理論力學(xué)動(dòng)量矩定理

理論力學(xué)動(dòng)量矩定理第1頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

在質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于慣性參考系中固定點(diǎn)（或固定軸）的動(dòng)量矩定理中，動(dòng)量矩由系統(tǒng)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)所確定。

這里討論質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心或通過質(zhì)心的動(dòng)軸的動(dòng)量矩定理，一方面是因?yàn)樗袕V泛的應(yīng)用價(jià)值，另一方面動(dòng)量矩定理仍保持了簡單的形式。第2頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間存在確定的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩

因?yàn)橐驗(yàn)樗杂兴杂械?頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)上式和質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

第4頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理(theoremofthemomentofmomentumwithrespecttothecenterofmass)

，它表明：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。

需要注意的是，這里所涉及的隨質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，一定是平移坐標(biāo)系。定理只適用于質(zhì)心這一特殊的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)其它動(dòng)點(diǎn)，定理將出現(xiàn)附加項(xiàng)。

對(duì)于剛體，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理建立了外力與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的關(guān)系；質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理建立了外力與剛體在平移參考系內(nèi)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系。

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

第5頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第11章動(dòng)量矩定理第6頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月取質(zhì)心C為基點(diǎn)，其坐標(biāo)為xC、yC，設(shè)D為剛體上任意一點(diǎn)，CD與x軸的夾角為φ,則剛體的位置可由xC、yC和φ確定。

將剛體的運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。當(dāng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面、且質(zhì)量對(duì)稱面平行于運(yùn)動(dòng)平面時(shí)，則在固連于質(zhì)心的平移參考系中，剛體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩為xCyC

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第7頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月其中JC為剛體對(duì)通過質(zhì)心C且與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

為角速度。

xCyC

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

當(dāng)作用于剛體上的力系等價(jià)于質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)的一個(gè)平面力系時(shí)，對(duì)剛體平面運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理，有

第8頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程。

或者需要指出的是，如果上述投影方程中各式等號(hào)的左側(cè)各項(xiàng)均恒等于零，則得到靜力學(xué)中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理，不但完全確定了剛體一般運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，而且還完成了對(duì)剛體平面運(yùn)動(dòng)的特例——

平衡情形的靜力學(xué)描述。

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第9頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

半徑為r的勻質(zhì)圓盤從靜止開始，沿傾角為θ的斜面無滑動(dòng)的滾下。試求：

1．圓輪滾至任意位置時(shí)的質(zhì)心加速度aC；

2．圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第10頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月aCα解：分析圓輪受力

圓輪作平面運(yùn)動(dòng)。根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有

FFN1．確定圓輪質(zhì)心的加速度

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第11頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系

aCαFFN（4）式代入（3）式，得

代入（1）式，得

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第12頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月解：2．確定圓輪在斜面上不滑動(dòng)的最小靜摩擦因數(shù)

此即圓輪在斜面上不滑動(dòng)的最小靜摩擦因數(shù)。aCαFFN

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第13頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

均質(zhì)桿AB長為l，放放置于鉛垂平面內(nèi)，桿一端A靠在光滑的鉛垂墻上，另一端B放在光滑的水平面上，與水平面的夾角為

0。然后，令桿由靜止?fàn)顟B(tài)滑下。求：桿在任意位置時(shí)的角加速度。

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第14頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月FAFBmg解：以桿為研究對(duì)象，桿作平面運(yùn)動(dòng)，分析其受力列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

式中有五個(gè)未知量，如果要求得全部未知量，還需兩個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。顯然，這一方法比較麻煩。第15頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

相對(duì)特殊瞬心的動(dòng)量矩定理：平面運(yùn)動(dòng)過程中，如果剛體的質(zhì)心C到速度瞬心C*的距離保持不變，則質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)系外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩。即C*注意到桿的質(zhì)心到速度瞬心的距離恒等于l/2，故可應(yīng)用相對(duì)特殊瞬心的動(dòng)量矩定理。這時(shí)，

vBvA

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第16頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)上式積分可以得到桿的角速度，進(jìn)而可以比較方便地求出其余未知量。C*vBvA

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第17頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月例

兩個(gè)重量為P，半徑為r的均勻圓盤（如圖所示）,求：B物體滾下時(shí)質(zhì)心的加速度與繩子張力。加速度:繩子張力:ABPPaBFFaBaA解：取輪A研究對(duì)象取輪B研究對(duì)象第18頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月例.一根筷子在光滑地面上，開始時(shí)手拿著如圖示