九年級數(shù)學(xué)上冊專題24 定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓（解析版）

/專題24定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓1．如圖，已知，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：如圖，，點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心，以的長為半徑的圓上；，，，，而，，故選：．2．如圖，在四邊形中，，則的大小是A． B． C． D．【解答】解：由，，則可添加輔助圓，有，故選：．3．如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則線段的最小值為A．2 B． C．3 D．【解答】解：連接，點(diǎn)和關(guān)于對稱，，在以圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最短，，，，故選：．4．如圖，正方形中，為中點(diǎn)，，，交于，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接、．，，，，，是等邊三角形，，點(diǎn)是的外接圓的圓心，，四邊形是正方形，，，，，，，．解法二：連接．易知，故選：．5．如圖，已知等邊的邊長為8，以為直徑的圓交于點(diǎn)．以為圓心，長為半徑作圖，是上一動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的長為A． B． C． D．12【解答】解：點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)在以為圓心的圓上運(yùn)動，要使最大，則過，連接，是等邊三角形，是直徑，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，故，故選：．二．填空題（共6小題）6．如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，的最大值為．【解答】解：為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，是的中位線，，最大值時(shí)，取最大值，此時(shí)、、三點(diǎn)共線，此時(shí)在中，，，的最大值是．故答案為：．7．如圖，四邊形中，，且，若，則，．【解答】解：，點(diǎn)，，在以為圓心的圓上，，，，，，．故答案為：，．8．如圖所示，，，則．【解答】解：，、、三點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上．，．故答案為：．9．如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則，．【解答】解：連接，、分別是、的中垂線，，、、在以為圓心，為半徑的圓上，，，，，，，又，．故答案為：，．10．如圖，，如果是的倍，那么是的倍．【解答】解：，點(diǎn)、、在以為圓心的圓上，，，，，故答案為：11．如圖，矩形中，，，是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，，沿翻折形成，連接、，則的最小值是，點(diǎn)到線段的最短距離是．【解答】解：連接，作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，在中，由勾股定理得，，的最小值為，，四邊形是矩形，，點(diǎn)到線段的最短距離是2，故答案為：，2．三．解答題（共9小題）12．如圖，在中，，過點(diǎn)作，，連接交于點(diǎn)．是的中點(diǎn)，連接交于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，且，求四邊形的面積．【解答】解：（1）如圖1中，，，，，是等邊三角形，，，、、三點(diǎn)在上，．（2）如圖2中，連接．，，，，垂直平分，，設(shè)，則，，，，，，，在中，，，，．13．如圖，，，，求的度數(shù)．【解答】解：，，，在以為圓心，為半徑的圓上，，，，，．14．圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)所組成的圖形．（1）已知：如圖1，，請利用圓規(guī)畫出過、．三點(diǎn)的圓．若，則．如圖，中，，，．（2）已知，如圖2．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將沿方向平移2個(gè)單位長度，點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，求四邊形的面積和的大小．（3）如圖3，將邊沿方向平移個(gè)單位至，是否存在這樣的，使得直線上有一點(diǎn)，滿足且此時(shí)四邊形的面積最大？若存在，求出四邊形面積的最大值及平移距離，若不存在，說明理由．【解答】（1）以為圓心，為半徑作輔助圓，如圖，，，，故答案為．（2）連接，，如圖，，中，，，．，，．為斜邊中點(diǎn)，，線段平移到之后，，，四邊形為菱形，，，，且，四邊形為直角梯形，，（3）如圖所示，當(dāng)邊沿方向平移2個(gè)單位至?xí)r，滿足且此時(shí)四邊形的面積最大，此時(shí)直角梯形的最大面積為，．15．在中，，，、分別平分和，求證：．【解答】解：連接，取中點(diǎn)，連接，，，，、分別平分和，，，在和中，，分別是斜邊的中線，，，，、、、四點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，，是等腰直角三角形，．16．如圖，在中，，垂直平分，且，連接（1）求證：；（2）設(shè)交于點(diǎn)，若是等腰三角形，求的度數(shù)．【解答】解：（1）證明：作的外接圓，延長交圓于點(diǎn)，連接、，如圖所示，則有．垂直平分，，，，是等邊三角形，．，，點(diǎn)為所作圓的圓心，．（2）①若，則．，．，，．，，解得：②若，同理可得：．③，此時(shí)與重合，則與重合，不符合題意，故舍去．綜上所述：當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為或．17．【閱讀】輔助線是幾何解題中溝通條件與結(jié)論的橋梁．在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助線，顯得獨(dú)特而隱蔽．性質(zhì)：如圖①，若，則點(diǎn)在經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓上．【問題解決】運(yùn)用上述材料中的信息解決以下問題：（1）如圖②，已知．求證：．（2）如圖③，點(diǎn)，位于直線兩側(cè)．用尺規(guī)在直線上作出點(diǎn)，使得．（要求：要有畫圖痕跡，不用寫畫法）（3）如圖④，在四邊形中，，，點(diǎn)在的延長線上，連接，．求證：是外接圓的切線．【解答】解：（1）如圖②，由，可知點(diǎn)，，在以為圓心，為半徑的圓上．所以，．（2）如圖③，點(diǎn)，就是所要求作的點(diǎn)．（3）如圖④，取的中點(diǎn)為圓心，為直徑作圓，則是的外接圓；由，可得點(diǎn)在的外接圓上．．，．，．．即．是外接圓的切線．18．在中，，，，分別是邊，的中點(diǎn)，若等腰繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰△，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，記直線與的交點(diǎn)為．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，線段的長等于，線段的長等于；（直接填寫結(jié)果）（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：，且；（3）求點(diǎn)到所在直線的距離的最大值．（直接寫出結(jié)果）【解答】（1）解：，，，分別是邊，的中點(diǎn)，，等腰繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰△，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)時(shí)，，，，；故答案為：，；（2）證明：當(dāng)時(shí)，如圖2，△是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，在△和△中，△△，，且，記直線與交于點(diǎn)，，，；（3）解：如圖3，作，交所在直線于點(diǎn)，，在以為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)所在直線與相切時(shí)，直線與的交點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)四邊形是正方形，，則，故，則，故點(diǎn)到所在直線的距離的最大值為：．19．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求點(diǎn)到邊距離的最小值．【解答】解：如圖，延長交于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)到邊距離的最小值為1.2．20．如圖，中，，，過點(diǎn)任作一條直線，將線段沿直線翻折得線段，直線交直線于點(diǎn)．（1）小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：，、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上．．（2）若，求的長．（3）線段最大值為；若取的中點(diǎn)，則線段的最小值為．【解答】解：（1），、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上，，故答案為：，45；（2）由折疊可知，垂直平分