題型專練02-新高考開放性試題（解析版）

新高考開放性試題題型專練021．關(guān)于莖葉圖的說法正確的是A．甲的極差是29 B．甲的中位數(shù)是25C．乙的眾數(shù)是21 D．甲的平均數(shù)比乙的大【答案】ACD【解析】根據(jù)選項(xiàng)依次求出甲的極差，甲的中位數(shù)，乙的眾數(shù)，甲、乙的平均數(shù)，進(jìn)而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．由莖葉圖知，甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為，故A正確；將甲數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列之后，其中間位置的兩個(gè)數(shù)為22，24，所以甲的中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；乙數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以眾數(shù)是21，C正確；計(jì)算可知，，，因?yàn)?，所以甲的平均?shù)大，D正確故選ACD．2．當(dāng)時(shí)，方程表示的軌跡可以是A．兩條直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】ACD【解析】將分為三種情況進(jìn)行分類討論，由此確定正確選項(xiàng)．當(dāng)時(shí)，．方程可化為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．當(dāng)時(shí)，，方程化為，表示兩條直線．當(dāng)時(shí)，，．方程可化為，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．所以曲線不可能表示圓．故選ACD．3．若數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)，為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列，其中是“差遞減數(shù)列”的有A． B． C． D．【答案】CD【解析】分別求出四個(gè)選項(xiàng)中數(shù)列對(duì)應(yīng)的，再進(jìn)行判斷．對(duì)，若，則，所以不為遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)，若，則，所以為遞增數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)，若，則，所以為遞減數(shù)列，故正確；對(duì)，若，則，由函數(shù)在遞減，所以數(shù)為遞減數(shù)列，故正確．故選CD．4．對(duì)于二項(xiàng)式，以下判斷正確的有A．存在，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；B．對(duì)任意，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；C．對(duì)任意，展開式中沒有的一次項(xiàng)；D．存在，展開式中有的一次項(xiàng)．【答案】AD【解析】利用展開式的通項(xiàng)公式依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，得到答案。設(shè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，則，不妨令，則時(shí)，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；令，則時(shí)，展開式中有的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確。故答案選AD5．己知函數(shù)的最小正周期是3．則a＝，f（x）的對(duì)稱中心為．【答案】，（，0），k∈Z【解析】函數(shù)的最小正周期是3，則3＝，得a＝，所以函數(shù)f（x）＝2tan（），6．已知函數(shù)，當(dāng)a＝時(shí)，f（x）的值域?yàn)镽；若f（x）在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【解答】R，0＜a≤【解析】當(dāng)a＝時(shí)，，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝﹣x+2∈（1，+∞），當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝3（）x是減函數(shù)，f（x）∈（﹣∞，），所以函數(shù)f（x）的值域R．若f（x）在R上單調(diào)遞減，則0＜a＜1且﹣1+2≥3×a，解得0＜a≤．故答案為：R，0＜a≤．7．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的存在，求的值；若不存在，說明理由．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列，______，，是否存在，使得且？【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，，所以其公比，從而，從而．若存在，使得，即，從而；同理，若使，即，從而．（方法一）若選①：由，得，所以，當(dāng)時(shí)滿足，且成立；若選②：由，且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故不存在，且；若選③：由，解得，從而，所以當(dāng)時(shí)，能使，成立．（方法二）若選①：由，得，所以公差，，從而；，解得，又，從而滿足題意．8．在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q，且，____________．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（2）記，求數(shù)列，的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】方案一：選條件①（1）解得或（舍去），（2）方案二：選條件②（1）解得或（舍去），（2）方案三：選條件③解得或（舍去），（2）9．在條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出問題解答．在中，角的對(duì)邊分別為，，，．求的面積．【解析】若選①：由正弦定理得，即，所以，因?yàn)椋裕?，，，所以，所以．若選②：由正弦定理得．因?yàn)?，所以，，化簡得，即，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，即，所以．若選③：由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，，，所以．又，，，所以，所以?0．（2020?牡丹區(qū)校級(jí)模擬）在①；②2a+c＝2bcosC；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足①，，a+c＝4，求△ABC的面積．【解析】在橫線上填寫“”，則由正弦定理，得．由sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，得．由0＜C＜π，得sinC≠0．所以．又cosB≠0（若cosB＝0，則sinB＝0，sin2B+cos2B＝0這與sin2B+cos2B＝1矛盾），所以．又0＜B＜π，得．由余弦定理及，得，即12＝（a+c）2﹣ac．將a+c＝4代入，解得ac＝4．所以＝＝．11．（2020?邵陽一模）如圖，在平面圖形PABCD中，ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD=2，M為CD的中點(diǎn)，將△PAD沿直線AD向上折起，使BD⊥PM．（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若直線PM與平面ABCD所成的角為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【解析】（1）證明：取AD中點(diǎn)E，連接PE，EM，AC，∵PA＝PD，得PE⊥AD，由底面ABCD為菱形，得BD⊥AC，∵E，M分別為AD，CD的中點(diǎn)，∴EM∥AC，則BD⊥EM，又BD⊥PM，∴BD⊥平面PEM，則BD⊥PE，∴PE⊥平面ABCD，而PE?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，PE⊥平面ABCD，連接EM，可得∠PME＝30°，設(shè)AB＝a，則PE=2-a24故tan∠PME＝tan30°=PEEM，即2-a24故PE＝1，S四邊形故VP12．在①離心率，②橢圓過點(diǎn)，③面積的最大值為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個(gè)問題．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知橢圓的短軸長為，________．（1）求橢圓的方程；（2）若線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值．【解析】（1）選①，由題意可得：，解得，所以所求橢圓的方程為；（2）（i）當(dāng)時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí)，由題意可得：．設(shè)直線的方程為，設(shè)，由整理得：顯然，且，所以所以線段的中點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，令，可得，即，又，所以，所以，即13．（2020?兗州區(qū)模擬）某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項(xiàng)目吸引了一批客戶．為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費(fèi)金額，健身館隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了2019年7、8兩月100名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：[0，200），[200，400），[400，600），…[1000，1200]（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若把2019年7、8兩月健身消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“健身達(dá)人”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，請(qǐng)補(bǔ)全空格處的數(shù)據(jù)，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為健身達(dá)人”與性別有關(guān)？健身達(dá)人非健身達(dá)人總計(jì)男10女30總計(jì)（2）為吸引顧客，在健身項(xiàng)目之外，該健身館特別推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案．方案一：每滿800元可立減100元；方案二：金額超過800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率為12，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)1次打9折，中獎(jiǎng)2次打8折，中獎(jiǎng)3次打7若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案．（3）在（2）中的方案二中，金額超過800元可抽獎(jiǎng)三次，假設(shè)三次中獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，且三次中獎(jiǎng)的概率為sinA、sinB、sinC，記A、B、C為銳角△ABC的內(nèi)角．求證：sinA+sinB+sinC﹣sinAsinB﹣sinAsinC﹣sinBsinC+sinAsinBsinC＜1．附：P（K2≥k）0．1500．1000．0500．0100．005k2．0722．7063．8416．6357．879K2=【解析】（1）解：根據(jù)題意，列聯(lián)表如下：健身達(dá)人非健身達(dá)人總計(jì)男104050女203050總計(jì)3070100∵K2=100（300-800）250×50×30×70（2）解：若選方案一、則需付款900元；若選擇方案二、設(shè)付款為X元，則X的可能取值為700，800，900，1000．P（X＝700）=C33（12）3=P（X＝900）=C31（12）3=∴E（X）=700×1∵850＜900，∴選擇方案二更劃算；（3）證明：∵△ABC為銳角三角形，∴0＜sinA＜1，0＜sinB＜1，0＜sinC＜1．則三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)中，該顧客至少中一次的概率為：P（X≥1）＝sinA+sinB+sinC﹣sinAsinB﹣sinAsinC﹣sinBsinC+sinAsinBsinC．由概率的定義可知，P（X≥1）＜1．故sinA+sinB+sinC﹣sinAsinB﹣sinAsinC﹣sinBsinC+sinAsinBsinC＜1．14．（2020?南海區(qū)模擬）已知f（x）＝kx2+e﹣kx（k＞0）（1）當(dāng)x＞12時(shí)，判斷函數(shù)f（2）記g（x）=f（x）+x2-mlnx（x＞12），若存在實(shí)數(shù)t，使直線y＝t與函數(shù)g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)A（x1，【解析】（1）當(dāng)x＞12時(shí)，f'（x）＝k（2x﹣e﹣kx），（f'（x））'＝k（2+ke﹣kx）＞0，所以f'（x所以f'（x）＞f'（12）=（2）因?yàn)間（x）＝f（x