常微分方程知識點總結(jié)公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)方程叫做微分方程.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)(n階顯式微分方程)微分方程基本概念一般地,

n

階常微分方程形式是階.分類或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁引例2—使方程成為恒等式函數(shù).通解—解中所含獨立任意常數(shù)個數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)條件.n階方程初始條件(或初值條件):階數(shù)相同.特解引例1通解:特解:微分方程解

—不含任意常數(shù)解,定解條件其圖形稱為積分曲線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁定義32.微分方程解（幾何意義）：第3頁轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程第七章第4頁分離變量方程解法:設(shè)y＝

(x)是方程①解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定隱函數(shù)y＝

(x)是①解.則有稱②為方程①隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定隱函數(shù)x＝

(y)也是①解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁形如方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用替代u,便得原方程通解.解法:分離變量:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)齊次方程第6頁內(nèi)容小結(jié)1.微分方程概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程求解辦法:說明:

通解不一定是方程所有解.有解后者是通解,但不包括前一種解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.齊次方程求解辦法:令第7頁找出事物共性及可貫通于全過程規(guī)律列方程.常用辦法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程(如:P263,5(2))

2)根據(jù)物理規(guī)律列方程(如:例4,例5)3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(如:例6)(2)利用反應(yīng)事物個性特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題辦法和步驟機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程通解即即作變換兩端積分得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束該定理易讓我們想起《線性代數(shù)》中一階非齊次線性方程組解構(gòu)造定理。第10頁二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程辦法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.辦法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁思考與練習(xí)鑒別下列方程類型:提醒:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁可降階高階微分方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)一、型微分方程二、型微分方程三、型微分方程第七章解法：降階第14頁一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)通解.型微分方程

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束既不含未知函數(shù)y,也不含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)解法:連續(xù)積分n次，便得通解。第15頁型微分方程

設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程通解二、機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即含自變量x,不含未知函數(shù)y第16頁三、型微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程通解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即具有未知函數(shù)y,不含自變量x第17頁內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程解法——降階法逐次積分令令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負(fù)號.例6例7機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁n階線性微分方程一般形式為方程共性

為二階線性微分方程.例1例2—可歸結(jié)為同一形式:時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復(fù)習(xí):一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁證畢二、線性齊次方程解構(gòu)造是二階線性齊次方程兩個解,也是該方程解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)定理1.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束是不是所給二階方程通解？問題：第21頁說明:不一定是所給二階方程通解.例如,是某二階齊次方程解,也是齊次方程解并不是通解！不過則為處理通解鑒別問題,下面引入函數(shù)線性有關(guān)與線性無關(guān)概念.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁定義:是定義在區(qū)間I上

n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性有關(guān),不然稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性有關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).若存在不全為

0常數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁兩個函數(shù)在區(qū)間I上線性有關(guān)與線性無關(guān)充要條件:線性有關(guān)存在不全為0使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一種恒為0,則必線性有關(guān)(證明略)線性無關(guān)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁定理2.是二階線性齊次方程兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程通解為(自證)

推論.是n階齊次方程

n個線性無關(guān)解,則方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁三、線性非齊次方程解構(gòu)造

是二階非齊次方程一種特解,Y(x)是對應(yīng)齊次方程通解,定理3.則是非齊次方程通解.證:

將代入方程①左端,得②①復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁是非齊次方程解,又Y中具有兩個獨立任意常數(shù),例如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程通解為證畢因而②也是通解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁定理4.分別是方程特解,是方程特解.(非齊次方程之解疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁定理5.是對應(yīng)齊次方程n個線性無關(guān)特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程特解,則非齊次方程通解為齊次方程通解非齊次方程特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁*四、常數(shù)變易法復(fù)習(xí):常數(shù)變易法:對應(yīng)齊次方程通解:設(shè)非齊次方程解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.已知對應(yīng)齊次方程通解:設(shè)③解為③由于有兩個待定函數(shù),因此要建立兩個方程:④機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁⑤令于是將以上成果代入方程①:得⑥故⑤,⑥系數(shù)行列式是對應(yīng)齊次方程解P10目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁積分得:代入③即得非齊次方程通解:于是得說明:將③解設(shè)為只有一種必須滿足條件即方程③,因此必需再附加一個條件,方程⑤引入是為了簡化計算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁情形2.僅知③齊次方程一種非零特解代入③化簡得設(shè)其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③通解:代入③目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁常系數(shù)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七節(jié)齊次線性微分方程

基本思緒:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特性方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第七章第34頁二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①特性方程,1.當(dāng)時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)特解:因此方程通解為(r為待定常數(shù)),①因此令①解為②則微分其根稱為特性根.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第35頁2.當(dāng)時,特性方程有兩個相等實根則微分方程有一種特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特性方程重根取u=x,則得因此原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁3.當(dāng)時,特性方程有一對共軛復(fù)根利用解疊加原理,得原方程線性無關(guān)特解:因此原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解（歐拉公式)第37頁小結(jié):特性方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第38頁若特性方程含k反復(fù)根若特性方程含k重實根r,則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項特性方程:推廣:n階常系數(shù)齊次線性方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第39頁由于n次代數(shù)方程有n個根，而每個根對應(yīng)著通解中一項，且每一項各含一種任意常數(shù)。將上表中各對應(yīng)項相加，就得到n階微分方程通解。小結(jié):解法第40頁內(nèi)容小結(jié)特性根:(1)當(dāng)時,通解為(2)當(dāng)時,通解為(3)當(dāng)時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第41頁思考與練習(xí)求方程通解.答案:通解為通解為通解為作業(yè)P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第42頁常系數(shù)非齊次線性微分方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八節(jié)一、二、

第七章

第43頁二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解構(gòu)造定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解辦法待定形式,代入原方程比較兩端體現(xiàn)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)f(x)兩種特殊形式,第44頁一、

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)

若

不是特性方程根,則取從而得到特解形式為為m次多項式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第45頁(2)

若

是特性方程單根,為m次多項式,故特解形式為(3)

若

是特性方程重根,是m次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特性方程k重根時,可設(shè)特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第46頁簡例第47頁二、第二步求出如下兩個方程特解分析思緒:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程特解第四步分析原方程特解特點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第48頁第一步利用歐拉公式將f(x)變形機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第49頁第二步

求如下兩方程特解

是特性方程k

重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③

特解.②③設(shè)則②

有特解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第50頁第三步

求原方程特解

利用第二步成果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m次多項式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第51頁第四步分析因均為

m次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第52頁小結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特性方程

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第53頁內(nèi)容小結(jié)

為特性方程k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特性方程k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第54頁思考與練習(xí)時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為提醒:1.(填空)

設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第55頁2.

求微分方程通解(其中為實數(shù)).解:特性方程特性根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第56頁3.

已知二階常微分方程有特解求微分方程通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第57頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

第十節(jié)歐拉方程歐拉方程常系數(shù)線性微分方程第十二章第58頁歐拉方程算子解法:

則計算繁!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第59頁則由上述計算可知:用歸納法可證于是歐拉方程

轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第60頁思考:如何解下述微分方程提醒:原方程直接令作業(yè)P3192;6;8

第11節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第61頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一節(jié)微分方程冪級數(shù)解法一、一階微分方程問題二、二階齊次線性微分方程問題微分方程解法:積分法—只能解某些特殊類型方程冪級數(shù)法—本節(jié)介紹數(shù)值解法—計算數(shù)學(xué)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:

第十二章第62頁一、一階微分方程問題冪級數(shù)解法:將其代入原方程,比較同次冪系數(shù)可定常數(shù)由此確定級數(shù)①即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)解.①設(shè)所求解為本質(zhì)上是待定系數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第63頁常系數(shù)線性微分方程組機動目錄上頁下頁返回結(jié)束*第十二節(jié)解法舉例解方程組高階方程求解消元代入法

算子法第十一章第64頁常系數(shù)線性微分方程組解法步驟:第一步用消元法消去其他未知函數(shù),得到只含一種函數(shù)高階方程;第二步求出此高階方程未知函數(shù);第三步把求出函數(shù)代入原方程組