4.1-4.3 兩個計數原理與排列組合（練習） - 解析版

4.1-4.3兩個計數原理與排列組合（練習）解析第4.1-4.3兩個計數原理與排列組合（練習）解析第頁4．1-4．3兩個計數原理與排列組合（練習）解析一．單項選擇題：（每小題5分，共6小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．從名男生和名女生中選出人參加某個座談會，若這人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有A．種B．種C．種D．種【答案】A【解析】（解法一）分成三類：1名男3名女，2名男2名女，3名男1名女，由分類加法計數原理可得共有種不同的選法．故選A．（解法二）從這7人中選出4人有種不同的選法，選出的4人都是男生有種不同的選法，所以選出這人中既有男生又有女生共有種不同的選法．故選A．2．甲袋子中裝有個紅球和個白球，乙袋子中裝有個紅球和個白球，若從甲、乙兩個袋子中各取出個球，則取出的個球中恰有個紅球的不同取法共有A．種B．種C．種D．種【答案】B【解析】分成兩類：取到的紅球來自甲袋中（甲袋取1個紅球1個白球，乙袋取2個白球），取到的紅球來自乙袋中（甲袋取2個白球，乙袋取1個紅球1個白球），由分類加法計數原理可得共有種不同的取法．故選B．3．一個盒子里有個分別標有號碼為，，的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取次，則取得小球標號最大值是的取法有 A．種B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】分成三類：第一類，取到1次號碼為3的小球，有種不同的取法；第二類，取到2次號碼為3的小球，有種不同的取法；第三類，取到3次號碼為3的小球，有種不同的取法；由分類加法計數原理可得共有種不同的取法．故選D．4．從，，，，這個奇數中選取個數字，從，，，這個偶數中選取個數字，再將這個數字組成沒有重復數字的五位數，且奇數數字與偶數數字相間排列．這樣的五位數的個數是 A．B．C．D．【答案】D【解析】分成四步：第一步，先從5個奇數中取出3個有種不同的選法；第二步，從4個偶數中取出2個有種不同的選法；第三步，把3個奇數排列有種不同的排法，第四步，在3個奇數間的兩個空位把2個偶數排入有種不同的排法，由分步乘法計數原理可得這樣的五位數共有個．故選D．5．某高校將名學生分配到所中學實習，每所中學至少分配名學生，則不同的分配方案共有A．B．C．D．【答案】B【解析】先將名學生分成三組：兩組人，一組人，再分配給三所中學，所以共有種分配方案．故選B．6．某臺小型晚會由個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲、乙必須排在一起，節(jié)目丙、丁不能排在一起，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有A．B．C．D．【答案】C【解析】第一步，把甲乙捆綁有種方法；第二步，把甲乙作為一個節(jié)目和除丙、丁外的另外兩個節(jié)目進行排序有種排法；第三步，最后把丙、丁排入4個空位中，有種排法．由分步乘法計數原理可得共有種不同的排法．故選C．7．某校甲、乙、丙三位同學報名參加，，，四所高校的強基計劃考試，每所高校報名人數不限，因為四所高校的考試時間相同，所以甲、乙、丙只能隨機各自報考其中一所高校，則恰有兩人報考同一所高校的概率為A． B． C．D．【答案】D【解析】依題意，得總的基本事件數，滿足“恰有兩人報考同一所高?！钡幕臼录?，故所求概率，故選D．8．小明走樓梯，該樓梯一共級臺階，小明每步可以上一級或二級，請問小明走完這級臺階的不同走法種數是A．B．C．D．【答案】A【解析】走完8級臺階可以分成以下幾類：第一類：每步都，上一級，需8步，有種方法；第二類：有一步上二級，其余上一級，需7步，有種不同的方法；第三類：有兩步上二級，其余上一級，需6步，有種不同的方法；第四類：有三步上二級，其余上一級，需5步，有種不同的方法；第五類：每步都上二級，需4步，有種不同的方法．由分類加法計數原理可得走完8級臺階共有種不同的方法．故選A．9．如果一個三位數的十位上的數字比個位和百位上的數字都大，則稱這個三位數為“凸數”（如），現(xiàn)從集合中任取個互不相同的數字，排成一個三位數，則這個三位數是“凸數”的概率為A．B．C．D．【答案】B【解析】根據題意，要得到一個滿足題意的三位“凸數”，在的個整數中任取個不同的數組成三位數有個．在的個整數中任取個不同的數，有種選法，將最大的放在十位上，剩余的個數字分別放在百、個位上，有種排法，所以從集合中任取3個互不相同的數字，組成的三位“凸數”有個．所以則這個三位數是“凸數”的概率是．故選B．10．從、、、、這個數字中任取個數字組成無重復數字的三位數，所有這些三位數構成的集合記為，則下列結論錯誤確的是A．集合有個元素B．集合中能被整除的元素有個C．集合中能被整除的元素有個D．集合中能被整除的元素有個【答案】C【解析】從、、、、這個數字中任取個數字組成無重復數字的三位數，有個，故選項A正確；能被整除，即個位數上是或，共有個，故選項B正確；能被整除，即各個位上的數的和為的倍數，有，，，三種情形，共有個，故選項C錯誤；能被整除，即個位數上是，共有個，故選項D正確．故選C．二．填空題（每小題5分，共6小題．）11．若，則__________．【答案】或【解析】因為，所以或，所以或．12．甲、乙等人報名參加了，，三個項目的志愿者工作，每個項目僅需名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲，乙兩人不能參加項目，那么共有__________種不同的選拔的方案．【答案】【解析】先安排項目，可以從除了甲，乙外的4人選1人，有4種排法；再安排，項目，可以從余下的5人選2人，有種排法．所以共有種排法．13．已知有名翻譯，其中會翻譯英語的有人，會翻譯法語的有人．現(xiàn)有一項翻譯任務需要用到英語翻譯和法語翻譯各人，那么從這名翻譯中，選出人參加這項任務共有_________種不同的選法．【答案】【解析】依題意，得既會翻譯英語也會翻譯法語的有人，所以僅會翻譯英語的有人，僅會翻譯法語的有人．所以從這6人中選出英語翻譯和法語翻譯各人有種不同的選法．14．已知鞋架上有雙號碼不同的鞋子，從中取出只，則取出這只鞋子中恰好有只來自同一雙的不同取法有_________種．【答案】【解析】分三步：第一步，從5雙鞋子中取出1雙，有種不同的取法；第二步，再從余下的4雙鞋子中取出兩雙，有種不同的取法；第三步，從第二步取出的兩雙鞋子中各取1只，有種不同的取法．由分步乘法計數原理可得共有種不同的排法．15．把件不同產品擺成一排．若產品與產品相鄰，且產品與產品不相鄰，則不同的擺法有________種．【答案】【解析】產品與產品相鄰的擺法有種，產品與產品相鄰且產品與產品相鄰的擺法有種，所以產品與產品相鄰，且產品與產品不相鄰的擺法有種．16．某工程隊有項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，工程丁必須在工程丙完成后立即進行．那么安排這項工程的不同排法種數是________．【答案】【解析】把工程丙和丁看成一個工程，則共項工程．從個位置中選個安排甲乙丙丁外的項工程，有種不同的排法．剩余位置安排甲乙丙丁排法只有種．所以共有種不同的排法．17．為了宣傳校園文化，讓更多的學生感受到校園之美，某校學生會組織了個小隊在校園最具有代表性的個地點進行視頻拍攝，若每個地點至少有支小隊拍攝，則不同的分配方法有________種．【答案】【解析】（1）若按照進行分配有種方案；（2）若按照進行分配有種方案；（3）若按照進行分配有種方案；由分類加法原理，所以共有種分配方案．18．將字母，，，，，排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有________．【答案】【解析】先把，，排入第一列，有種排法，排第二列有種排法，所以共有種不同的排法．19．兩人進行乒乓球比賽,先贏三局著獲勝,決出勝負為止,則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有________種．【答案】【解析】分成三類：第一類，三局結束比賽，有種不同的情形；第二類，四局結束比賽，有種不同的情形；第三類