江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

南通市通州區(qū)金沙中學(xué)高二年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷2021年11月5日命題人：審題人：試做人：時(shí)間：120分鐘分值：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C.2.已知方程－＝1表示雙曲線(xiàn)，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方程表示雙曲線(xiàn)列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由題意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.故選：C3若直線(xiàn)與圓相交，則點(diǎn)（）A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.以上都有可能【答案】B【解析】【分析】利用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的關(guān)系確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑，即：，即，據(jù)此可得：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.故選：B.4.已知點(diǎn)為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，分別為圓與圓上的點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.6 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】分別求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，所以，當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，故的最小值為.故選：C.5.若橢圓或雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為，且存在，則稱(chēng)此橢圓或雙曲線(xiàn)存在“點(diǎn)”，下列曲線(xiàn)中存在“點(diǎn)”的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出滿(mǎn)足條件時(shí)的和，再求出，驗(yàn)證，，能否是三角形的三邊長(zhǎng)，即可得．【詳解】，則，若是橢圓，則，，，若是雙曲線(xiàn)，則，，A中橢圓，，，，，不存在；B中橢圓，，，，，不存在C中雙曲線(xiàn)，，雙曲線(xiàn)上點(diǎn)到到右焦點(diǎn)距離的最小值是，，，，構(gòu)成，存在“點(diǎn)”，D中雙曲線(xiàn)，，，，，，不存在故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義“點(diǎn)”，解題方法是弱化條件，求出滿(mǎn)足部分條件的點(diǎn)具有的性質(zhì)，驗(yàn)證是否滿(mǎn)足另外的條件：構(gòu)成三角形．從而完成求解．6.設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為一邊作正方形，然后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，從而求出的取值范圍.【詳解】以為一邊作正方形，若對(duì)角線(xiàn)與圓有交點(diǎn)，則滿(mǎn)足條件存在，此時(shí)正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，即，所以，所以，所以.故選：D.7.若橢圓上的點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，且，則的斜率為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】點(diǎn)代入橢圓方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離和，解得，由，得，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得到，聯(lián)立消去即可求出【詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓，設(shè)：設(shè)因?yàn)椋杂傻脛t結(jié)合，聯(lián)立消去解得故選：B.【點(diǎn)睛】在運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí)，需要做到：①凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多.8.已知雙曲線(xiàn)：（，）的左右焦點(diǎn)分別為、、A為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于、兩點(diǎn)，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，設(shè)，則，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，得出，，根據(jù)，再利用余弦定理求出，之間的關(guān)系，即可得出雙曲線(xiàn)的離心率．【詳解】由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為．設(shè)，則，由，解得或，∴，．又為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，則，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，則，所以，則，即，所以∴．故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義求解．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.直線(xiàn)分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則△PAB面積的可能值是（）A. B.2 C.4 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由題意可知：，，求出的長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為圓心到直線(xiàn)的距離加上一個(gè)半徑，最小值為圓心到直線(xiàn)的距離減去一個(gè)半徑，再結(jié)合三角形面積公式即可求出面積的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案．【詳解】解：由題意可知：，，則，圓的圓心為，半徑，則圓心到直線(xiàn)的距離為，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，，即，，又，，，即面積的取值范圍是，，結(jié)合選項(xiàng)可知，面積的可能取值是2或4或6．故選：BCD．10.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，則（）A.時(shí)，滿(mǎn)足的點(diǎn)有2個(gè) B.時(shí)，滿(mǎn)足的點(diǎn)有4個(gè)C.的周長(zhǎng)等于 D.的最大值為a2【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)和，橢圓中使得最大的點(diǎn)位于短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，利用余弦定理與基本不等式即可得到答案；對(duì)，結(jié)合橢圓定義及和的大小關(guān)系即可得到答案；對(duì)，結(jié)合橢圓定義及基本不等式即可得到答案.【詳解】對(duì)和，又又當(dāng)時(shí)，，兩個(gè)短軸端點(diǎn)恰能使，正確；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，為鈍角，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在四個(gè)象限各有一個(gè)點(diǎn)能使，正確；對(duì)，，的周長(zhǎng)為，錯(cuò)誤；對(duì)，，，正確.故選：.11.設(shè)、分別是雙曲線(xiàn)：的左右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的焦距是C.的離心率為 D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，則，，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義和離心率的公式可求得離心率，從而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，，離心率，選項(xiàng)C正確，∴，，選項(xiàng)A正確，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，設(shè)，將代入得，的面積為，選項(xiàng)D正確，故選:ACD.12.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則C.若，則的最小值為D.若，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線(xiàn)方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)知A錯(cuò)誤；直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知B正確；根據(jù)過(guò)焦點(diǎn)可知最小值為通徑長(zhǎng)，知C錯(cuò)誤；利用拋物線(xiàn)焦半徑公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，知D正確.【詳解】解：拋物線(xiàn)，即，對(duì)于A，由拋物線(xiàn)方程知其焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，直線(xiàn)斜率存在，設(shè)其方程為，由，消去整理得，，，故B正確；對(duì)于C，若，則直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為拋物線(xiàn)的通徑長(zhǎng)，故C正確；對(duì)于D，，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】先求出兩圓的公共弦直線(xiàn)的方程，再利用圓的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】由題得兩圓的公共弦直線(xiàn)的方程為，圓的圓心為（1,2），半徑為3，所以圓心到直線(xiàn)的距離為.所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為：14.雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線(xiàn)l過(guò)F1與C的左支和右支分別交于A，B兩點(diǎn)，若x軸上存在點(diǎn)Q使得的角平分線(xiàn)過(guò)F2，且滿(mǎn)足，則C的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合已知得到，利用角平分線(xiàn)定理得到，再結(jié)合雙曲線(xiàn)定義得到一個(gè)關(guān)于m，a的方程，在中利用余弦定理得到另一個(gè)m，c的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立消元即可得到答案.【詳解】如圖所示，由題意可得，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)槠椒郑山瞧椒志€(xiàn)的性質(zhì)定理可得，，所以，，．由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，即①，，所以，所以，即是等邊三角形，所以，在中，，化簡(jiǎn)可得②，由①②可得，所以．故答案為：15.已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】利用拋物線(xiàn)的定義和線(xiàn)段比例關(guān)系，并結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】由拋物線(xiàn)：的方程，易知焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)：，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，如下圖：不妨設(shè)，故，從而，又由拋物線(xiàn)定義可知，，又因?yàn)?，，所以，解得，，所?故答案為：.16.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是___________，內(nèi)切圓面積的最大值是________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求得的周長(zhǎng).將內(nèi)切圓半徑的最大轉(zhuǎn)化為面積最大來(lái)求解，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得面積的最大值，由此求得內(nèi)切圓半徑的最大值，進(jìn)而求得內(nèi)切圓面積的最大值.【詳解】根據(jù)橢圓定義可知的周長(zhǎng)；在內(nèi)，，只要求面積最大值即可，設(shè)，，，則，于是，則，等號(hào)在時(shí)取到．故答案為：；【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的定義，考查橢圓中三角形的面積有關(guān)計(jì)算，屬于難題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知的頂點(diǎn)，AB邊上的中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)方程為，的平分線(xiàn)BN所在直線(xiàn)方程為．求：（1）頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)BC的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由AB中點(diǎn)在上，B在直線(xiàn)上，聯(lián)立方程求出B的坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為的坐標(biāo)，即可求出BC邊所在直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由AB中點(diǎn)在上，可得即，又，聯(lián)立，解得，即；【小問(wèn)2詳解】設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則有，解得，即，∴BC邊所在的直線(xiàn)方程為，即.18.已知橢圓，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，過(guò)的直線(xiàn)l交橢圓C于M?N兩點(diǎn)，且直線(xiàn)l傾斜角為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率及所過(guò)的點(diǎn)列方程組求參數(shù)、，寫(xiě)出橢圓方程.（2）根據(jù)直線(xiàn)與橢圓相交，應(yīng)用相交弦的弦長(zhǎng)公式求，由點(diǎn)線(xiàn)距離公式求到的距離，進(jìn)而求的面積.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，故，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題設(shè)易知：直線(xiàn)l為，聯(lián)立橢圓并整理得：，∴，，則，到的距離為，∴19.已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，與軸相切，被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為．若點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)、，切點(diǎn)分別為，點(diǎn)．（1）求四邊形面積的最小值；（2）直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明．【答案】（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將四邊形面積轉(zhuǎn)化為，從而利用且求得最小值，由此得解；（2）根據(jù)題意得四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得四點(diǎn)所在圓的方程，再根據(jù)弦是四點(diǎn)所在圓與圓的公共弦求得直線(xiàn)的方程，最后結(jié)合直線(xiàn)系方程即可求得定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，圓與軸相切：，點(diǎn)到的距離為：，圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，，所以，，又，，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，與圓相切，，，，易得，所以，圓心到直線(xiàn)的距離，，即（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），四邊形面積的最小值為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，如圖，與圓相切，，，∴，∴四點(diǎn)共圓，圓心為，半徑為，所以四點(diǎn)所在圓的方程為，即，由題知弦是四點(diǎn)所在圓與圓的公共弦，所以?xún)蓤A相減，得直線(xiàn)的方程為,又∵，∴直線(xiàn)的方程為，即，所以由直線(xiàn)系方程可知直線(xiàn)的方程過(guò)和的交點(diǎn)，所以聯(lián)立方程，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).20.已知拋物線(xiàn)：經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，軸.垂足為，求證：.【答案】（1）拋物線(xiàn)的方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求得，由此求得拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，求得、點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法證得.【詳解】（1）由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，即.所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為.（2）由題意知，直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為.將代入，消去得，顯然，設(shè)，，則，.∵，∴是線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，∴，又軸，所以垂足的坐標(biāo)為.則，，所以，所以.【點(diǎn)睛】解析幾何中，要證明兩條直線(xiàn)垂直，可以利用數(shù)量積為零或斜率相乘等于來(lái)證明.21.已知雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為1，且上的任意一點(diǎn)到的兩條漸近線(xiàn)的距離乘積為（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得的平分線(xiàn)與軸或軸垂直？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)使得的平分線(xiàn)與軸或軸垂直.【解析】【分析】（1）由已知得，漸近線(xiàn)為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列方程即可求得，進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)的方程；（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足題意，可得，設(shè)設(shè)，，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去可得關(guān)于的二次方程，得出、代入即可求解.【詳解】（1）由題意可得：，所以雙曲線(xiàn)所以漸近線(xiàn)方程為，設(shè)，則，即，因在雙曲線(xiàn)上，所以，即，所以，解得：，所以雙曲線(xiàn)的方程為：（2）假設(shè)存在，使得的平分線(xiàn)與軸或軸垂直，則可得，，設(shè)，，直線(xiàn)，由可得：，所以，，所以，即恒成立，整理可得：，所以即，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)使得