大二等第一章第四節(jié)條件概率

第一章第四節(jié)條件概率一、條件概率1.

條件概率的概念在解決許多概率問題時，往往需要求在有某些附加信息(條件)下事件發(fā)生的概率。通常記事件B發(fā)生的條件下,

事件A發(fā)生的概率為P(A|B)。一般情況下，P(A|B)≠P(A)。第一章第四節(jié)條件概率例如：擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，B={擲出偶數(shù)點}，P(A)=1/6，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。B中共有3個元素，每個元素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有1個(2點)在集合A中。于是，P(A|B)=1/3。容易看到：P(A|B)

1

1

6

P(AB)。3

3

6

P(B)又如：10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品;7件正品中有3件一等品,4件二等品?，F(xiàn)從這10件中任取一件，記A={取到一等品}，B={取到正品}，P(A)=3/10，P(A|B)

3

3

10

P(AB)。7 7

10

P(B)P(A

)=3/10，P(A|B)=3/7。A={取到一等品}，

B={取到正品}，本例中，計算P(A)時，依據(jù)前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例。計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件。這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題。若事件B已發(fā)生,則為使

A也發(fā)生

,試驗結(jié)果必須是既在

B中又在A中的樣本點

,

即此點必屬于AB。由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B就變成了新的樣本空間

,于是

就有(1)。設(shè)A、B是兩個事件，且P(B)>0，則稱(1)P(B)P(

A

|

B)

P(

AB)BABA

2.

條件概率的定義為在事件B發(fā)生條件下，事件A的條件概率。3.

條件概率的性質(zhì)設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則對任一事件A，0≤P(A|B)≤1;P(Ω|B)=1；設(shè)A1,…,An

,…互不相容，則P[(A1+…+An

+…)|

B]

=

P(A1|B)+

…+P(An|B)+…而且，前面對概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。例如：對任意事件A1和A2

,有P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-(A1A2|B)等。其他性質(zhì)請同學(xué)們自行寫出。4.

條件概率的計算1)

用定義計算:P(B)P(

A

|

B)

P(

AB)

,P(B)>0。2)從加入條件后改變了的情況去算擲骰子例：A={擲出2點}，B={擲出偶數(shù)點}，P(A|B）=31B發(fā)生后的

縮減樣本空間

所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù)P(B)例1：擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解:

設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}，B={第一顆擲出6點}。應(yīng)用定義解法2:

P(

A

|

B)

3

1

。6

2在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算6

36

2解法1:

P(

A

|

B)

P(

AB)

3

36

1

。例2:

設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4。問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？P(

A)P(

A)

0.8解:設(shè)A={能活20年以上},

B={能活25年以上}，所求為P(B|A)。依題意，

P(A)=0.8,

P(B)=0.4，P(B

|

A)

P(AB)

P(B)

0.4

0.5。條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設(shè)A是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小。而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加

“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。P(A)與P(A

|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同。由條件概率的定義：P(

A

|B)

P(

AB)

,二、乘法公式P(B)在已知P(B),

P(A|B)時,

可反解出P(AB)。即 若P(B)>0,

則

P(AB)=P(B)P(A|B)

,

(2)將A、B的位置對調(diào)，有若

P(A)>0,

則P(BA)=P(A)P(B|A)

，而

P(AB)=P(BA)，故

P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)

。

(3)例3:甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的。而在這300個零件中，有189個是標準件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率是多少？甲、乙共生產(chǎn)1000

個189個是標準件乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}，300個A={是標準件}，所求為P(AB)。A={是標準件}，所求為P(AB)。若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標準件的概率是多少?”求的是P(A|B)。B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件。189個是標準件甲、乙共生產(chǎn)1000

個設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}，300個乙廠生產(chǎn)當P(A1A2…An-1)>0時，有P

(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|

A1A2…An-1)。推廣到多個事件的乘法公式:例4:一批燈泡共100只,其中10只是次品,其余為正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。解:

設(shè)Ai={第i次取到正品},i=1,2,3。100

99

9810

990

0.0083。

A={第三次才取到正品}。則:A

A1

A2

A3

,故，P(

A)

P(

A1

A2

A3

)

P(

A1

)P(

A2

|

A1

)P(

A3

|

A1

A2

)例5:袋中有同型號小球b+r個，其中b個是黑球，r個是紅球。每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回,并再放入同顏色，同型號的小球

c個。若B={第一，第三次取到紅球,第二次取到黑球}，求P(B)。。r

b(b

c)

(r

c)

b

r

b

(r

c)

P(

A1

)P(

A2

|

A1

)P(

A3

|

A1

A2

)(r

c)解:

設(shè)Ai={第i次取到紅球},

i=1,2,3,

則:B

A1

A2

A3

,P(B)

P(

A1

A2

A3

)一場精彩的足球賽將要舉行,但5個球迷只搞到一張球票，但大家都想去。沒辦法，只好用抽簽的方法來確定球票的歸屬。球票先抽的人比后抽的人抽到球票的機會大嗎？后抽的人比先抽的人吃虧嗎？五張同樣的卡片，只有一張上寫有“球票”，其余的什么也沒寫.將它們放在一起，洗勻，讓五個人依次抽取。請回答：“大家不必爭，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大。”到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“先抽的人當然要比后抽的人抽到的人機會大?！蔽覀冇肁i表示“第i個人抽到入場券”，i＝1,2,3,4,5。第1個人抽到入場券的概率是1/5。顯然，P(A1)=1/5，P(A1)＝4/5，也就是說，則

A表i

示“第i個人未抽到入場券”，因為若第2個人抽到入場券時，第1個人肯定沒抽到。也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，P(

A2

)

P(

A1

)P(

A2

|

A1

),A2

A1

A2

,由于由乘法公式，得計算得：

P(A2)=

(4/5)(1/4)=

1/5。這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答———同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到。因此，P

(

A3

)

P

(

A1

A2

A3

)

P

(

A1

)P

(

A2

|

A1

)P

(

A3

|

A1

A2

)=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),

每個人抽到“入場券”

的概率都是1/5。抽簽不必爭先恐后。全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用。綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=

P(A)P(B|A)P(A)>0三、全概率公式和貝葉斯公式例6:有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。解：記

Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B

={取得紅球}。B發(fā)生總是伴隨著A1，A2運，用A加3之法公一式同得時發(fā)生，即

B=

A1B+A2B+A3B，且

A1B、A2B、A3B兩兩互斥。P(B)=P(

A1B)+P(A2B)+P(A3B)123將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式。對求和中的每一項運用乘法公式得P(B)=P(

A1B)+P(A2B)+P(A3B)3

P(

Ai

)P(B｜Ai

),i

1代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15。設(shè)A1,A2,…,An

是兩兩互斥的事件，且

P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與

A1,A2,…,An之一同時發(fā)生，則nP(B)

P(

Ai

)P(B｜Ai

)i

1全概率公式:nP(B)

P(Ai

)P(B｜Ai

)。i

1稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組。n

Aii

1

,

則對任一事件B，有在一些教科書中，常將全概率公式敘述為：設(shè)S為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,ni

1P(B)

P(

Ai

)P(B｜Ai

)由上式不難看出:“全部”概率P(B)可分成許多“部分”之和。概P率(A

B)i它的理論和實用意義在于:在較復(fù)雜情況下，直接計算P(B)不容易,但總可以適當?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai，使B伴隨著某個Ai的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個P(Ai

B)容易計算?？捎盟蠵(Ai

B)之和計算P(B)。我們還可以從另一個角度去理解全概率公式。某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因Ai(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B

|Ai)每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故

B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式。由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)。全概率公式表達了因果之間的關(guān)系。A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果例

7:

甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B

|A1)+

P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B

|A3)則

B=A1B+A2B+A3B，三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7。飛

機被一人擊中而擊落的概率為0.2,

被兩人擊中而擊落的概率為0.6,

若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率。解:設(shè)B={飛機被擊落}，Ai={飛機被i人擊中},

i=1,2,3。依題意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1。為求P(Ai

),設(shè)Hi={飛機被第i人擊中},i=1,2,3可求得P(

A1)

P(

H

1

H

2

H

3

H

1

H

2

H

3

H

1

H

2

H

3

),P(

A2

)

P(

H

1

H

2

H

3

H

1

H

2

H

3

H

1

H

2

H

3

),P(A3

)

P(H1

H

2

H

3

)。本例需要用到事件的獨立性將數(shù)據(jù)代入計算，得P(A1)=0.36;

P(A2)=0.41;

P(A3)=0.14。于是，P(B)=P(A1)P(B

|A1)+

P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B

|A3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14

×1=0.458，即飛機被擊落的概率為0.458。這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。實際中還有下面一類問題——已知結(jié)果求原因某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是1231紅4白取自1號箱的概率?；蛘邌?該球取自哪號箱的可能性大些?接下來我們介紹解決這類問題的貝葉斯公式有三個箱子，編號分別為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，

3號箱裝有3紅球.。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率。1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率。11P(B)P(

A

B)P(

A

|

B)

記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;B

={取得紅球}。求P(A1|B)。

3P(

A

)P(B

|

A

)

1

1

P(

Ak

)P(

B｜Ak

)k

1運用全概率公式計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?nP(

Ai

|

B)

P(

Ai

)P(B｜Ai

)

P(

Aj

)P(B｜Aj

)j

1它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率。貝葉斯公式：設(shè)A1,A2,…,An

是兩兩互斥的事件，且

P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An

之一同時發(fā)生，則i

1,2,

,n。該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出。貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.例8:某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則C

表示“抽查的人不患癌癥”.求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，A={試驗結(jié)果是陽性}，求P(C|A)。已知:

P(C)=0.005,P(A|C)=0.95,P(C

)

0.995,P(A

|

C

)

0.04。由貝葉斯公式，得P(C

)P(

A

|

C

)P(C

)P(

A

|

C

)

P(C

)P(

A

|

C

)P(C

|

A)

代入數(shù)據(jù)，計算得P(C｜A)=0.1066?，F(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義2.

檢出陽性是否一定患有癌癥?1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義。1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005

?；颊哧栃苑磻?yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066

。從0.005增加到0.1066,

將近增加約21倍。2.

檢出陽性是否一定患有癌癥?試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為P(C｜A)=0.1066。即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認。niP(

A

|

B)

P(

Ai

)P(B｜Ai

)

P(

Ai

)P(B｜Ai

)j

1貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai

|B)分別稱為原因的驗前概率和驗后概率。P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下,人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。當有了新的信息(知道B發(fā)生),人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai

|

B)有了新的估計。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。例9：8支步槍中有5支已校準過,3支未校準。一名射手用校準過的槍射擊時,中靶的概率為

0.8;用未校準的槍射擊時,中靶的概率為0.3?，F(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊,結(jié)果中靶。

求:所用的槍是校準