2020-2021學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷三

2020-2021學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（3）

1.設(shè)集合.4="/一140},0={”<（）},且—"l-ZWiWl}，

則n，I

A.IB.2C.2D.4

2.函數(shù)（/-2，-rll的最小值是.）

z-1

A.2B.4C.6D.8

3.函數(shù).，/的圖象大致為,：）

A.x.2iB.x.li

什N11ICrSZ，I_,、

5.右----------,貝!him2n

2Hlic-CUHQ2

A.3B.-C.1D.

443

6.若：r.廠i一則

A.1IB.1?C.iD.i

7.在...1〃「中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

C'—'2<.'''八、ill/>'I.'-61>1111,則「'I

AA.HDB.=或T2kC."D.或M

??J33°6

8.菱形ABC。中，，/?2,zD.4H12lm,將「〃/）沿折起，C點變?yōu)镋點,

當四面體/.一1/30的體積最大時,四面體/..10〃的外接球的面積為II

A.士片B.｝（lrC.f川：？D.、1）下

、“，口?：），給出下列命題，不正確的是：）

9.設(shè)函數(shù)/

A.:i的圖象關(guān)于直線，［對稱

B./I，I的圖象關(guān)于點，］二山對稱

C.把:「I的圖象向左平移個單位長度，得到一個偶函數(shù)的圖象

D./.?的最小正周期為:，且在上為增函數(shù)

10.下列命題中是真命題的有，：）

A.有A,B,C三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的4個體數(shù)為

9,則樣本容量為30

B.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定

的是甲

D.某一組樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則

樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間III二I」：二內(nèi)的頻率為。I

11.在一I/"'中,a",c分別為角4,B,C的對邊，已知’''',S.i,,■

且八3＞則《I

A.B--B.C.a+e?D.,,

/2

12.已知直三棱柱」〃,（1中，」〃,〃「，.i"Lie是AC的中點,

。為.1，的中點.點P是。上的動點，則下列說法正確的是：）

A.當點P運動到打S中點時，直線.1/與平面.1歸（'|所成的角的正切值為'

B.無論點尸在。（'：上怎么運動，都有小

C.當點P運動到中點時，才有與。小相交于一點，記為Q,且

Q/I1

D.無論點P在“上怎么運動，直線.1/與A8所成角都不可能是.41

13.已知、-⑴2,貝八：八2八的值是________.

,13

14.設(shè)向量=（1,一1）,bI-11,若1,I；，則".

第2頁，共20頁

15.若.I,則稱“與：」互為“鄰位復(fù)數(shù)”.已知復(fù)數(shù)與

:2」”互為“鄰位復(fù)數(shù)”，a,b「R,則J-的最大值為______.

16.在正三棱錐SAH'中，」"11((|6,點。是&4的中點，若

則該三棱錐外接球的表面積為.

17.為了落實“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節(jié)約

用水.計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準八噸，

一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費.為了

了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量：單位：

噸將數(shù)據(jù)按照I，h12J…，、山分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直

方圖，其中也以h

II求直方圖中m人的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(shù)，每組

數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表：

設(shè)該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說明理

由；

若該市政府希望使、丁的居民每月的用水量不超過標準八噸，估計x的值，

并說明理由.

頻率

18.在.中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，且加小」￡3

1）求角B；

2）若乙W的面積為2、3,BC邊上的高|,求江

19.已知函數(shù)-rl*6l.-l>0.^>0.（/］的圖象如圖所示.

“I求出函數(shù)/，I的解析式；

n若將函數(shù)/”的圖象向右移動:個單位長度再把所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

?5

:縱坐標不變，得到函數(shù)U中”的圖象，求出函數(shù)“〃?，”的單調(diào)遞增區(qū)間及

對稱中心.

如圖，在四棱錐「中，底面ABC。為正方

形，側(cè)面PA。是正三角形，側(cè)面廠\D,底面ABCQ

第4頁，共20頁

M是PO的中點.

I）求證：」LTL平面PCD；

?求側(cè)面P8C與底面A8C。所成二面角的余弦值.

21.在銳角-1。］中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知“、中2〃八；…

■；I）若“3，b-\7>求c；

Q求”「SiEC?的取值范圍；

22.已知函數(shù)//JPJ.

工71

⑴若〃,I,〃I,求函數(shù)/1f）的定義域和值域;

川I若函數(shù)jJI的定義域為R,值域為此二，求實數(shù)孫〃的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查集合的交集運算，同時考查不等式的解法，考查方程思想和運算能力.

由二次不等式和一次不等式的解法，化簡集合A,B,再由交集的定義，可得”的方程,

解方程可得工

【解答】

解：集合/(r.r'I'H；.\,2,2),

/)|12,riiH)|s-,

由｛jLl1,可得%I,

則。2.

故選：H

2.【答案】C

【解析】解：因為y,lx~?：11,

r-I

2I2―

-2lr11?_,?2：2<r11",?2?i>

x-1Vr-1

當且僅當&r11'，即r2時取等號，此時取得最小值底

故選：C

V匕2,12,2,然后結(jié)合基本不等式即可求解.

本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)試題.

3.【答案】A

【解析】

第6頁，共20頁

【分析】

本題考查了函數(shù)圖象的識別，以及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和「U時函數(shù)值的正負即可判斷.

【解答】

解：函數(shù)y-ri1',定義域為R,

x1+1

則〃一二一?=_/(工)，

(-*)*+1r+1

則函數(shù)，,，，”為奇函數(shù)，故排除C,D,

當U時，yf」。，故排除8,

故選：,4

4.【答案】D

【解析】解：由二匕H，□得rI或j2,

設(shè)/,2」X,則當J；?I時，”門為增函數(shù)，此時1/山，為增函數(shù)，則/r)為

增函數(shù)，

即f,?的單調(diào)遞增區(qū)間為3?\I,

故選：I)

求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可.

本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)

鍵，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：.吧―吧■—2」，

sma-CUKQt4UiQ12

Jane-3,

故選：n

將已知等式左邊的分子分母同時除以，，，、，，，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切得

到關(guān)于:;山，1的方程，求出方程的解得到小口n的值，然后將所求的式子利用二倍角的正

切函數(shù)公式化簡后，將八的值代入即可求出值.

此題考查了二倍角的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及

基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用共規(guī)復(fù)數(shù)的概念得答案.

【解答】

解：由I,，得：I'，I，

I+1(1?1)(11)

故選

7.【答案】C

【解析】解：由正弦定理知，“\,

MinA?mBsinC

?i./>??,

,rJ12abhbSbls即nbc:

由余弦定理知，，J一""1,

2o62ab2

C4HL.ri,

?c--.

3

故選：(

先利用正弦定理將已知等式中的角化邊，再結(jié)合余弦定理，即可得解.

本題考查解三角形的應(yīng)用，熟練掌握正弦定理和余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理

能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：當平面廠〃〃.平面ABO時，E到

平面A3。的距離最大，由于底面84?的面積為

第8頁，共204

定值，

所以此時四面體/..1〃。的體積最大.

設(shè)三角形A3。的外接圓的圓心為（八，半徑，八'2,

2^n121'、,

設(shè)四面體/.的外接球的球心為。，三角形E8。的外接圓的圓心為（人，

可得（川rv2-3211）

所以尸r-OO；I-15,

則四面體右的外接球的面積為、1-/T；--52llr,

故選：J.

考慮當平面/IH）,平面A3。時，此時四面體/..1"。的體積最大.求得三角形A3。

的外接圓的半徑，結(jié)合球的截面性質(zhì)和勾股定理、表面積公式，計算可得所求值.

本題考查四面體廠.1〃。的外接球的面積，考查空間想象能力、運算能力和推理能力，

屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：選項A,令，?卜…Z，則」-?'，k-Z，

32122

?函數(shù)/rI的圖象關(guān)于直線；「?'.,，，-Z對稱，即選項A不正確；

選項8,令匕；兒：，卜Z，則「二'一，1Z，

J62

函數(shù)f，I的圖象關(guān)于點，;，二，T，Z對稱，即選項B不正確；

選項C,把f-的圖象向左平移「個單位長度，得到

V-'ill2（/■I?,-、；“，??.，?：，-<<?2.r,是偶函數(shù)，即選項C正確；

IZ?>（幺

選項￡）,最小正周期/-T,

2

；>--5-尿.5-人句，*fZ，則工€[--+不.不+彳]，k￡Z>

力4412X12￡

函數(shù)77的單調(diào)遞增區(qū)間為二：,「，i-Z，

122122

當4一1）時，函數(shù)J，I的增區(qū)間為，而“不是；：；，的子區(qū)間，即選

項。不正確.

故選：

根據(jù)正弦函數(shù)的中心對稱、軸對稱、周期性和單調(diào)性可分別判斷選項A,B和O；選項

C,由函數(shù)圖象的平移變換法則可判斷選項(■

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及圖象的平移變換，熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、

周期性和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

10.【答案】BD

_9_

【解析】解：對于A,由分層抽樣原理知，樣本容量為“3,所以選項

3+1+2

A錯誤；

對于B,數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)為」?(I-2-3-3-I-53,

6

眾數(shù)為6,中位數(shù)也是3,所以它們的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)相同，選項8正確；

對于C,甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5；

它的平均數(shù)是」\.r,.b-<|-1(?+57,

5

方差為S'?,57iJ，:67.1-.|!17：|-1,?11>汗，：5汁II,

5

這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，所以選項c錯誤；

對于D,由題意知樣本容量為10,樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間I"；內(nèi)的頻數(shù)是4,

所以頻率為“選項O正確.

故選:BD

A中，由分層抽樣原理求出樣本容量的值；

B中，計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)即可；

C中，計算乙組數(shù)據(jù)的方差，與甲組數(shù)據(jù)的方差比較即可；

。中，由樣本容量、頻數(shù)和頻率的關(guān)系，計算即可.

本題考查樣本的數(shù)字特征應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：由斗丁及正弦定理可得，

COKC2a-c

2、：11.1心〃、：】《<一、〃、:

所以.1(g。>'.li//1.<>(1-、:I.'I■/.I,

因為71.1,(I,

第10頁，共20頁

所以G〃，即〃)

2

1

囚國為力、cI,；,lnlv[3“，3v]3，

所以n，3,

因為，，3，

由余弦定理可得，

<1-uc'<1+，-：'：*“,，“??M!),

則”.lv2

故選：.40.

由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡可求8,然后結(jié)合三角形的面積公式及余弦

定理即可進行判斷.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了

運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求直線與平面的夾角，即可判斷

選項A；設(shè)出點P坐標，計算in可判斷選項8；由三角形中位線的性質(zhì)可

得，3〃.10,且即可判斷選項C；根據(jù)已知判斷當點P運動到〃一

中點時，直線與AB所成的角最小，求出其正切值即可判斷選項

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，空間向量的應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，屬

中檔題.

【解答】

解：如圖所示，以8為坐標原點，建立空間直角坐標系”

設(shè).1〃H('=BBi=2,■Al(0,2,2),0(0.0,0).CI(2.0,2)>Bt(0,0.2)

當尸運動到3('i中點時，PiIiili,則廠〔，；”i，

平面.1/九('|的一個法向量為jlMI'Jl

設(shè)直線.I/與平面.I："一所成的角的為〃,

則卜：：lf'-<1r/'.I>''，則〃S'*>

66

所以mu"'「，故A正確；

5

當點P在。。上運動時，可設(shè)/,,，「I,則」/“2.tL，

因為。為.16的中點，則。1.1.1),

所以：1,III，則I了?麗II<所以.1/」川”故B正確；

當點尸運動到中點時，.1/與。相交于一點，記為。，連接P。，13(,，

則P為及('的中點，所以在一14('中，OPb/?!，且［10,

所以券一器T'故,錯；

因為.1〃13,所以直線」/與AB所成的角為一叢.1/,

因為.1“一平面"小(八'，所以為L。一9，，

在I"/力1/中，當/；〃最小，即點P為八］中點時.從」，最小，

計算可得一從」;，最小正切值為'工

2

所以直線.L〃與AB所成角都不可能是;I,故。正確.

故選：」"/)

第12頁，共20頁

13.【答案】

3

【解析】

【分析】

本題考查了二倍角公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)二倍角公式即可求出.

【解答】

解：因為一「，一,，則,1+*加2,

?a山［-<0-—r—--J--百

解得.

3

故答案為：?

?>

14.【答案】5

【解析】

【分析】

本題考查了向量的垂直的條件和向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量垂直的條件可得關(guān)于，〃的方程，解之可得結(jié)果.

【解答】

解：向量丁=(I,—1),~b-(0i+1,2m—4)>若了,亍，

則“><in-1'2mI'N"，

則，〃5,

故答案為7

15.【答案】x.2/7

【解析】解：由題意，a\3.2In】，故32-\3h)2I,

二點打力)在圓，72lJ?1：,)/、:上，

而、M.6表示點到原點的距離，

故-6*的最大值為(勿+(、/5尸+|)*=(1+，7)2=8+2^7.

故答案為：、.2V7.

由題意可得關(guān)于a,6的關(guān)系式，再由其幾何意義求解.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,

是中檔題.

16.【答案】51K

【解析】解：如圖，取AC中點P,連接SP,UP

在正三棱錐S中，￡1SC

SPLAC.

,SPp|BPP，SP、BP平面SP8,

?.4「一平面SPA

S7；-平面SNB,

ACLSB.

又Cl).r.F，AC'f^DCC,AC.DCu平面SAC,

EI-.平面S4C.

又：SBC平面SAB,EFC平面SAB,S〃「|￡FF.

SB.平面S.4c.

?75、一平面SAC,

SILAS，SHS(,

??正三棱錐的三個側(cè)面全等，

.\CSLAS.

(I6，CS^AS>

.I

/.CS-.4S-6x-?)-35/2.

LS>CS、BC兩兩垂直，且4SSH5V2

?可將正三棱錐S補成正方體(.//AC

.正三棱錐、（’外接球的直徑即為正方體.l/〃S（，/〃”的體對角線5〃

?/SH-V3SB=3Vz5.

.正三棱錐的外接球的表面積為、b/廣.2121-力；

*27

求有關(guān)正三棱錐的外接球的問題時，需轉(zhuǎn)化成求對應(yīng)正方體的外接球.正方體的外接球

第14頁，共20頁

半徑即為正方體體對角線的一半.

本題考查學(xué)生的想象能力，利用數(shù)形結(jié)合的方法進行解題，屬于中等難度.

17【答案廨⑴由題意得，

解得“HIS,b(11%

由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(shù)為：

0.5x0.0-11.5x0.0H2.5x0.15+3.5x0J0+1.5x().26卜5.5x0.15+6.5x0.067.5x0.048.5x0

:門由頻率分布直方圖得：

全市居民中月均用水量不低于2噸的頻率為：1??!IMA

全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：

l(MMNM)x(1-0.040.08)-352000.

品.?前6組的頻率之和是讓「1111、,II」,0.15上、、11>5,

而前5組的頻率之和為Im>，」?，II2IU'.II7I：

.5x<6>

由,，/，“it73,解得：1-r.s,

因此，估計月用水量標準為二、噸時，V,的居民每月的用水量不超過標準.

【解析】11由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1,列出方程組，能求出“，/，由頻

率分布直方圖能估計該市居民用水的平均數(shù).

21由頻率分布直方圖先求出全市居民中月均用水量不低于2噸的頻率，由此能求出全

市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù).

”前6組的頻率之和是U、'IK.,而前5組的頻率之和為「、-，，從而

1「6,由u,H<1S5073,能估計月用水量標準為5.H噸時,、-」的

居民每月的用水量不超過標準.

本題考查平均數(shù)、頻數(shù)、用水量標準的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：I)因為A

B

所以由正弦定理可得H

siuDewAainC—ain-dmn(A+B]siuAsin?icaHB*CUHA?nB——am.

可得'in/koiB-^^mA9

因為》」，.「?ii,可得，-it

所以由J.I,可得〃-；

o

門因為-J8('的面積為八夕，BC邊上的高,1〃I,

AH1____________

在Rt^.WH中，可得?-QIBH4m==日，

6

所以2V/3-garninB-；小、：，〃('；?2?:,解得〃「.【、；，，可得

aBHHC-Iv3，

在一.1/“‘中，由余弦定理可得

_______________/

b-/a2，I-2aca?B-\/(l%/3)2+2!-2xl>/3x2x-2^7.

【解析】由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡己知等式，結(jié)合”，可得“

的值，結(jié)合〃r,可得8的值.

，在1卜1〃〃中，由已知利用三角函數(shù)的定義可求c,利用勾股定理可求B”的值，

進而根據(jù)三角形的面積公式可求"C的值，從而可得a,在一.14('中，由余弦定理即可

求得人的值.

本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面積公式，余弦

定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】解：11)由函數(shù)fW的圖象可得|,"“，解得：-!?./

I-/1+b=-2I02

又由,21得：1"，一'

2.2

而了：；)G得：：-4丁-；，人?」Z，=」,，--「

綜上：八/：1、;】J/,?，2

23

：2j顯然6「-36-2,

由Z，得gU)的單調(diào)遞增區(qū)間為+

2b2Jb

第16頁，共20頁

由'A-,*eZ得：對稱中心是（包--.21,k

??212

【解析】Hl由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A和人由周期求出.、，最高點求出，的值,

可得函數(shù)的解析式.

門由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及圖象的對稱性，求出函數(shù)”，,，”的單調(diào)遞增

區(qū)間及對稱中心.

本題主要考查由函數(shù)"I、」._,?，I的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐

標求出A和匕，由周期求出；，最高點求出，的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及圖象的對

稱性，屬于中檔題.

20.【答案】“)證明：在正方形ABCD中，ID.

又側(cè)面PUD一底面ABCD,側(cè)面PAD底面//；^\

AHCI)\D，CD平面ABCZ),

所以一平面PA。，又.11/-平面PAD,5------p-----

所以('/).LV，

因為一是正三角形，M是PD的中點,則,川」，〃,

又D,CD,I'D-平面PCD,

所以.1.1/一平面PCD；

:2)解：取AO,2C的中點分別為E,F,連接EF,PE,PF,

則EFI'D，￡7CD,所以EFL1D，

在正中，PI\i),

因為EFCP/?/:，EF,-平面PEF,

則平面PEF,

在正方形A8C￡＞中，/*',

故川二平面PEF,

所以/,//：是側(cè)面P8C與底面ABC。所成二面角的平面角，

由“)平面PAD,riCD,

則II平面PEF,又，/-平面PAD,

所以//“，

設(shè)正方形ABC。的邊長.1/）一九，則2..PE-\

所以以\卜卜：LF；\不，

則/72、'7

故側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為人「

【解析】，:11利用面面垂直的性質(zhì)定理證明（7）一平面PAD,從而得到（7）一LW，由正

三角形的性質(zhì)可得」\1/〃，再利用線面垂直的判定定理證明即可；

WAD,BC的中點分別為E,F,連接EF,PE,PF,利用線面垂直的判定定理證明

」0一平面尸6凡則可得平面PER由二面角的平面角的定義可知，_，尸/.是側(cè)

面PBC與底面A8C。所成二面角的平面角，在三角形中，由邊角關(guān)系求解即可.

本題考查了線面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的求解，解題的

關(guān)鍵是由二面角的平面角的定義確定所求的角，考查了邏輯推理能力、空間想象能力與

化簡運算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴由0b<nA，得、in』?2fisinA，

則，"B',即"，

24

由余弦定理，/■<?+J-2arcuwO，得：”-”，

即r,k2-仆，解得。I或r2

當「I時，"2（I,則,5」..II,即A為鈍角：舍），

故「2符合.

⑵由U）得〃一；?,所以「

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