2020-2021學年高一數(shù)學下學期第一次月考模擬試卷一（江蘇專用）解析版

sa2020.2021學年高二數(shù)學下學期月考模擬試卷一

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.下列命題中正確的是（）

ULIUUUUUUUUUlULIU

入OA-OB=ABB.AB-BA=Q

UUUUUUUUUUUUUUU

C0AB=0D-AB+BC-DC=AD

【答案】D

UUUUUuu

【解析】對于選項A,OA-OB^BA'故A錯誤;

對于選項B,A8-5A=-8A—84=-284，故B錯誤；

UUU1

對于選項C,0.AB=0，故c錯誤；

UUUUUUUUUlUUIUUUUUUU,,,,

對于選項D,AB+BC-DC^AC+CD^AD>故D正確?故選：D.

【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，屬于基礎題.

2.已知：a,夕均為銳角，tana=gtanfi=；，則a+Q=（）

7t7171

A.-B.-C.一

643

【答案】B

【解析】由于％夕均為銳角，〃〃也=3，

7T冗

所以0〈0+/7<5+萬=）.

所以癡（a+尸）=丁嗎=若”

1-taiwctanp

-6

71

所以a+〃=N?故選：B.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)關系式的恒等變換，和角公式的運用，主要考查學生的運算能力和轉換能力

及思維能力，屬于基礎題.

3.已知向量M二(九一1),b=(3,—4)?月.111=1,則()

A.-4B.1C.4D.7

【答案】C

【解析】因為|R=1,所以機=0,

所以M-5=0x3+(—l)x(T)=4,故選：C

【點睛】本題考查了平面向量的模公式以及平面向量數(shù)量積的坐標運算,屬于基礎題.

4.若在口45。中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,A=60°，a=2娓,匕=4,則3=()

A.45°或135°B.135°

C.45°D.以上都不對

【答案】C

【解析】在口ABC中，由正弦定理可得，一=」一得2^_=_一,

sinAsin8sin60°sin8

解得sin8=，Z,因為b<a,所以3cA,所以3=45。，故選:C.

2

【點睛】本題考查了正弦定理，屬于基礎題.

5.已知a是第四象限角，且sina=—或，則cos(2a+X1=()

5I4；

A0R6c772D7近

10101010

【答案】D

【解析】因為a是第四象限角，且sina=-亞，

5

所以cosa>

5

所以sin2a=2sinacosa=——，cos2a-2cos?a-1=一

所以cos26z+—^=cos2?cos--sin2?sin—=^^(-+—)=-^^-.故選：D

(4)4425510

【點睛】本題考查了由同角三角函數(shù)關系求出8sa,利用二倍角公式求出cos2%si〃2a,代入兩角和余

弦公式求解即可,屬于基礎題.

6.古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值

也可以用2sinl8°表示.若實數(shù)〃滿足4sin218°+"=4,則"'二()

8??2sin218

「好D6

A.x_z?---------JLz?---------

442

【答案】A

【解析】根據(jù)題中的條件可得

1—sinl8°_1—sin18。_l-sinl8°_l-sinl8°

8n2sin218°一8sin218°(4-4sin218°)-8sin218°x4cos218°-8sit?36°

l-sinl8°l-sinl801

1—cos72°4（1—cos720）4-故選：A.

''

【點睛】本題考查了以數(shù)學文化為背景，涉及二倍角公式、三角誘導公式，屬于基礎題.

7.最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人是我國西周數(shù)學家商高，商高比畢達哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理，如圖所示,

口ABC滿足“勾三股四弦五”，其中股A8=4,。為弦BC上一點（不含端點），且△A3。滿足勾股定理,

貝Deos〈通，而>=（）

34

A.B.一

55

35

C.D.—

412

【答案】A

【解析】由題意可知4DLBC,所以根據(jù)等面積轉化可知|剛x|AC|=|Bqx|Aqo4x3=5x|A￡)|,

,.12—-―./―.—.X—.―.2―.—.ABADAD\AD\3

解得AO=—ABAD={AD+DB)AD=AD,cos<AB,AD>=....=——；=J~

5、>何叫明《西45

故選:A.

【點睛】本題考查了以數(shù)學文化為背景,首先根據(jù)直角三角形等面積公式計算斜邊的高的長，再根據(jù)向

量數(shù)量積公式轉化，并計算cos〈荏，旗〉的值,屬于中檔題.

8.己知M是口ABC內(nèi)的一點，且通.而=46，N84C=30°,若口兒睡口0C4和的面積分

19

別為1,x,y,則一+一的最小值是（）

xy

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【解析】由福?衣=46，N8AC=30°,

可得|通,前卜8,故SMC=||AB|-|XC|-sinABAC=2,

即x+y+l=2,x+y=l,且X>0,y>0,

19.19、，、y9x1八Jy9%［八］右

故—?—=(—?—)?(x+y)=—?-----F10>2/----------1-10=16,

xyxyxyVxy

y9x

當且僅當上=——，即y=3x時取等,

故答案為：16.

【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積、三角形面積公式以及利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

二、選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列各式中，值為丑的是（）

2

1+柩〃15°

A.2s加15°cosl5°B.

2(1-315。)

31am50

C.1-2s加215°D.

1-ran215°

【答案】BCD

【解析】對于選項A,2s加15°cos15°=sin30°=—

2

■舊

\+tanl5°tan45°+tanl501

對于選項B,---------------------------------二-tan(45°+15°)=-ton60°=^-

2(1—山〃15。)2(l-ton45otonl50)2

對于選項C,1-2sin2\5°=cos300=—

2

?二,正記八3柩〃15°32tan1503ono&

對于選項D,---------——=-------------——二一?必〃30°二二一.

\-tarr\5021-Ztzn215022

值為3

的是BCD,故選：BCD.

2

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化筒求值，考查二倍角公式的應用，屬「基礎題.

品,則（

10.已知向量m=(1,0),n=)

A.|m|=V2|^|B.(m-n)//n

D拓與元的夾角為:

C.(m—n)±/i

【答案】ACD

【解析】V^=(1,0)，n=

2

??|m|=1>|也.

n|=52，

?,*|m|=A/2I〃I，故A正確;

4_j_

*/m-n=J，-2

肩一3與［不平行，故B錯誤;

又(〃?一〃)?〃=(),C正確;

mn_y/2

*.*cos(m,li)-，又〈〃4ri)G[0,7r],

|加|2

兀

；?加與”的夾角為一，D正確，故選：ACD

4

【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算、平面向量平行與垂直的判定以及夾角公式，屬于基礎題.

11.下列命題中，正確的是（）

A.在中，若A>B,則sin/l>sinB

B.在銳角三角形46C中，不等式sin4>cos6恒成立

C.在笫中，若acosA=bcosB,則△力比'必是等腰直角三角形

D.在中，若460°,S=ac,則必是等邊三角形

【答案】、ABD

ab

【解析】對于選項A,在成■中，由正弦定理可得一一=一-所以sinJ>singa>gA>B,故A

sinAsinB

正確;

對于選項B,在銳角三角形ABC中",8￡（0,5）,且A+B>—t則1~>力>1■一反>0,所以sinJ>sin^——

=cos8故B正確；

對于選項C,在△47。中，由acosA=bcosB,利用正弦定理可得sin2J=sin26,得至lj2力=24或2A=n

一28故力=8或力=>1?一用即△/!/'是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；

對于選項D,在△力8c中，若8=60°,6=ac,由余弦定理可得，Z?J=a+c-2accosB,所以ac=d'+/

—ac,即（a—c）2=0,解得a=c.又8=60°,所以△/1比必是等邊三角形，故D正確.故選:ABD.

【點睛】本題考查了正弦定理以及余弦定理的應用，考查了三角形形狀的判定,屬于基礎題.

12.下列關于平面向量的說法中正確的是（）

A.設3,B為非零向量，則“入片是平+閘=口一沖’的充要條件

B.設2,否為非零向量，若2%〉0，則坂的夾角為銳角

rrrrrr

C.設Z，b,"為非零向量，則（a.》）c=a..c）

D.若點G為口ABC的重心，則說+四+k=。

【答案】AD

【解析】對于選項A,因為歸+q=戶一萬|<=>（￡+萬>=（a-b）2<^>a-b=O

所以“a工5”是“歸+囚=J--?”的充要條件，A正確；

對于選項B,若￡出〉0,則Z，B的夾角為銳角或零角，B錯誤；

對于選項C,（如制；表示與"共線的向量，表示與￡共線的向量，所以兩者不一定相等，故C錯

誤；

對于選項D,如圖，設BC的中點為。，因為G為口ABC的重心，

所以而=2也=9+%，即亂+既+覺=6,D正確.

故選：AD

G

BD

【點睛】本題考查了平面向量的應用，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

4

13.已知a為第二象限的角，sina=—,則tan2a=_

【答案】y

4

【解析】〈a為第二象限的角，且sina=g,

coscr=—Jl—sin2a=——,得tana—.

5cosa3

_8

2tana324

tan2a=------5—=—==——.

X-tan^a上37

~~9

24

故答案為：—.

【點睛】本題考杳了三角函數(shù)的化筒求值，考查同角三角函數(shù)基本關系式及二倍角的正切，屬于基礎題.

14.若三點A（2,2）,3（。,0）,C（。力）（。>03>0）共線，則G+方的最小值為

【答案】8

【解析】因為三點A（2,2）,8（。,0）,C（。⑼（。>08>0）,麗=（2—兄2），國=（2,2—力，

所以麗與亂共線，所以（2-。）（2-力-4=0,則2（々+〃）=必

因為2（4+加=a/?W（"："）-，當且僅當a=b時等號成立,

又a>0,b>0,故解得a+bN8,所以。=8=4時，a+b的最小值為8.

故答案為：8.

【點睛】本題考查/由：點共線得出6關系，然后山基本不等式求最小值，屬于基礎題.

LUJLU4

15.如圖，在四邊形A8CQ中，ZB=60°,AB=2,BC=6,且他=應-而.而=一2則實數(shù)力的

.UULUli

值為.,若M,N是線段8C上的動點，且機頊=1,則麗?麗的最小值為

D

BM

【答案】；7

UUIUUUU1UUIUuuu

【解析】因為AT>=4BC，所以AD//8C，

因為N8=60°,所以NBA。=120。，

所以而?荏=|和川麗|cosl20。

=-^2|BC|-|^B|=-12X6X2=-2=>2=1；

建立如圖所示的坐標系xoy,

因為NB=60°,AB=2,BC=6,

可得A(0,@,O(2,?,

iUUUU.

設〃(加,0),因為慳N|=1,則N(W+1,()),

所以麗7=(m,一6)，兩

AM-DN=m[m-\]+{j3^=m2—7774-3=+s

44

當m=2.時等號成立，

2

所以麗乙麗的最小值為一，

故答案為：—.

34

【點睛】本題考查了建立直角坐標系，利用坐標研究向量數(shù)量積,屬于中檔題.

16.在銳角口48。中，a2-b2=bc>則」-----1+2sinA的取值范圍為.

tanBtanA

【答案】(W，3

【解析】??,a2-b2=bc<利用余弦定理可得：b2+c2-2bccosA-b2=bc'

HPc2-2bccosA-bc>c-2bcosA=b

由正弦定理可得：sinC—2sinBcosA=sin6,sin(A+5)-2sinScosA=sin5,

即sinAcos8-sin5cosA=sinB,即sin(A-B)=sinB

乂DABC為銳角三角形，=即A=2B

7t

0<2B<-

2Tl,7t

—<B<——<A<—

兀6432

0一38<一

2

?11c?.sin(A-B).sin(2B-B).1.

Q------------P2sinA=----------F2sinA=-----------F2smA=-----i-2smA

tanBtanAsinBsinAsinBsinAsinA

,n.7iJ3

又；7<A<7，,?1——<sinA<1

322

☆r=sinA曰<r<l),則/(/)=；+2/當

山對勾函數(shù)性質知，/⑺=；+2/在rG苧,1上單調(diào)遞增,

【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等變換以及利用對勾函數(shù)性質研究取值范圍，注意角的

范圍，屬于梢難題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量a=(1,2),b=(—3,k).

(1)若二〃)，求w的值；

(2)若Z_!_(￡+26)，求實數(shù)女的值;

(3)若3與B的夾角是鈍角，求實數(shù)出的取值范圍.

i3

【答案】(1)375(2)k=-(3)kV—且左7-6.

、42

【解析】(1)因為向量3=(1,2),石=(—3,4)，且二〃力，

所以lx%—2x(-3)=0,解得1=一6,

所以忖=3)-+(-6)-=3卡；

(2)因為2+2石=(—5,2+2攵)，且［“￡+24，

所以lx(—5)+2x(2+2&)=0,解得出=；；

(3)因為￡與石的夾角是鈍角，則25Vo同i與B不共線.

Q

即1x(—3)+2xZV0且R聲一6,所以k<］且左。一6.

【點睛】本題考查了平面向量坐標運算的加減、數(shù)乘，平行、垂直的坐標表示，還考查了兩向量夾角為鈍

角，轉化為數(shù)量積小于零且不共線的問題，屬于基礎題.

18.如圖，在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一個水聲監(jiān)測點，B、C兩點到A的距離分別為20

千米和50千米，某時刻，8收到發(fā)自靜止目標尸的一個聲波信號，8秒后4C同時接收到該聲波信號，

已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.

(1)設A到P距離為無千米，用》表示8、C到尸的距離，并求”的值；

(2)求P到海防警戒線AC的距離.

【答案】(1)x=31；⑵4幅

【解析】(1)依題意，有PA=PC=x,PB=x-1.5x8=x-12.

，An.niADcc/n.n+AB2-PB2%2+2Q2-(x-12)23x+32

在△PAB中，AB=20，cosNPAB=---------------=---------------—=------，

2PAAB2x-205x

222222

同理在APAC中，AC=50,cosN尸AC=P4+AC~-=PC=x+50-Lx=‘25

2PA-AC2x-50x

VcosZ.PAB=cosZPAC,.?.弘+犯=里,解得：x=31.

5xx

25

(2)作尸O_LAC于。，在A4DP中，由cos/PAO=——

31

得sin/PAD=71-cos2ZPAD=生且，工PD=PAsin/PAD=31x拽1=千米.

3131

故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4&T千米.

【點晴】本題考查了解三角形的實際應用問題，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的應用

以及三角形的高線的應用等知識點的考查，著重考查了分析問題和解答問題的能力以及邏輯推理與運算能

力，屬于基礎題.

19.已知sin(a+m)=——><2€(彳,左).

4102

(I)求COS2的值；

(II)求sin(21一工)的值.

4

【答案】(I)--；(II)-IZ^.

550

TT

【解析】(1)由sina+-一也得，即sina+cosa=M.①sin?a+cos2a=1②

l4~10

34(713

山①②解得cosa=-《或cosa=因為aE|一，7C,所以cosa=-y

\兀34

(11)因為aw1/,兀cosa=--,sina=

5

42427

sin2a=2sinacosa=2x—x-cos2a=2cosa-l=2x

525

17m

sin2a--=sin2acos——cos2asin一

I4)4450

【點晴】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系、兩角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的應用，屬于基

礎題.一般sina+cosa,sina-cosa,sina*cosa,這三者我們成為三姐妹，結合sii？a+cos2a=1，

可以知一求三，屬于基礎題.

20.在A48c中，滿足題_L近，”是中點.

(1)若|福|=|而求向量福+2前與向量2瓶+〃的夾角的余弦值;

（2）若。是線段AM上任意一點，且|通|=|而|=應，求次?麗+反?礪的最小值.

41

【答案】(1)—；(2)——.

52

（而+2痔（2通+近）

【解析】（）設向量通+才仁與向量道+方的夾角為，

12226cos9=鄧+2相12福+碼，令

（2）?.?網(wǎng)=|同=四，.\|AM|=1,設網(wǎng)=尤，貝.西|1-X.

而關+戈=2戰(zhàn)，所以訴（而+玩）=2方?西

I.當且僅當x=g時，麗?（而+玩）的最小值是一；.

=2圖.|西cos萬=2x2—2x=2x——

I2

八a

【點晴】本題考查了（1）由向量的夾角公式cos6=尸而可求；吃）設|詞=元,則=1—X,

\a\\b\

UUUUUUUUL1_,.,,

OB+OC=2OM，由此可用犬表示出OA-O3+OC-OA，從而可得最小值，屬于中檔題?

21.已知g>0,1=(J3s\ncox.-coss),b=(coscox,cos5),/(x)=a-5,x"?是y=/(x)-;的其

中兩個零點，且k1-w|min="

（1）求〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若ae]。,]]"—J=—,求sin2a的值.

--+^,-+^KeZ)；(2)2叱、

【答案】（1）

63Jv50

立sin2s-1+cos2s

【解析】(1)/(x)=6sin0xcos?yx-cos%x=

22

—sin2<yx--cos2<yx—工=sinj25一生]一工

222I6j2

?.?%,工2是函數(shù)3;=/（犬）一1=5足|2血一看）-1的兩個零點,

即加當是方程sin2ox—2=1的兩個實根,且歸_%L=%

21

:.H二冗、/.269=—=2,貝！J切=

71

.?./(x)=sin(2x-^)一；

2

TTTTTTTTTT

令---F2k冗<2x-----4—F22乃，kGZ,得-----Fkjt<xW—Fk?i、kGZ.