第11章 三角形 單元綜合（練習(xí)）（含解析）

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第11章三角形單元綜合（練習(xí)）

一、單選題

1．用三根木條首尾相接連成一個三角形，現(xiàn)有4cm和8cm的木條，那么第三根木條應(yīng)選擇（）

A．3cmB．4cmC．5cmD．12cm

2．下列四個圖形中，線段是中邊的高的是（）

A．B．

C．D．

3．下列說法中，正確的是（）

A．三角形的高都在三角形內(nèi)

B．三角形的三條中線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

C．三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角

D．三角形最大的一個內(nèi)角的度數(shù)可以小于60度

4．正多邊形每一個外角都等于，則從此多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)可引的對角線的條數(shù)是（）

A．5條B．6條C．7條D．8條

5．在中，，則為（）三角形．

A．銳角B．直角C．鈍角D．等腰

6．將一副三角板按如圖所示擺放，點(diǎn)D在直角邊BC上，，則∠CDF的度數(shù)為（）

A．15°B．30°C．25°D．20°

7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC邊上，連接DE交AC于點(diǎn)F，已知，，則∠BED的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

8．如圖：CDAB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，則下列結(jié)論：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正確的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

9．如圖，在中，，是的外角的平分線，平分，與的反向延長線相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

10．如圖，已知長方形，連接，是上的一點(diǎn)，連接，，，，，分別表示，，，的面積，則下列等式不正確的是（）．

A．B．C．D．

二、填空題

11．如圖所示，王師傅做完門框?yàn)榉乐棺冃?，在門上釘上AB、CD兩條斜拉的木條，其中的數(shù)學(xué)原理是．

12．三角形的中線把三角形分成了面積相等的兩部分，而三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫此三角形的心．

13．如果一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的兩倍，則這個多邊形是邊形．

14．已知三角形三邊長分別為2，9，，若為偶數(shù)，則這樣的三角形有個．

15．如圖，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EFBC于點(diǎn)F．若，BD4，則EF長為．

16．若AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，則∠BAC的度數(shù)為．

17．如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在三邊上，E是的中點(diǎn)，、、交于一點(diǎn)G，，，則的面積是．

18．一塊三角形空地ABC，三邊長分別為20m、30m、40m，李老伯將這塊空地分成甲、乙兩個部分，分割線為AD，要使得乙塊地的面積不少于整塊空地面積的三分之一，但又不超過甲塊地的面積的三分之二，則CD長的取值范圍是．

三、解答題

19．如圖所示，

（1）圖中有幾個三角形？

（2）說出的邊和角．

（3）是哪些三角形的邊？是哪些三角形的角？

20．已知，，是的三邊長．

(1)若，，滿足，試判斷的形狀；

(2)化簡：．

21．如圖，中，．

（1）畫出邊上的中線；

（2）畫出邊上的高；

（3）中，所對的角是______，邊上的高是________；

（4）若時，則________．

22．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，線段交點(diǎn)稱作格點(diǎn)．

(1)畫出△ABC的高CD；

(2)直接寫出△ABC的面積是；

(3)在線段AB上找一點(diǎn)E（點(diǎn)E在格點(diǎn)上），連結(jié)線段CE，使得線段CE將圖中△ABC分成面積相等的兩部分．

23．如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的高．

（1）若AD是邊BC上的中線，AE=5cm，S△ABC=30cm，求DC的長；

（2）若AD是∠BAC的平分線，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度數(shù)．

24．已知邊形的內(nèi)角和．

（1）甲同學(xué)說，能取360°；而乙同學(xué)說，也能取640°，甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)；若不對，請說明理由．

（2）若邊形變?yōu)檫呅?，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了540°，用列方程的方法確定．

25．如圖，在中，，，于D，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE．把沿著AE對折后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)剛好落在AC邊上的點(diǎn)F處．

(1)求∠FEC的度數(shù)；

(2)求∠DAE的度數(shù)．

26．如圖，AD為的中線，BE為的中線．

（1）猜想：△ABD與△ADC的面積有何關(guān)系？并簡要說明理由；

（2）在△BED中作BD邊上的高；

（3）若的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？

27．如圖，BD是ABC的角平分線，H是CB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)H作DB的平行線，交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)G，F(xiàn)是BD延長線上一點(diǎn)，連接FG并延長，交AB于點(diǎn)M．

(1)當(dāng)，時，直接寫出：______°，______°．

(2)若，求證：．

28．如圖，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝2∠B．

（1）求證：ED∥BC；

（2）若D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，CD邊上的中點(diǎn)，四邊形ADFE的面積為6．

①求△ABC的面積；

②若G是BC邊上一點(diǎn)，CG＝2BG，求△FCG的面積．

參考答案：

1．C

【分析】根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊解答即可.

【詳解】解：設(shè)第三根木條為xcm，由題意，得：8-4<x<8+4，即4<x<12，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形的三邊關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

2．A

【分析】根據(jù)三角形高的畫法知，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：線段是中邊的高的圖是選項(xiàng)A．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，連接頂點(diǎn)與垂足之間的線段．

3．B

【分析】根據(jù)三角形的有關(guān)性質(zhì)，對選項(xiàng)逐個判斷即可．

【詳解】解：A、銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，鈍角三角形的高不都在三角形內(nèi)部，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

B、三角形的三條中線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

C、三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的一個內(nèi)角，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

D、根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，三角形最大的一個內(nèi)角的度數(shù)大于或等于60度，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形高線，中線的概念，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

4．C

【分析】首先計算出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線可得答案．

【詳解】解：多邊形的邊數(shù)：360°÷36°=10，

從一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引對角線的條數(shù)：10-3=7（條），

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線，多邊形的外角和定理，關(guān)鍵是掌握n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線．

5．B

【分析】根據(jù)分別設(shè)出三個角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°列出一個方程，解此方程即可得出答案．

【詳解】∵

∴可設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=3x

根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得：x+2x+3x=180°

解得：x=30°

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°

因此△ABC是直角三角形

故答案選擇B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的基本概念．

6．A

【分析】由兩直線平行，同位角相等得到，結(jié)合三角板特殊角的特征和三角形的外角得，即可得答案．

【詳解】解：設(shè)FD與AC交于點(diǎn)G，

因?yàn)椋?/p>

，

又，

，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形的外角等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．

7．B

【分析】先求出∠C和∠D，再求出∠DEC，最后利用鄰補(bǔ)角性質(zhì)求出∠BED即可．

【詳解】∵，

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．

8．C

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再利用平角定義可得∠BCF=90°，進(jìn)而可得②正確；首先計算出∠ACB的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得∠2的度數(shù)，從而可得∠1的度數(shù)，進(jìn)而可得③正確；利用三角形內(nèi)角和計算出∠3的度數(shù)，然后計算出∠ACE的度數(shù)，可分析出①錯誤；根據(jù)∠3和∠4的度數(shù)可得④正確．

【詳解】解：如圖，

∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，

∴

∵∠ACG+∠ACD=180°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴CB⊥CF，故②正確，

∵CD∥AB，∠BAC=40°，

∴∠ACG=40°，

∴∠ACF=∠4=20°，

∴∠ACB=90°-20°=70°，

∴∠BCD=70°，

∵CD∥AB，

∴∠2=∠BCD=70°，

∵∠1=∠2，

∴∠1=70°，故③正確；

∵∠BCD=70°，

∴∠ACB=70°，

∵∠1=∠2=70°，

∴∠3=40°，

∴∠ACE=30°，

∴①∠ACE=2∠4錯誤；

∵∠4=20°，∠3=40°，

∴∠3=2∠4，故④正確，

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，理清圖中角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

9．C

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)計算，即可得到答案．

【詳解】∵是的外角的平分線，平分，

∴，

∵

∴

∵，

∴

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、三角形內(nèi)角和、三角形外角的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角、角平分線的性質(zhì)，從而完成求解．

10．B

【分析】根據(jù)題意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面積相等，從而得到，，故D正確，，可得，故B錯誤，從而得到，可得，進(jìn)而得到，可得到，故A、C正確，即可求解．

【詳解】解：根據(jù)題意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面積相等，

∴，，故D正確，不符合題意；

同理，

∴，故B錯誤，符合題意；

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故A、C正確，不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了長方形分割多個三角形的關(guān)系，等式基本性質(zhì)，熟練掌握長方形分割多個三角形的關(guān)系，等式基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

11．三角形具有穩(wěn)定性

【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變．

【詳解】解：趙師傅這樣做是運(yùn)用了三角形的穩(wěn)定性．

故答案為：三角形的穩(wěn)定性．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．

12．重

【分析】根據(jù)三角形的重心的定義即可求解．

【詳解】三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫此三角形的重心；

故答案為：重．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心，重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；三角形的中線將三角形的面積分成了相等的兩部分，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為．

13．六##6

【分析】任何多邊形的外角和是360°，內(nèi)角和等于外角和的2倍則內(nèi)角和是720°．n邊形的內(nèi)角和是（n-2）180°，如果已知多邊形的內(nèi)角和，就可以得到一個關(guān)于邊數(shù)的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數(shù)．

【詳解】解：根據(jù)題意，得（n-2）180=720，

解得：n=6．

故這個多邊形的邊數(shù)為6，

所以，這個多邊形是六邊形．

故答案為：六．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及外角和，已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決，難度適中．

14．2

【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x的取值范圍，再根據(jù)x為偶數(shù)，確定x的可能取值即可解答．

【詳解】解：∵三角形三邊長分別為2，9，

∴，

∵x為偶數(shù)，

∴x可能是8和10，

即這樣的三角形有2個．

故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定x的取值范圍成為解答本題的關(guān)鍵．

15．3

【分析】因?yàn)镾△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD；所以S△BDE=S△ABC，再根據(jù)三角形的面積公式求得即可．

【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，S△ABC=24，

∴S△ABD=S△ABC=12，

同理，BE是△ABD的中線，，

∵S△BDE=BDEF，

∴BDEF=6，

即

∴EF=3．

故答案為：3．

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的面積，三角形的中線特點(diǎn)，理解三角形高的定義，根據(jù)三角形的面積公式求解，是解題的關(guān)鍵．

16．90°或50°

【分析】分高AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況討論求解即可．

【詳解】解：①如圖1，當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時，

∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；

②如圖2，當(dāng)高AD在△ABC的外部時，

∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°，

綜上所述，∠BAC的度數(shù)為90°或50°．

故答案為：90°或50°．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線，難點(diǎn)在于要分情況討論．

17．30

【分析】由BD＝2DC，得S△BDG＝2S△GDC，求出S△BEC，根據(jù)S△ABC＝2S△BEC可求出答案．

【詳解】解：在△BDG和△GDC中，

∵BD＝2DC,這兩個三角形在BC邊上的高線相等，

∴S△BDG＝2S△GDC，

∴S△GDC＝4.

同理S△GEC＝S△AGE＝3.

∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，

∴S△ABC＝2S△BEC＝30.

故答案為：30．

【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)，三角形之間的面積加減計算．注意同底等高的三角形面積相等，面積相等并且同高的三角形底相等．

18．##

【分析】分別求乙塊地的面積等于整塊空地面積的三分之一，乙塊地的面積等于甲塊地的面積的三分之二時CD的值，即可求出CD的取值范圍．

【詳解】解∶當(dāng)乙塊地的面積等于整塊空地面積的三分之一時，即，

∴，

當(dāng)乙塊地的面積等于甲塊地的面積的三分之二時，即，

∴，

∴，

∴當(dāng)時，乙塊地的面積不少于整塊空地面積的三分之一，但又不超過甲塊地的面積的三分之二，

故答案為∶．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的應(yīng)用，掌握等高的兩個三角形面積之比等于底之比是解題的關(guān)鍵．

19．（1）圖中有：，，，，，共5個；

（2）的邊：，，，角：，，；

（3）是，，的邊；是，，的角．

【分析】（1）分類找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三類即可；

（2）根據(jù)組成三角形的三條線段一一找出，利用三角形兩邊的夾角即可找出；

（3）觀察圖形，找出含AD的三角形，先找AD左邊的，再找AD右邊的即可，根據(jù)三角形內(nèi)角的定義，角的兩邊是三角形的邊，找到第三邊，在∠C的內(nèi)部在線段看與角的兩邊是否相交即可

【詳解】解：（1）圖中有：以AB為邊的三角形有△ABD，△ABC，

以AD為邊的三角形有△ADE，△ADC，

再以DE為邊三角形有△DEC，

一共有5個三角形分別為，，，，；

（2）的邊：，，，

角：，，；

（3）是，，的邊；

是，，的角．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的識別，三角形的基本要素，三角形個數(shù)，觀察圖形找出圖中的三角形，三角形的組成，找以固定線段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分類思想找出所有的圖形，三角形的邊與角，共線段三角形以及共角三角形是解題關(guān)鍵．

20．(1)等邊三角形

(2)

【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得出a＝b＝c，進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）利用三角形的三邊關(guān)系得到abc＜0，bca＜0，cab＜0，然后去絕對值符號后化簡即可．

（1），且，，為等邊三角形；

（2），，是的三邊長，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，，，，原式．

【點(diǎn)睛】此題考查絕對值非負(fù)性的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系和三角形分類，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．

21．（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）∠BAH，BH；（4）．

【分析】（1）根據(jù)中線的定義畫圖即可；

（2）根據(jù)高線的定義畫圖即可；

（3）根據(jù)邊角關(guān)系和高的定義即可得出答案；

（4）根據(jù)等面積法計算即可．

【詳解】解：（1）如圖所示；

（2）如圖所示；

（3）中，所對的角是∠BAH，邊上的高是BH，

故答案為：∠BAH，BH；

（4）若時，，

即，解得

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查作高線和中線，三角形中邊角關(guān)系．掌握相關(guān)定義和等面積法是解題關(guān)鍵．

22．(1)見解析

(2)10

(3)見解析

【分析】（1）取格點(diǎn)D，連接CD即可；

（2）直接利用三角形面積公式求解即可；

（3）取線段AB的中點(diǎn)E，連結(jié)線段CE，即可．

【詳解】（1）解：如圖，CD是△ABC的高；

（2）解：△ABC的面積是×4×5=10；

故答案為：10；

（3）解：如圖，CE即為所求作．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，高等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．

23．（1）DC＝6cm；（2）∠DAE=15°．

【分析】（1）利用三角形的中線平分三角形面積得出S△ADC=15cm2，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長．

（2）依據(jù)∠B=30°，∠C=60°，可知△ABC為直角三角形，再根據(jù)AD為角平分線，即可得到∠BAD的度數(shù)，即可得到∠ADE的度數(shù)，進(jìn)而得出∠DAE的度數(shù)．

【詳解】解：（1）∵AD，AE分別是邊BC上的中線和高，AE=5cm，S△ABC=30cm2

∴S△ADC=15cm2，

∴×AE×CD=15，

∴×5×CD=15，

解得：CD=6（cm）；

（2）∵∠B=30°，∠C=60°，

∴∠BAC=90°，

又∵AD為∠BAC的平分線，

∴，

∴∠ADE=30°+45°=75°，

又∵AE⊥BC，

∴∠DAE=90°75°=15°．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的面積以及三角形中線、角平分線、以及高線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出S△ADC是解題關(guān)鍵．

24．（1）甲對，乙不對，理由詳見解析；（2）3

【分析】（1）根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式進(jìn)行說理，其中n為正整數(shù)；

（2）根據(jù)題意，列方程，解方程即可．

【詳解】解：（1）甲對，乙不對．

理由如下：

因?yàn)椋?/p>

所以，

解得；

若，則，

解得．

因?yàn)槭鞘钦麛?shù)，所以不符合題意，

所以不能取640°．

（2）依題意得，

解得．

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．

25．(1)

(2)

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得結(jié)論，

（2）先求出，再由折疊得出，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得結(jié)論．

【詳解】（1）由折疊知

∵，

∴；

（2）由（1）知，

∴

由對折知，

∴

∵，

∴

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余等知識，熟練掌握這些性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

26．（1）相等，理由見解析；（2）見解析；（3）4

【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和三角形面積的求法即可判斷；

（2）過點(diǎn)作上的垂線；

（3）利用三角形中位線的性質(zhì)和已知三角形的面積，求出的面積，已知，由三角形的面積公式即可求出高．

【詳解】解：（1）與的面積相等，理由如下：

作，如圖1：

，

與的面積相等；

（2）作圖過點(diǎn)作上的垂線，如圖2：

（3）因?yàn)榈拿娣e為，，