《管理運(yùn)籌學(xué)》習(xí)題7解答

《管理運(yùn)籌學(xué)》習(xí)題7解答1.某修理店只有一個(gè)修理工人，來(lái)修理的顧客到達(dá)次數(shù)服從泊松（普阿松）分布，平均每小時(shí)4人，修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需6min。求：（1）請(qǐng)畫(huà)出各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖，并寫(xiě)出狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程。（2）修理店至少有一個(gè)顧客的概率。（3）店內(nèi)有3個(gè)顧客的概率。（4）在店內(nèi)顧客的平均數(shù)和平均逗留時(shí)間。若工人在修理店每逗留1小時(shí)平均喪失工作收入100元，修理服務(wù)費(fèi)用正比于其服務(wù)率為每小時(shí)4元。假定顧客到達(dá)率不變，為使得店鋪和顧客的總損耗費(fèi)用最低，求該店的最優(yōu)服務(wù)率和平均最低費(fèi)用。（5）平均等待修理（服務(wù)）時(shí)間。（6）必須在店內(nèi)消耗15min以上的概率。（7）假設(shè)若店內(nèi)已有3個(gè)顧客，那么后來(lái)的顧客即不再排隊(duì)。這時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)的模型類(lèi)型是什么？并求店內(nèi)空閑的概率、在店內(nèi)平均的顧客數(shù)、在店內(nèi)平均逗留時(shí)間。（8）若顧客平均到達(dá)率增加到每小時(shí)12人，仍為泊松流，平均修理時(shí)間不變。是否需要增加工人？求修理工為2人時(shí)店內(nèi)有兩個(gè)或更多顧客的概率。注：以上各問(wèn)是無(wú)關(guān)聯(lián)的。解：入=4人/小時(shí)，卩=60/6=10人/小時(shí)，P=入/卩=0.4。（1）此系統(tǒng)為M/M/1排隊(duì)模型。各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖如下：入=4入=4狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程，如下：{-4P0+1OP]=O4Pn-1+10Pn+1-14Pn=0(n^1)修理店至少有一個(gè)顧客的概率等于1-P0；PO=1一p=1-0.4=0.6???1-P0=1-0.6=0.4P3=P3(1—p)=0.43(1—0.4)=0.0384店內(nèi)顧客的平均數(shù)Ls=入/(卩-入)=4/(10-4)=2/3(人)一個(gè)顧客的平均逗留時(shí)間：Ws=Ls/入=2/3三4=1/6(小時(shí))=10(分鐘)；系統(tǒng)單位時(shí)間總耗費(fèi)T(u)=100L+4u=100?4/(u-4)+4usw令dT(u)/du=-400/(卩-4)2+4=0解得u*=14(人/小時(shí))；此時(shí)，系統(tǒng)每小時(shí)平均總耗費(fèi)最低，為T(mén)*(u)=100?4/(14-4)+4X4=56(元/小時(shí))平均等待修理(服務(wù))時(shí)間W=W-1/u=1/6-1/10=1/15(小時(shí))=4(分鐘)qs15分鐘即1/4小時(shí)。P(Ws>l/4)=l-P(WsWl/4)=l-F(Ws)=l-(l-e-(io-4)?1/4)=e-(io-4)?1/4=0.2231(7)這是排隊(duì)系統(tǒng)是M/M/1/N模型。店內(nèi)空閑的概率為p0=(1-p)/(1-P3+i)=(1-0.4)/(1-0.44)=0.6158店內(nèi)平均顧客數(shù)為L(zhǎng)s=p/(l-p)-(3+l)p3+1/(1-p3+1)=0.4/(1-0.4)-(3+1)?0.43+1/(1-0.43+1)=0.5616(人);在店內(nèi)平均逗留時(shí)間W=L/X=L/[u(1-P)]=0.5616/[10(1-0.6158)]=0.1462(小、時(shí))sses0⑻此時(shí)卩=入/u=12/10=1.2。隊(duì)列將越來(lái)越長(zhǎng)，故要增加工人。增加一個(gè)工人后，系統(tǒng)變?yōu)镸/M/2排隊(duì)系統(tǒng)。尹1（九Y尹1（九Y1Jk!laLk=0、c!cg-九（出102!2x10-12'12、2<10丿-1=0.25卩=入/yXP=12/10X0.25=0.310則P{n±2}=1-P-P=1-0.25-0.3=0.45012（天津大學(xué)考研試題）.工件按泊松流到達(dá)服務(wù)臺(tái)，平均間隔時(shí)間為10min,假設(shè)對(duì)每一工件的服務(wù)（加工）所需時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時(shí)間為8min。試求：1）請(qǐng)畫(huà)出各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖，并寫(xiě)出狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程。求出工件在系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均數(shù)和工件在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間；（2）若要求有90%的把握使工件在系統(tǒng)內(nèi)的逗留時(shí)間不超過(guò)30min,則工件的平均服務(wù)時(shí)間最多是多少？（3）若每一件工件的服務(wù)分成兩段，每段所需時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布，平均都為4min。個(gè)工件完成兩個(gè)階段的加工后，緊接著的工件才能進(jìn)入加工。在這種情況下，工件在系統(tǒng)內(nèi)的平均數(shù)是多少？解：入=60/10=6人/小時(shí)，卩=60/8=7.5人/小時(shí)，P=入/卩=6/7.5=0.8（1）各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖如下：入=666n-1n+17.57.5入=666n-1n+17.57.5狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程，如下：?6P0+7.5P]=0|_6Pn-1+7.5Pn+1-13.5Pn=0（n^1）工件在系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均數(shù)Lq=P入/（—入）=0.8X6/（7.5-6）=3.2（件）工件在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間Ws=1/（卩-入）=1/（7.5-6）=2/3（小時(shí)）=40（分鐘）（2）30分鐘即1/2小時(shí)。由F（Ws）=P（WsWl/2）=1-e-（片6）.1/2^90%得到工件的平均服務(wù)時(shí)間最多是1/uW0.09429（小時(shí)）~5.66（分鐘）。???工件在系統(tǒng)內(nèi)的平均數(shù)是:⑶每個(gè)工件的加工時(shí)間服從2階愛(ài)爾朗分布，即本系統(tǒng)為M/E2/1類(lèi)型。1/^=4/60+4/60=2/15卩=入/u=6X2/15=0.8；Var（T）=1/（k?卩2）=1/2X（2/15）???工件在系統(tǒng)內(nèi)的平均數(shù)是:L=p+P2+嚴(yán)y]=0.8+082+62鬲=3.2s2（1-p）2（1一0.8）3?顧客以每小時(shí)4人的平均到達(dá)率到一個(gè)雙人理發(fā)店理發(fā)，顧客到達(dá)過(guò)程為Poisson流。當(dāng)顧客到達(dá)理發(fā)店時(shí)發(fā)現(xiàn)理發(fā)店已有2個(gè)顧客在理發(fā)，則該顧客就拒絕進(jìn)入此店，并不再來(lái)若理發(fā)店的理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。請(qǐng)畫(huà)出各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖，并寫(xiě)出狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程。并求：（1）若要保證在可能到達(dá)的顧客中至多有40%的顧客不進(jìn)入理發(fā)店，則每個(gè)理發(fā)師必須以怎樣的服務(wù)率進(jìn)行服務(wù)？

⑵若u=2人/小時(shí)，貝y進(jìn)入理發(fā)店的平均顧客數(shù)是多少?(3)接第(1)問(wèn)，顧客的平均逗留時(shí)間是多少？解：本題屬于M/M/2”損失制排隊(duì)系統(tǒng)模型。各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖如下：入=4入=4狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程，如下：-4P0+卩P1=04P1+2卩P2—(4+卩)P1=0、4P1-2HP2=0服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)c=2,系統(tǒng)容量N=2。1+1+4+-42-由P=(九卩)2P=丄61——=8<40%npn2或卩<—6(舍去)22!02卩21+#+十卩2+4卩+8卩2卩2即每個(gè)理發(fā)師必須以每小時(shí)至少理發(fā)2人的服務(wù)率才能保證60%以上的顧客能隨時(shí)得到理發(fā)。由(1)計(jì)算可知，當(dāng)h=2人/小時(shí)，則P2=40%。進(jìn)入理發(fā)店的平均顧客數(shù)：Ls=“2(1-P2)=4/2?(1-40%)=1.2(人)顧客平均逗留時(shí)間就是其接受理發(fā)服務(wù)的平均時(shí)間1/卩。1/卩=1/2=0.5(小時(shí))某通訊系統(tǒng)有數(shù)個(gè)通訊通道，此系統(tǒng)只要以40％的概率保證所有的通道通暢，就可以認(rèn)為處于正常的導(dǎo)通狀態(tài)。假定每個(gè)通道暢通時(shí)間滿足參數(shù)為1的負(fù)指數(shù)分布，一旦一個(gè)通道發(fā)生故障，貝單位時(shí)間修理次數(shù)具有參數(shù)為4的負(fù)指數(shù)分布，且只能逐個(gè)進(jìn)行修理(只有一個(gè)修理工)。請(qǐng)畫(huà)出各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖，并寫(xiě)出狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程。并求：若要保證系統(tǒng)處于正常導(dǎo)通狀態(tài)，貝此系統(tǒng)至多只能設(shè)置多少個(gè)通訊通道?在正常導(dǎo)通狀態(tài)下所有通道都發(fā)生故障的概率?發(fā)生故障通道的平均數(shù)?在正常導(dǎo)通狀態(tài)下每個(gè)通道的平均損壞時(shí)間以及通道發(fā)生故障后等待修理的平均等待時(shí)間?解：本題排隊(duì)系統(tǒng)屬于M/M/1/m/m類(lèi)型1)P0>0.4九=1；卩=4；P=X/1)P0>0.4當(dāng)m=3時(shí)，P=0.4507〉0.4；當(dāng)m=4時(shí)，P=0.3107〈0.4。00i=0故取m=3，即至多只能設(shè)置3個(gè)通道。各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)移圖如下：

2入=2入=12入=2入=13入=3狀態(tài)概率的穩(wěn)定方程，如下：「-3P0+4P]=Oy(3-n+1)Pn-1+4Pn+1=[(3-n)+4]Pn(n=1,2)也化=0在正常導(dǎo)通狀態(tài)下所有通道都發(fā)生故障的概率:3?P二0.09375x0.45070二0.04230發(fā)生故障通道的平均數(shù):L=m—f(1-P)=3-4(1-0.4507)=0.8028(個(gè))發(fā)生故障通道的平均數(shù):S尢0134(1-34(1-0.4507)1二0?3654(單位時(shí)間)在正常導(dǎo)通狀態(tài)下每個(gè)通道的平均損壞時(shí)間:通道發(fā)生故障后等待修理的平均等待時(shí)間:11W=W-—=0.3654--=0.1154(單位時(shí)間)qsf4(選做題，華中科技大學(xué)考研試題)若系統(tǒng)｛N(t),t20｝以平均到達(dá)率入>0的最簡(jiǎn)單流到達(dá)，且到達(dá)的顧客以概率a(0<a〈l)允許進(jìn)入排隊(duì)。若以M(t)表示在長(zhǎng)為t的時(shí)間區(qū)間內(nèi)實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)。證明：“(\\(九at)〃PXM(t\=mJ=e-九at,t>0,m=0,1,2，…；m!若入=5人/min,a=4/5，試問(wèn)在t=10min內(nèi)實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)。解:(1)任給N(t)=n(n>0)的條件下，M(t)的條件分布為貝努利分布，所以，當(dāng)0<mWn時(shí),p{m(t)=m}=另p{mC)=m,NC)=n}=藝P^NC)=n}p^MC)=m|NC)=n}n=mn!e-In=mn!e-Itam(1-a)n-mn!m!(n-m)!n=mn=ma、1-a?mkt(1-a)lykt(1-a)lOiat\門(mén)=e-iat,t>0e-itm!n!n=0m!me-Itm!(n-m)!n=m(2)依上式，每分鐘實(shí)際進(jìn)入的顧客為Aa4人，因此10min內(nèi)實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)為40人。(選做題，上海理工大學(xué)考研試題)試證明M/M/1等待制排隊(duì)系統(tǒng)的等待時(shí)間分布為W(t)=1—pe-卩(i-p)t(t>0,pv1)；并求其期望值E(Wq)。q證明：設(shè)第n+1個(gè)顧客到達(dá)時(shí)，系統(tǒng)已有n個(gè)顧客，這個(gè)顧客的等待時(shí)間就是這n個(gè)顧客全部服務(wù)時(shí)間之和，即Wn=T'1+T2+_+Tno片0=2,3,…,n)都服從參數(shù)為卩的負(fù)指數(shù)分布，根據(jù)負(fù)指數(shù)分布的無(wú)記憶性，T'1也服從同分布的負(fù)指數(shù)分布，它們之間相互獨(dú)立，所以對(duì)于第n+1個(gè)顧客來(lái)說(shuō)，Wn服從n階愛(ài)爾朗分布(n±l)oWn的概率密度函數(shù)為f(Wln+1),表示在系統(tǒng)已有n個(gè)顧客時(shí)的條件概率密度。即fWn+1)=如4」(n-1)!所以第n+1個(gè)顧客的等待時(shí)間Wq(n=0時(shí)，W=0)的概率密度：fW)=p-o+藝pfWn+J=區(qū)G-p)pn.yCw)-ie計(jì)=g_p)p比-叩藝GQ」qonn(n-1)!(n-1)!n=1n=1n=1=11—pJke-vw>e-九w=(1-p幾e-Q-d其中