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7.3.3第一課時(shí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)第七章三角函數(shù)1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.2.借助實(shí)例,理解參數(shù)對(duì)圖象的影響,掌握變換作圖法.3.了解y=Asin(ωx+φ)的圖象的物理意義,能指出實(shí)際問(wèn)題中常數(shù)的不同意義.學(xué)習(xí)目標(biāo)基礎(chǔ)·探索01情景與問(wèn)題1基礎(chǔ)·探索
如圖,摩天輪的半徑r為40m,圓心O距地面的高度為48m,摩天輪做逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每30min轉(zhuǎn)一圈.摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.如何確定在時(shí)刻t(min)時(shí),點(diǎn)P距離地面的高度H?1基礎(chǔ)·探索
取點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),水平線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P距離地面的高度H=y+48.又之=sinα,其中r=40,α為在時(shí)刻t(min)時(shí)點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的角,則又t=0時(shí),點(diǎn)P位于最低點(diǎn),故取,從而所以1基礎(chǔ)·探索
一般地,形如的函數(shù),在物理、工程等學(xué)科的研究中經(jīng)常遇到,這種類型的函數(shù)稱為正弦型函數(shù),其中都是常數(shù),且.在本例中,正弦型函數(shù)中的常數(shù)有不同的的實(shí)際意義:表示摩天輪的半徑,表示摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,表示點(diǎn)P
的初始位置所對(duì)應(yīng)的角.下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)研究這類函數(shù)的性質(zhì)和圖象.實(shí)例·探究02典例剖析2實(shí)例·探究例1
探究函數(shù)的定義域、值域和周期性,并作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.解令則可以化成由的定義域?yàn)镽,值域?yàn)開(kāi)______,可以看出的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-1,1].由的周期為2π可知的周期也為2π.當(dāng)時(shí),即時(shí),我們有所以下面我們用五點(diǎn)法作出在上的圖像.2實(shí)例·探究
0
010-10描點(diǎn)作圖,如圖所示.xy012-1-2π2π由圖知,的圖像可由的圖象向左平移個(gè)單位得到.2實(shí)例·探究規(guī)律總結(jié)1.一般的,函數(shù)的定義域?yàn)镽,值域是[-1,1]
,周期是2.
一般的,函數(shù)的圖象,可以看作是把函數(shù)y=sinx圖象上的各點(diǎn)向左或向右平移個(gè)單位而得到(可簡(jiǎn)記為左“+”右“-”).2實(shí)例·探究例2
探究函數(shù)的定義域、值域和周期性,并作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.解可以看出,函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______.因?yàn)?所以又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)開(kāi)_______.函數(shù)是周期函數(shù),周期是下面我們用五點(diǎn)法作出在上的圖象.取點(diǎn)列表作圖如下2實(shí)例·探究
0
010-10
020-20xy012-1-2π2π由圖中可以看出,的圖象可由的圖象上的點(diǎn),橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的____倍得到.22實(shí)例·探究規(guī)律總結(jié)1.一般的,函數(shù)的定義域?yàn)镽,值域是,周期是2.
一般地,函數(shù)的圖象,可以看作是把y=sinx圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.2實(shí)例·探究例3
探究函數(shù)的定義域、值域和周期性,并作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.解令則可以化成由的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋梢钥闯龅亩x域?yàn)镽,值域?yàn)閇-1,1].由的周期為2π可知,對(duì)任意,當(dāng)它增加到且至少要增加到時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn).因?yàn)檫@說(shuō)明對(duì)任意x,當(dāng)它增加到且至少要增加到時(shí),的函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn),這就說(shuō)明的周期為π.2實(shí)例·探究當(dāng)時(shí),即時(shí),我們有所以下面我們用五點(diǎn)法作出在上的圖象.取點(diǎn)列表作圖如下.
0
0
010-10xy012-1-2π2π2實(shí)例·探究由上圖可以看出,的圖象可由的圖象上的點(diǎn),縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到.規(guī)律總結(jié)1.一般的,函數(shù)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?
周期是2.
一般地,函數(shù)的圖象,可以看作是把函數(shù)y=sinx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)時(shí))到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.例4
探究函數(shù)和的圖象之間的關(guān)系.
xy012-1-2π2π類似地,函數(shù)y=sin(2x-1)的圖象可以看作是將函數(shù)y=sin
2x的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的.一般地,函數(shù)的圖象,可以看作是將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)時(shí))或向右(當(dāng)時(shí))平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得至2實(shí)例·探究例5探究函數(shù)的定義域、值域和周期性,并作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.解令則可以化成由的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-3,3],可以看出的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-3,3].由例3
知,的周期為_(kāi)____.當(dāng)時(shí),即時(shí),我們有用五點(diǎn)法作圖象,取點(diǎn)列表作圖如下.2實(shí)例·探究xy012-1-2π2π
0
010-10
030-30-33在上圖中,我們還作出了的部分圖象,把它們與函數(shù)的圖象進(jìn)行比較,就可以看出這些圖象之間的關(guān)系:2實(shí)例·探究(1)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的二分之一縱坐標(biāo)不變(2)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍(3)向左平移個(gè)單位
回顧·總結(jié)03第一步:列表第二步:在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn).第三步:用光滑曲線連接這些點(diǎn),形成圖象.3回顧·總結(jié)1.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)圖象ωx+φ0xy0A0-A0對(duì)函數(shù)
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