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）、的坐標(biāo)分別為，；（3），，，，，，，；的坐標(biāo)和的坐標(biāo)相同，的坐標(biāo)和的坐標(biāo)相同，即坐標(biāo)以6為周期循環(huán)．．的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，為；在軸上與點(diǎn)、點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，．故答案為：；，．13．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△，點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)，，．在中，由勾股定理得．根據(jù)題意，△是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，由旋轉(zhuǎn)是性質(zhì)可得：，，．（2）如圖，根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)是性質(zhì)可得：，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則．在△中，由，．．由勾股定理，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，．14．（1）如圖，在方格紙中先通過(guò)向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)，由圖形得到圖形，再由圖形先（怎樣平移），再（怎樣旋轉(zhuǎn)）得到圖形（對(duì)于平移變換要求回答出平移的方向和平移的距離；對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換要求回答出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度）；（2）如圖，如果點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)是；（3）圖形能繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；（4）圖形能繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；注：方格紙中的小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度圖形得到圖形，圖形向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形．故答案為向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)，向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（2）根據(jù)題意建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)圖象可知．故答案為．（3）觀(guān)察圖形可知旋轉(zhuǎn)中心．故答案為．（4）觀(guān)察圖形可知旋轉(zhuǎn)中心．故答案為．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為等邊經(jīng)過(guò)平移或軸對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)都可以得到．（1）沿軸向右平移得到，則平移的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度；與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是；繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)角度可以是度．（2）連接，交于點(diǎn)，求的度數(shù)．【解答】解：（1）沿軸向右平移得到，則平移的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度；與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是軸；繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)角度可以是120度；故答案為：3，軸，120；（2）連接，交于點(diǎn)，由（1）得：，，，故，則．16．在平面直角坐標(biāo)系中，，，（1）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）將△向右平移6個(gè)單位得△，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）從到△能否看作是繞某一點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換？若能，則旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為在旋轉(zhuǎn)變換中所掃過(guò)的面積為．【解答】解：（1）取點(diǎn)，可知，，三點(diǎn)同一直線(xiàn)上，所以為直角三角形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，易知與軸重合，軸，即橫坐標(biāo)的數(shù)值等于的長(zhǎng)度加上的長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)等于的長(zhǎng)度，又位于第二象限，故的坐標(biāo)為．；（2）由（1）可知，的坐標(biāo)為，向右平移6個(gè)單位得△，的橫坐標(biāo)向右平移6個(gè)單位，即的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．；（3）連接，，易知的斜率為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以其中垂線(xiàn)的方程為，的中垂線(xiàn)為，與聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為．掃過(guò)的面積．17．如圖，三角形是由三角形經(jīng)過(guò)某種變換后得到的圖形．①分別寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，從中你發(fā)現(xiàn)了什么特征？請(qǐng)你用文字語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)．②根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的特征，解答下列問(wèn)題：若三角形內(nèi)有一點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后，在三角形內(nèi)的對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)為，求關(guān)于的方程的解．【解答】解：①；；；；；；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)為一條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；②由①得；；解得：；；代入方程可得：，解得：．18．今后你將大量遇到用坐標(biāo)的方法研究圖形的運(yùn)動(dòng)變換．如圖1，在已建立直角坐標(biāo)系的方格紙中，圖形的頂點(diǎn)為，，，要將