【高中數(shù)學(xué)選修第三冊(cè)】第七章 條件概率

第七章隨機(jī)變量及其分布§7.1條件概率與全概率公式7?1?1條件概率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1?結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義.2?掌握條件概率的計(jì)算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)楡理撼理救材勢(shì)實(shí)忌礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一條件概率的概念一般地，設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,我們稱(chēng)P(BA)=p^AB為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.思考P(AIB),P(B),P(AB)間存在怎樣的等量關(guān)系？答案P(AIB)=P^AB^，其中P(B)>0.p(B)知識(shí)點(diǎn)二概率乘法公式對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B\A)為概率的乘法公式.知識(shí)點(diǎn)三條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則P(OA)=1.如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A).設(shè)~B和B互為對(duì)立事件，則P(~B\A)=1-P(B\A).-思考辨析判斷正逞在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的概率可記作P(AIB).(X)對(duì)事件A,B,有P(B\A)=P(AIB).(X)若P(B\A)=P(B),則事件A,B相互獨(dú)立.(V)P(B\A)相當(dāng)于事件A發(fā)生的條件下，事件AB發(fā)生的概率.(V)題型探究心盤(pán)提卄素養(yǎng)\

一、條件概率的定義及計(jì)算命題角度1利用定義求條件概率例1現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．解設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)，總的事件數(shù)n(Q)=A2=3O.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有n(A)=A4Ag=2O,所以P所以P(A)=n(A)_20_2n(Q)303.nn(AB)122n(Q)305.因?yàn)閚(AB)_A2_12，所以P(AB)_方法一由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(BA)2P(AB)53_P(A)_2_5.3方法二因?yàn)閚(AB)12，n(A)20，所以P(B|A)n(AB)_12_3n(A)_20所以P(B|A)反思感悟利用定義計(jì)算條件概率的步驟(1)分別計(jì)算概率P(AB)和P(A).將它們相除得到條件概率P(BA)=P(AB)，這個(gè)公式適用于一般情形，其中AB表示A,BP(A)同時(shí)發(fā)生.跟蹤訓(xùn)練1從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率．解設(shè)A_“抽到的兩張都是假鈔”，B_“抽到的兩張中至少有一張是假鈔”，則所求概率為P(A|B)．???P(AB)_P(A)_CC5，P(B)_進(jìn)嚴(yán)，.z,P(AB)C2102??p(AIB)_p(B)_C2+&C15_85_17.命題角度2縮小樣本空間求條件概率例2集合A={123,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取,在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率．解將甲抽到數(shù)字a,乙抽到數(shù)字b記作(a,b),甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2),(1,3),(1,4),，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個(gè)．在這15個(gè)情形中,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),93,(5,6),共9個(gè)，所以所求概率P=^=5-延伸探究．在本例條件下，求乙抽到偶數(shù)的概率．解在甲抽到奇數(shù)的情形中,乙抽到偶數(shù)的情形有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),93,(5,6),共9個(gè)，所以所求概率P=^=5-若甲先取(放回)，乙后取，若事件A:“甲抽到的數(shù)大于4”；事件B:“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”，求P(B|A)．解甲抽到的數(shù)大于4的情形有：(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),,(6,5),(6,6),共12個(gè),其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的情形有：(5,2),(6,1),共21個(gè)?所以p(bia)=12=6-反思感悟利用縮小樣本空間法求條件概率的方法縮：將原來(lái)的基本事件全體Q縮小為事件A,原來(lái)的事件B縮小為AB.數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的基本事件.算：利用P(B^)=n^求得結(jié)果.n(A)跟蹤訓(xùn)練2拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，求：事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率；事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率.解n(A)=6X2=12.由3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8知n(B)=10,其中n(AB)=6.所以⑴p(BiA)==^=2-(2)p(AiB)==^=5-二、概率的乘法公式例3一個(gè)盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次.求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解設(shè)A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白球”，則T=“第一次取得黑球”，由題意得：6p(A)=10=0.6.651P(AB)=P(A)P(BL4)=厲X9=3.464P(AB)=P(A)P(BIA)=^X9=^.反思感悟概率的乘法公式公式P(AB)=P(A)P(BIA)反映了知二求一的方程思想.該概率公式可以推廣P(ArA2A3)=P(A1)P(A2IA1)^P(A3IA1a2)，其中P(A1)>0,P(A^A2)>0.跟蹤訓(xùn)練3已知某品牌的手機(jī)從1m高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率為0.3，試求這樣的手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率．解設(shè)Ai=“第i次掉落手機(jī)屏幕沒(méi)有碎掉”，i=1,2,則由已知可得P(A])=0.5,P(A2IA1)=0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2IA1)=0.5X0.3=0.15.即這樣的手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率為0.15.三、條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用例4在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中4道題即可通過(guò)，至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率．解記事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D=AUBUC，E=AUB，可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=迸+瓷+背=晉，P(AD)=P(A)，P(BD)=P⑻,P(E|D)=P(A|D)＋P(B|D)CoCioC2。2=PA!+P(B)=C20+C20=12=P(D)+P(D)=12180十12180=58.

故獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率為反思感悟條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用利用公式P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A)可使條件概率的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”.為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個(gè)或多個(gè)互斥事件，求出簡(jiǎn)單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率.跟蹤訓(xùn)練4有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機(jī)任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為.答案7解析設(shè)事件A為“其中一瓶是藍(lán)色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，則D=BUC且B與C互斥.710，P(710，P(AB)=Cf415,p(ac)=cCC1225,4-4-9D1-9

C2一B1-2A.故P(D\A)=P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A)P(AB).P(AC)6=P(A)十P(A)=7.星礎(chǔ)鞏固學(xué)収致用隨堂演練星礎(chǔ)鞏固學(xué)収致用答案A解析P(B\A)=解析P(B\A)=P(AB)P(A)1-32?市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠(chǎng)產(chǎn)品占70%,乙廠(chǎng)產(chǎn)品占30%,甲廠(chǎng)產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠(chǎng)產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場(chǎng)上買(mǎi)到的一個(gè)甲廠(chǎng)的合格燈泡的概率是()A.0.665B.0.564C.0.245D.0.285答案A解析記事件A為“甲廠(chǎng)產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)=0.7,P(B\A)=0.95,

???P(AB)=P(A)?P(BL4)=0.7X0.95=0.665.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A解析根據(jù)條件概率公式P(BIA)=P(解析根據(jù)條件概率公式P(BIA)=P(AB)P(A)，得所求概率為0.60.75=0.8.投擲兩顆均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和小于等于6的概率為解析設(shè)A=“投擲兩顆骰子，其點(diǎn)數(shù)不同”，B=“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和小于等于6”，則P(A)=36=6,P(AB)=3，.P(AB)2??P(BA)=p(A)=5.TOC\o"1-5"\h\z41某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為15既刮四級(jí)以上的風(fēng)又下雨的概率為10?設(shè)事件A為該地區(qū)下雨，事件B為該地區(qū)刮四級(jí)以上的風(fēng)，則P(BIA)=.答案81解析由題意知P(A)=15，P(AB)=10，丄,,P(AB)103故p(B|A)=p(A)=互15■課堂少結(jié)■1.知識(shí)清單:(1)條件概率：(1)條件概率：P(BIA)=￥晉n(AB)

n(A)(2)概率乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)?P(AIB).⑶條件概率的性質(zhì).2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、對(duì)立統(tǒng)一.常見(jiàn)誤區(qū)：分不清“在誰(shuí)的條件下”，求“誰(shuí)的概率”.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練《基礎(chǔ)鞏固

121.已知P(BIA)=3，P(A)=5，則P(AB)等于()A.|答案C122解析P(AB)=P(BIA).P(A)=3X5=15，故選C.(多選)設(shè)p(aib)=p(bia)=2p(A)=3，貝y()15A.P(AB)=6b.P(AB)=6C.p(b)=3d.p(b)=]12答案AC解析p(ab)=p(a)p(bia)=3x2=6，,P(AB),EP(AB)11由P(A|B)=p@)，得P(B)=P(A|B)=6X2=3-某人忘記了一個(gè)電話(huà)號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功的概率是()1A?帀289臨C五D帀答案A91解析記事件A為第一次失敗，事件B為第二次成功，則P(A)=10P(BIA)=9,所以P(AB)=P(A)P(BIA)=10.某班學(xué)生考試成績(jī)中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語(yǔ)文不及格的占5%，兩門(mén)都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語(yǔ)文也不及格的概率是()A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6答案A解析記“數(shù)學(xué)不及格”為事件A解析記“數(shù)學(xué)不及格”為事件A，''語(yǔ)文不及格”為事件B，P(B|A)=P(AB)P(A)0.030.15=0.2，所以數(shù)學(xué)不及格時(shí)，該生語(yǔ)文也不及格的概率為0.2.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同”，B=“出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)”，則P(BIA)等于()1a1a?3511B云C-6D-4答案A解析出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)互不相同的共有6X5=30(種)，出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)共有5X2=10(種)，所以P(BIA)=10=1=3o=3-6．袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是，兩次都取到白球的概率是．答案3答案3io解析第一次取到白球，則還剩下4個(gè)小球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，故第二次取到白球的概率213乂23p=4=2，兩次都取到白球的概率p=5^4=^.7?設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率0.4,現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，則它能活到25歲的概率是．答案0.5解析設(shè)該動(dòng)物活到20歲為事件A,活到25歲為事件B則P(A)=0.8,P(B)=0.4,又P(AB)=P(B)，所以P(B|A)=P所以P(B|A)=P(AB)P⑻0.4P(A)P(A)0.8=0.5.8．有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率是．答案0.72解析“種子發(fā)芽”為事件A,“種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，并成活才成長(zhǎng)為幼苗),則P(A)=0.9,又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(BIA)=0.8,所以P(AB)=P(A)P(BIA)=0.9X0.8=0.72.9．某校高三(1)班有學(xué)生40人,其中共青團(tuán)員15人．全班平均分成4個(gè)小組,其中第一組有共青團(tuán)員4人．從該班任選一人作學(xué)生代表．求選到的是第一組的學(xué)生的概率；已知選到的是共青團(tuán)員,求他是第一組學(xué)生的概率．解設(shè)事件A表示“選到第一組學(xué)生”，事件B表示“選到共青團(tuán)員”.(1)由題意，得P^=40=4.(2)方法一要求的是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(AIB).不難理解，在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學(xué)生是共青團(tuán)員為前提)，有15種不同的選擇,其中屬于第一組的有4種選擇.4因此，P(AIB)=^.、、一/1!3/4丄萬(wàn)法二p(b)=40=8，P(AB)=40=10,

P(AIB)=PP(AIB)=P(AB)

P(B)_415-設(shè)b和c分別是拋擲一枚骰子先后得到的點(diǎn)數(shù).求方程X2+bx+c=0有實(shí)根的概率；求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率.解⑴方程有實(shí)根，A=b2-4c^0,Ab2^4c,又b,cW{1,2,3,4,5,6},當(dāng)b=2時(shí)，c=1,當(dāng)b=3時(shí)，c=1,2,當(dāng)b=4時(shí)，c=1,2,3,4,當(dāng)b=5時(shí)，c=1,2,3,4,5,6,當(dāng)b=6時(shí)，c=1,2,3,4,5,6,共19種情況.1919故所求的概率為嬴二至.⑵把“出現(xiàn)5點(diǎn)”記為事件A,“方程有實(shí)根”記為事件B,滿(mǎn)足b2±4c的有序數(shù)對(duì)記為(b,c),則事件A包含的事件有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11種，事件AB包含的有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7種，7故所求的概率為石.^綜合運(yùn)用7名同學(xué)從左向右站成一排，已知甲站在中間，則乙站在最右端的概率是(A.1B.5C.6D.14567答案C解析記“甲站在中間”為事件A,“乙站在最右端”為事件B,則n(A)=Ag,n(AB)=A5,所以P(BIA)所以P(BIA)=A51a6=6.已知某產(chǎn)品的次品率為4%,其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件為一級(jí)品的概率為A.75%B.96%C.72%D.78.125%答案C

解析記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A,則P(A)=1—P(A)=1—4%=96%.記“任選一件產(chǎn)品是一級(jí)品”為事件B,由于一級(jí)品必是合格品，所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%為一級(jí)品知P(BIA)=75%,故P(B)=P(AB)=P(A)P(BIA)=96%X75%=72%.—個(gè)盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取1支，每次取后不放回,已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為()2a2a?3557c.9D.g答案c解析記“第i(i=1,2)支晶體管是好的”為事件A,(其中i=1,2)?由題意可知，要求的概率為1p(a2|a1)?因